巧設妙引，銜接無痕

☉四川省南充市嘉陵區教育科學研究室 蒲大勇

巧設妙引，銜接無痕

☉四川省南充市嘉陵區教育科學研究室 蒲大勇

從算式到方程是數學的進步，“算術”與“方程”的有效銜接教學在于：知識的銜接要找準“發生點”，思想的銜接要找準“融合點”，方法的銜接要找準“更新點”，能力的銜接要找準“提升點”.

一、課堂實錄

以下是人教版新課標數學教材七年級《從算式到方程》引例教學片段.

多媒體出示問題.

問題：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的行駛速度是60 km/h，客車比卡車早1 h經過B地.A、B兩地間的路程是多少？

師：請同學們用算術方法解決這個問題，辦法越多越好.

學生有的在本子上畫圖，有的在討論，有的在冥思苦想……，3分鐘后，學生開始發言.

生1：我的式子為：70÷（70-60）×60.

師：你是如何想的？

生1：70表示客車比卡車多的路程，（70-60）表示客車每小時比卡車快的，70÷（70-60）表示卡車從A地到B地需要的時間，乘以60就是全程.

師：我聽明白你的意思了：你以卡車列式，70表示客車與卡車的路程差，（70-60）表示兩車的速度差，先算出卡車需要的時間.對吧？

生1表示贊同.

生2（迫不及待）：不準確，應該是（70×1）÷（70-60）× 60，因為客車比卡車早1 h，不乘以1，它的意義不對.

師：很好，你能說一說理由嗎？

生2：因為乘以1表示卡車比客車遲1小時的路程，如果遲2小時就乘以2，遲3小時就乘以3，依此類推.

生1（不服氣地）：1與數相乘時可以省略，我把1給省略了.當然乘上也可以.

師：還有不同的解法嗎？

生3：以客車列式：（60×1）÷（70-60）×70.其中，（60×1）表示客車與卡車的路程差，（70-60）表示兩車的速度差，（60×1）÷（70-60）表示客車從A地到B地需要的時間，乘以70就是全程.

師：太棒了！（掌聲）還有與這幾位同學解法不同的嗎？

生5：以時間來算，但用的是比，因為客車速度是70 km/h，卡車速度是60 km/h，它們速度比就是7∶6，則時間比就應為6∶7，說明卡車用時比客車多一份，而客車比卡車早1 h，那么這1份時間就為1 h，所以卡車行完全程需要7 h，這樣就容易求路程.

師：很好.同學們是否理解？

生表示理解.

師：還有與前幾位同學不同的解法嗎？（稍停片刻，環視教室沒有學生發言）看來，算術方法就是這幾種.在小學我們除了用算術方法，還有什么辦法？

生（異口同聲）：列方程！

師：那好，大家發揮聰明才智，用列方程來解這個問題，看誰的辦法多.

生獨立思考，3分鐘后開始發言.

師：分析得透徹、精彩！（掌聲）還有不同的嗎？

生11：設卡車從A地到B地需要x h，則客車需要（x-1）h，方程為：70（x-1）=60x.［70（x-1）］為客車行駛的路程，（60x）為卡車行駛的路程，這兩個路程都表示從A地到B地的距離，所以相等.先求出卡車從A地到B地的時間，再求出路程.

生12：我設的未知數與生11相同，只不過方程為：70x-60x=70.（60x）表示卡車從A地到B地行駛的路程，（70x）表示相同時間客車行駛的路程，（70x-60x）表示當卡車到B地時，客車多行駛的路程，即70 km.

生13：我也是這樣設的，方程為：70x-70=60x.先算出客車在卡車行完從A地到B地時的路程，再減去多的70km，就得到卡車行駛的路程.

生14：設客車從A地到B地需要x h，則卡車需要（x+ 1）h，方程為：70x=60（x+1）.（70x）為客車行駛的路程，即A地到B地的距離，［60（x+1）］表示卡車在比客車多1 h后行駛的路程，也是A地到B地的距離.這里先求出客車從A地到B地的時間.

生15：我也是設客車從A地到B地需要x h，方程為：70x-60x=60.（70x-60x）表示客車行完全程時比卡車多的路程，恰好多60 km.

生16：我設的未知數與生14和生15一樣，方程為：70x-60=60x.（70x-60）表示當客車行完全程時卡車還有60 km未行駛，相減就得到卡車此時行駛的路程.

師：大家都很聰明！用了這么多種方法來解.下面比較這兩種解法.

師板書如下.

算術方法：（1）（70×1）÷（70-60）×60.

師：通過比較，你對算術方法和列方程解決問題有什么認識？

生17：我認為算術方法比方程好理解一些.

不少學生贊同這個觀點.

師：說得有道理.大家為什么會有這種感覺呢？我想主要是由于同學們在小學階段解決問題都習慣于用算術方法.事實上，算術方法是一種逆向思維，方程方法是正向思維.大家習慣了逆向思維，隨著知識的增加，你會慢慢發現有的問題逆向思維解決很困難，有時根本不能解決，這時需要正向思維.還有嗎？

生18：我發現算式里只含有已知數，而方程中既含有已知數，又含有用字母表示的未知數.

師：這個認識很重要.這就是算式與方程最大的區別.正因為這樣，你們看列算式辦法多還是列方程方法多？

生19：方程比算術方法多.上面例子列算式就只有三四種，而列方程可以有10多種.

師：對呀，方程比算術更豐富、更富有內涵.所以，教材上給出了：從算式到方程是數學的進步.其實，列方程一般比列算術式更直接、更自然、更寬松，方程也為我們解決許多問題帶來方便.這也是我們為什么要學習方程的緣由，希望大家拿出干勁，力爭學習好本章內容，大家一起回答：好不好？

生（群情激昂）：好！

……

二、教后隨想

這個引例教學圍繞“從算式到方程是數學的進步”展開，它既蘊含了教材編寫者的意圖，也是本節內容教學的起點，通過對這個引例的教學，讓學生初步充分理解“為什么學習方程”，這需做兩件事，第一件事是既要讓學生認識到小學階段學習的“算術方法”的可行性，又要認識到“算術方法”的局限性；第二件事是要讓學生初步領會學習“方程”的必要性和優越性.從“算式”、“方程”和“算式到方程”三個維度組織教學，在這個過程中實現“算術”與“方程”的有效銜接，具體表現在以下幾點.

1.知識的銜接，找準“發生點”

數學知識的銜接是銜接教學的重點.在小學階段，學生主要學習了用算術方法解決問題，同時也學習了列簡易方程解決問題，學生對方程的概念并不陌生.這里知識的銜接應是對“從算式到方程是數學的進步”的體會、理解上，而“發生點”就是怎樣從算式到方程，讓學生根據利用算術方法分析問題的數量關系的經驗，找出相關量，分析數量關系，從中找出合適的相等關系，并將其用數學符號語言正確表達，即建立問題的方程模型.上述教學，學生通過充分列算式和列方程，當算式只有三四個，方程可以達到10個以上時，學生產生了認知沖突——為什么會這樣呢？在教師的引導下，學生慢慢明白了：算式與方程表現了算術與代數解決問題的兩種不同方法，算術式表示一個計算過程，但其受到“其中只含已知數而不能有未知數”的限制；而方程可以用未知數與已知數一起表示相關的量和它們之間的某種相等關系，并且未知數可以與已知數一樣參與運算，這打破了未知數只有先求出后才能使用的限制.

2.思想的銜接，找準“融合點”

數學思想的銜接是銜接教學的核心.算術方法主要有“數形結合”、“對應”、“合情推理”等數學思想.方程不僅包含上述數學思想，而且更重要的是蘊含了“符號化”、“模型化”思想.數學思想的銜接關鍵在找準“融合點”——算術和代數，作為最基礎而又最古老的兩個分支學科，有著不可分割的親緣關系.算術是代數產生的基礎，代數是算術發展到一定階段的必然產物.在算術中，未知數是不允許作為運算的對象的，它們沒有參加運算的權利.在代數中，列出的方程——用等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左右兩邊等價.這時的已知數和未知數是有機的統一體，未知數和已知數有著同等的權利，即未知數在這里也變成了運算的對象，它們不再是消極、被動地靜等在等式的一邊，而是和已知數一樣，可以接收各種運算指令，并可以依照某種法則從等式的一邊移到另一邊.上述教學正是注重了算術與方程思想的融合，發展了學生的數學思想.

3.方法的銜接，找準“更新點”

數學方法的銜接是銜接教學的關鍵.從數學方法上看，算術式表示一個計算過程，是一種算法.方程不僅是一種數學思想，更是一種數學方法，還是一種數學模型，這也是代數方程與算術式的區別之一.從算式到方程的“更新點”在何處？從課程標準看，在小學階段中已經有關于簡單方程的內容，學生對方程已有初步的認識，會用方程表示簡單情境中的數量關系，會解簡單的方程，即對于方程的認識已經歷了入門階段，具備了一定的基礎.而用方程的方法解決問題有兩點特別重要，一個是抽象、概括，另一個是做事情的運籌和邏輯的條理.學生通過學習列方程，再通過算術式與方程的比較，會認識到方程是比算術式子更有力的數學工具，未知數可以列入方程.這樣的突破使得列方程一般比列算術式更直接、更自然、更寬松，從而給解決問題帶來更大的便利.這體現了從算術方法到代數方法的進步.

4.能力的銜接，找準“提升點”

數學能力的銜接是銜接教學的難點.從思維角度看，算術方法是一種逆向思維，方程是一種正向思維.由于學生在小學階段解決問題習慣于用算術方法，能用算術方法解決問題是一種能力,而學生把逆向思維轉換成正向思維，這需要一種更強的能力.這是因為七年級學生面臨經驗型形象思維向理論型抽象思維的轉化，即從算術思維過渡到關系性思維，“由因導果的算術方法”到“執果索因、假設問題已解決、引進未知數的代數方法”的轉變，并開始運用假設進行有預見性、形式化的思維.與此同時，列方程時分析實際問題中所包含的已知量與未知量之間的關系，找出可作為列方程依據的相等關系，并將語言敘述的數量關系用代數式表示出來，這些都是能力的“提升點”.上述教學中，教師讓學生充分“暴露”建構方程模型的過程，通過分析、抽象、比較等數學活動，培養、提升學生的思維能力.

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2.黨宇飛，殷希群.初高中數學銜接講座［J］.中學數學（下），2008（10）.

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