探索：可從滿足問題的充分性開始

2014-02-01 02:32:38廣東省信宜市信宜中學劉志有

中學數學雜志 2014年2期

☉廣東省信宜市信宜中學劉志有

探索：可從滿足問題的充分性開始

☉廣東省信宜市信宜中學劉志有

在某種意義上可以這樣理解：解決問題的過程就是不斷變更問題的過程，最理想的是保證等價轉化，使前后命題互為充要條件，步步可逆.但對某些復雜的問題，充要性的滿足是困難的.退而求其次，從滿足問題的充分性開始嘗試，往往使一籌莫展的問題得以打開突破口，這一思維方式有突破常規之處，對創新思維培養不無裨益.本文結合具體實例，對這一思維策略做些初步分析.

一、僅有問題的充分性一般會使原問題的解集縮小

我們借用集合語言描述兩個命題間的充分條件關系，即A=滿足條件p}，B=滿足條件q}.如果A?B，那么p是q的充分條件.由此容易看出，僅滿足問題的充分性一般會使討論問題的“解集”縮小.所以，我們從滿足問題的充分性探索起步時就要注意原問題的求解目標，否則就會出現偏差與錯誤.

例1（2009年浙江文）已知函數f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函數f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍.

錯解：（2）函數f（x）在區間（-1，1）不單調，等價于導函數f（′x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數，即函數f（′x）在（-1，1）上存在零點，根據零點存在定理，有f（′-1）f（′1）＜0，即：［3+2（1-a）-a（a+2）］［3-2（1-a）-a（a+2）］＜0.

整理得：（a+5）（a+1）（a-1）2＜0，解得-5＜a＜-1.

評析：“函數f（x）區間（-1，1）不單調，等價于導函數f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數”是對的，進而等價于“函數f（x）區間（-1，1）上至少存在一個極值點”，但與“函數f′（x）在（-1，1）上存在零點”不等價.這里有兩點需要指出：一是函數f（x）的極值點是其導函數f′（x）的零點，反之不成立；二是f（a）f（b）＜0是f（x）在區間（a，b）存在零點的充分條件，也就是“有它一定行，無它未必不行（還可能有其他情形）”.

二、對存在性問題有時只需滿足充分性

正如在實際生活中解決一個問題有多種方案，我們通常選擇自己喜歡或相對易處理的一種方案.同樣，對一個數學問題可以在技術上設計為僅討論它的充分性，特別是存在性問題，往往是“找到”即可，其實質是“尋找”結論的某個充分條件.

（1）證明：當t＜2 2時，g（x）在R上是增函數；

（2）對于給定的閉區間［a，b］，試說明存在實數k，當t＞k時，g（x）在閉區間［a，b］上是減函數；

分析：此題的前兩問都是圍繞“充分性”來設計的.首先，兩問都是基于單調性的充分條件切入：g′（x）＞0是g（x）為增函數的充分條件，g（′x）＜0是g（x）為減函數的充分條件；其次，（1）“t＜2”實則是“g（x）在R上是增函數”的充分條件，所以只需證“當t＜2時，g（′x）＞0”；對（2）一是可以從（1）問受到啟發將問題弱化為滿足充分性“g（′x）＜0”，二是利用分離參數法，將問題轉化為“t＞2ex+e-x在閉區間［a，b］上成立”，這樣引出k的尋找辦法，即只需k不小于y=2ex+e-x在閉區［a，b］上有最大值，由連續函數在閉區間上的最值定理知最大值肯定存在，問題獲得解決.下面給出前兩問證明：

（1）證明：由題設得g（x）=e2x-（tex+1）+x，g′（x）=2e2xtex+1.又由2ex+e-x≥2，且t＜2得t＜2ex+e-x，即g′（x）=2e2x-tex+1＞0.由此可知，g（x）為R上的增函數.

（2）因為g′（x）＜0是g（x）為減函數的充分條件，所以只要找到實數k，使得t＞k時，g（′x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+ e-x在閉區間［a，b］上成立即可.因此y=2ex+e-x在閉區間［a，b］上連續，故在閉區［a，b］上有最大值，設其為k，于是在t＞k時，g（′x）＜0在閉區間［a，b］上恒成立，即g（x）在閉區間［a，b］上為減函數.