也談含參不等式恒成立問題的解法探究

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 章 麗

也談含參不等式恒成立問題的解法探究

☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 章 麗

高中階段我們經(jīng)常遇到很多恒成立問題，而這種類型的問題是歷年來高考中的考查熱點(diǎn)，用以考查于學(xué)生的靈活性和創(chuàng)造性等思維品質(zhì)方面的發(fā)展水平.教學(xué)實(shí)踐中，教師要能夠發(fā)揮主導(dǎo)作用，激發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析，從多角度、全方位地探究此類問題的解法、思路，從而促進(jìn)學(xué)生綜合解題能力的有效提升.下面筆者結(jié)合平時(shí)教學(xué)談?wù)剬?duì)這類問題的一般解法.

一、運(yùn)用分離變量解決恒成立問題

將變量進(jìn)行分離，即等式的一邊是原不等式的參數(shù)，而另一邊是原不等式的其余部分，進(jìn)而求出另一邊的取值范圍，最終得解.這是解決這類問題的一種最常見的方法，它可以避免分類討論，減少在操作過程中可能出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤，使問題得到順利解決.

例1 已知f（t）=logt，t∈［，8］，對(duì)于f（t）值域內(nèi)

2的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2+mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范圍.

分析：上面不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中已知x的范圍即x∈R，需要求解的就是另一變量a的取值范圍，因此可考慮將a與x分離.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)原等式（或不等式）中出現(xiàn)兩個(gè)變量時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析、比較，找出兩個(gè)變量的差異；如果已知其中一個(gè)變量的范圍，且利用恒等變形易于使兩個(gè)變量分置在等號(hào)（或不等號(hào)）兩側(cè)，符合以上要求的就可以運(yùn)用“分離變量”的方法求解.

二、構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問題

即將所有變量移到一邊，將其變?yōu)閒（x）≥0或f（x）≤0的形式，再求f（x）的最值或范圍.

例3 同例1.

三、利用主、輔元轉(zhuǎn)換解決恒成立問題

這種方法尤其適合參變量次數(shù)為一次的恒成立問題，通過將表達(dá)式中主、輔元轉(zhuǎn)換，可以達(dá)到把復(fù)雜紊亂的問題簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單直觀問題的效果.

例4 若不等式2x-1＞m（x2-3）對(duì)滿足-1≤m≤1的所有m都成立，求x的范圍.

解：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋簃（x2-3）-（2x-1）＜0.

點(diǎn)評(píng)：主、輔元互換可以實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的有效轉(zhuǎn)化，由繁到簡(jiǎn)，應(yīng)用這種方法的過程中關(guān)鍵還是把握恒成立的本質(zhì)，巧用轉(zhuǎn)化思想，靈活處理，從而順利解決問題.

四、運(yùn)用判別式解決恒成立問題

即2x2+（6-2m）x+（3-m）＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以

Δ=（6-2m）2-8（3-m）＜0，解得1＜m＜3.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，3）.

五、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題

把等式或不等式進(jìn)行合理的變形，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，將恒成立問題繪制成函數(shù)的圖像，使得復(fù)雜的解題過程得以簡(jiǎn)化.特別是在解答填空、選擇等題型時(shí)，通過畫圖可以形象、直觀地得到結(jié)果，使我們的解題過程變得十分便捷，大大提高了解決問題的效率.

例6 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2＜logax恒成立，則a的取值范圍是______.

分析：此題可以繪成函數(shù)圖像求解，不等式中不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，即左邊圖像為拋物線，是二次函數(shù)；右邊圖像為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)，如此可以迅速得解.

解：設(shè)y1=（x-1）2，y2=logax，可繪出y1的圖象為如圖1所示的拋物線，很容易得出當(dāng)a＞1，并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)，y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值，對(duì)一切x∈（1，2），y1＜y2恒成立.

故loga2＞1，a＞1，所以1＜a≤2.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”進(jìn)行解答時(shí)的關(guān)鍵在于將等式（或不等式）進(jìn)行恰當(dāng)?shù)刈冃危缓罄L出兩邊的函數(shù)圖象，方便快捷，而且不易出錯(cuò).這種方法非常適合用于那些不需要完整解題過程的題型上.

六、運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決恒成立問題

這是一類特殊題型，即定義中隱含了一些恒成立問題.

分析：盡管題中沒有明確告知我們這是一個(gè)恒成立問題，但依據(jù)偶函數(shù)成立的條件我們便可以準(zhǔn)確地將本題歸類為恒成立問題，進(jìn)而找到解決本題的路徑.

解：由題得：f（x）=f（-x）對(duì)一切x∈R恒成立，=

點(diǎn)評(píng)：從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)解決恒成立問題，其基本依據(jù)是函數(shù)的性質(zhì)如周期性、奇偶性等.如函數(shù)y=f（x）的周期為T，則對(duì)一切定義域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立；如函數(shù)f（x）是奇（偶）函數(shù)，則對(duì)一切定義域中的x，f（-x）=-f（x）（f（-x）=f（x））恒成立……對(duì)于此類題型，我們要能迅速、熟練地找到函數(shù)性質(zhì)與恒成為問題兩者之間的聯(lián)系并依此找到解題的突破口.

七、利用不等式性質(zhì)解決恒成立問題

利用基本不等式可以很簡(jiǎn)潔明快地解決某些恒成立問題.

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式解決恒成立問題，可以化解分離參數(shù)的麻煩，優(yōu)化解題的過程，但這類問題的關(guān)鍵是要把握恒成立的本質(zhì)，即尋求充分必要條件，條件找到，問題便迎刃而解.

以上列舉都是具有代表性的經(jīng)典題型，其各種不同的解題策略都是圍繞著含參數(shù)不等式恒成立問題而展開，其中蘊(yùn)含了“轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”以及“遷移類比”等數(shù)學(xué)思想.在實(shí)際運(yùn)用過程中，我們應(yīng)當(dāng)避免機(jī)械套用，從題目的具體特征出發(fā)來選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，解題的熟練與靈活兩者并重，切實(shí)提高自身分析問題、解決問題的能力和解后反思的良好習(xí)慣.

1.阮偉強(qiáng).不等式恒成立求參數(shù)范圍問題的再思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（12）.