高考全國卷含參不等式恒成立問題的探究

☉廣西柳州高級中學 吳佐慧 林 軍

☉湖北大學數學系 劉合國

高考全國卷含參不等式恒成立問題的探究

☉廣西柳州高級中學 吳佐慧 林 軍

☉湖北大學數學系 劉合國

含參數不等式恒成立問題是歷年高考、競賽中的熱點問題，由于這類問題靈活多變，對應試者的能力要求較高，令不少學生束手無策.這類題型在2006年全國高考試題中首次出現以后，幾乎每年均有呈現.高考命題組對這類問題提供的標準答案一般是對參數進行分類討論，逐段篩選出符合條件的參數的范圍.這種解法既考查對不等式恒成立條件正面的探究過程，又考查不等式恒成立的否定過程，考試的時候學生不容易想到.

最近幾年有下面6道求參數范圍的高考題：

題目1：（2006年全國II理20）設函數f（x）=（x+1）ln（x+1）.若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍.

題目2：（2007年全國I理20）設函數f（x）=ex-e-x.（1）證明：f（x）的導數f′（x）≥2；（2）若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍.

題目4：（2010新課標全國理21）設函數f（x）=ex-1-xax2.（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調區間；（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

題目6：（2012年全國II理20）設函數f（x）=ax+cosx，x∈［0，π］.（1）討論f（x）的單調性；（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

文［1］、［2］中，作者均給出了相應題目的統一解法.但筆者認為，此類問題用數形結合思想來解決，則更加直觀、自然.

在指定的坐標系中用分析的方法勾勒出函數的大致形狀，從而可以直觀地去研究它的某些性質，這是很有實際意義的，同時它也是數學研究中的重要手段之一.下面我們就分別給出求解過程.

題目1的解：當x≥0時，要使ax≤f（x） 恒成立，則必須使得函數g（x）=ax的圖象在函數f（x）=（x+1）ln（x+1）的圖象的下方.

當x≥0時，則f′（x）>0且f″（x）>0，故f（x）單調遞增且下凸，其圖象如圖1所示.

當x≥0時，要使得函數g（x）=ax的圖象在函數f（x）=（x+1）ln（x+1）的圖象的下方，則必有a≤f′（0）=1.綜上，a的取值范圍為（-∞，1］.

題目2的解：（1）略.

（2）當x≥0時，要使ax≤f（x）恒成立，則必須使得函數g（x）=ax的圖象在函數f（x）=ex-e-x的圖象的下方.

求f（x）的一階導數和二階導數，有f′（x）=ex+e-x， f″（x）=ex-e-x.

當x≥0時，則f′（x）>0且f″（x）≥0，故f（x）單調遞增且下凸，其圖象如圖2所示.

當x≥0時，要使得函數g（x）=ax的圖象在函數f（x）=ex-e-x的圖象的下方，則必有a≤f′（0）=2.綜上，a的取值范圍為（-∞，2］.

題目3的解：（1）略.

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”.數和形是數學中兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.

數形結合的思想，就是在研究數學問題的過程中，注意把數和形結合起來考查，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案.解決含參不等式恒成立的問題便是如此.

1.劉金.一類高考題的統一解法［J］.數學通訊，2010（11、12）.

2.李平龍.幾道高考壓卷題的啟示［J］.數學通訊，2011（11、12）.