雙參換元，構造二次曲線巧解含根式問題

☉江蘇省泰興中學 吳衛東

雙參換元，構造二次曲線巧解含根式問題

☉江蘇省泰興中學 吳衛東

一般來說，利用代數方法解決含根式的問題比較繁瑣，因為對根式而言，變形的主要方法是平方.由上面的簡單例子可以看出，函數與方程之間存在著必然的聯系.本文結合近幾年來的競賽或高考試題，通過引入兩個變量，即雙換元的方法，將代數中的根式問題轉化為解析幾何中的二次曲線問題，總結出幾種常用的轉化途徑.

途徑1 轉化為二次曲線上的動點與定點之間的距離問題

點評：引入雙參數后，轉化為圓上的動點到一個定點的距離的范圍問題.

途徑2 轉化為二次曲線的動點到一定直線的距離問題

點評：（1）引入雙參數，轉化為圓上的點到定直線的距離的范圍問題；

途徑3 轉化為過二次曲線的點的直線系的縱截距問題

例3（2013年全國高中數學聯賽江西預賽）

途徑5 轉化為二次曲線上的點與定點連線的斜率問題

總之，通過引入雙參數，將根式變為有理式，充分挖掘代數式所隱含的幾何特征（如距離、截距、斜率等），構建平面直角坐標系與二次曲線，利用點、直線與二次曲線的的關系（相切、過曲線弧的端點等），巧妙地將代數問題轉化為解析幾何問題去求解.