需要列方程求解嗎？──三道幾何競賽題的另解

☉江蘇省南京市金陵中學河西分校 李玉榮

需要列方程求解嗎？──三道幾何競賽題的另解

☉江蘇省南京市金陵中學河西分校 李玉榮

平面幾何是研究平面圖形性質的一門學科，據調查，很多人真正喜歡數學是從學習幾何開始的，歷史上一些著名的科學家，如阿基米德、牛頓、羅素、愛因斯坦，都曾被歐幾里德幾何迷住過，那一步步“怎樣才能得到”引人入勝，一行行“∵，∴”令人陶醉，更具魅力的是命題者自己都難以知道是否還有更多、更好的解法.

馬小為先生主編的《中學數學解題思想方法技巧（初中）》一書有這樣三道題：

例1 如圖1，已知四邊形ABCD為直角梯形，且AB= BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面積.

解析：設⊙O的半徑為r，QO=m，則QP=m，QC=r+m，QA=r-m.

點評：注意到BA=BC且∠ABC=90°，利用旋轉變換，將PA、PB、PC集中到一個三角形中，再由勾股定理的逆定理判斷得出該三角形是一個直角三角形，進而解決了問題.

點評：利用內切圓的特點，得出DE=BD+CE，借用“相似三角形的周長比等于相似比”避免了復雜的代數變形，問題很簡潔地得解.

數學大師波利亞在《怎樣解題》一書中寫到：即便是相當優秀的學生，在得到了題目的解答，并將整個論證簡潔地寫下來以后，就會合上書，去找別的事做.他們這樣的做法，遺漏了解題中一個重要而且有益的階段……盡管如此，錯誤總是有可能存在的，尤其是當論證冗長且復雜時更是這樣，因此，需要進行驗證，如果存在著一些快捷而直觀的步驟可用于檢驗結果或論證時，尤其不應該忽視它.可見，要真正提升學生的數學解題能力，十分有效的是在日常解題教學中創造并抓住機會，反復告誡學生：你能以不同的方式推導這個結果嗎？FH