教材之中有根尺 各自量身各自知——圓錐曲線弦的中點(diǎn)在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省如東高級中學(xué) 吳 曄

教材之中有根尺 各自量身各自知
——圓錐曲線弦的中點(diǎn)在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省如東高級中學(xué) 吳 曄

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.實(shí)踐表明讓學(xué)生掌握一類問題的思考模式、解題步驟，特別是在解題后進(jìn)行多角度“變式訓(xùn)練”，那么學(xué)生再遇到相關(guān)問題時(shí)，就不會(huì)感到無從下手.教材是歷代教育專家智慧的結(jié)晶，其中的例題或習(xí)題都極具典型性、代表性，因此教師在講解教材中的例題或習(xí)題時(shí)，應(yīng)注意對相關(guān)問題的變式或拓展，將雜亂無章的解題思路歸納成類，進(jìn)而形成知識(shí)體系，使學(xué)生會(huì)一題通一類，真正跳出題海.本文以課本圓錐曲線習(xí)題為例，談?wù)勥@方面的體會(huì).

題目一：（蘇教版選修2-1第73頁復(fù)習(xí)題第10題）

解法一：先設(shè)出直線方程，考慮到當(dāng)斜率不存在時(shí)直線l：x=1，與雙曲線沒有兩個(gè)交點(diǎn)，不符.斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y-1=k（x-1），代入雙曲線方程化簡得：

小結(jié)：本題的求解充分體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)，即用代數(shù)的方法去解決幾何問題，而代數(shù)方法主要體現(xiàn)在坐標(biāo)運(yùn)算.解法一是利用韋達(dá)定理解決問題，是通法；解法二是中點(diǎn)問題的特殊解法，計(jì)算往往比較簡單.應(yīng)注意在點(diǎn)差之后的等式中所含有的三個(gè)重要數(shù)據(jù)：中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，直線的斜率.

題目二：（人教B版選修2-1第70頁練習(xí)B第1題）（以高考中常見的橢圓作為背景）

高考命題的重要思想之一“源于課本，高于課本”，因此教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在做好課本典型例題或習(xí)題的基礎(chǔ)上嘗試讓學(xué)生改編限定條件，再深入思考.這不僅可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且可以提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的能力，活躍他們的思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力.

在歷年各省市高考命題中涉及弦的中點(diǎn)問題屢見不鮮，相關(guān)問題求解中抓住弦的中點(diǎn)，是解決問題的關(guān)鍵所在.下面是幾個(gè)相關(guān)的高考變式.

一、巧用中點(diǎn)的條件，考查思維的靈活性

點(diǎn)評：先利用中點(diǎn)問題的點(diǎn)差法求出直線的斜率，再設(shè)出直線的斜截式方程代入橢圓方程使本題計(jì)算簡單不少.注意將中點(diǎn)在直線上的條件轉(zhuǎn)化成中點(diǎn)坐標(biāo)的比例關(guān)系.

二、由變化條件尋找聯(lián)系，提升化歸轉(zhuǎn)化能力

綜上，求得m的取值范圍是-1＜m＜2.

點(diǎn)評：本題看似與弦的中點(diǎn)無關(guān)，但由條件AM=知△AMN為等腰三角形，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是我們所熟知的.進(jìn)而將所求問題轉(zhuǎn)化為弦MN的點(diǎn)問題，尋找到問題求解的突破口.

三、尋根幾何性質(zhì)，突顯解析幾何的幾何性

（1）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形.

解：（1）略.

（2）解法一：假設(shè)四邊形OABC為菱形.

因此點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）.

點(diǎn)評：解析幾何具有幾何與代數(shù)的雙重身份，因此在幾何與代數(shù)交匯點(diǎn)處命題便成為高考命題的熱門問題.問題求解過程中充分把握菱形的幾何性質(zhì)，即菱形的對角線互相垂直平分，進(jìn)而又轉(zhuǎn)化為弦的中點(diǎn)問題.

總之，在教學(xué)的過程中，教師不僅要培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，懂得舉一反三，觸類旁通，而且要培養(yǎng)他們的知識(shí)遷移能力，幫助他們提升數(shù)學(xué)學(xué)科的素養(yǎng)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.歷年各地高考題都是命題專家集體智慧的結(jié)晶，這些考題都蘊(yùn)含著豐富的信息，恰當(dāng)?shù)厝谌肓诵抡n程改革的理念，對平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與高考復(fù)習(xí)都有很好的導(dǎo)向性、啟發(fā)性.每年各地的高考題如果經(jīng)過細(xì)心分析、集體研究、有效整合，一定能找到它的課本根源所在，這將是一筆豐厚的教學(xué)資源和寶貴的財(cái)富.筆者在這里只是拋磚引玉，希望教師和同學(xué)通過不斷地思考和鉆研高考試題的課本源題，嘗試在課本源題的基礎(chǔ)上改變限制條件再去改編、創(chuàng)新，使學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)真正得到提高.