重視—邏輯連貫，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)— 以“等腰三角形的軸對稱性”教學(xué)為例

☉江蘇省南京市蓮花實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉明華

重視—邏輯連貫，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)— 以“等腰三角形的軸對稱性”教學(xué)為例

☉江蘇省南京市蓮花實(shí)驗(yàn)學(xué)校 吉明華

章建躍教授在文1中指出：“在課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考.”受此啟發(fā)，在最近開設(shè)的一節(jié)“等腰三角形的軸對稱性”公開課中，從教學(xué)預(yù)設(shè)到課堂教學(xué)，筆者追求“前后一致、邏輯連貫”，促進(jìn)學(xué)生自主思考，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).本文就圍繞該課的教學(xué)預(yù)設(shè)和課堂生成給出教后反思，與同行研討.

一、教學(xué)預(yù)設(shè)簡案

說明：備課時參考了南通李庾南老師的課例［2］.

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）體會軸對稱的性質(zhì)在研究圖形性質(zhì)中的應(yīng)用.

（2）在實(shí)驗(yàn)操作獲得對等腰三角形的性質(zhì)的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過推理論證培養(yǎng)學(xué)生的理性精神，提高他們的推理論證能力.

（3）掌握等腰三角形的性質(zhì)，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

2.教學(xué)重、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)驗(yàn)操作獲得的感性認(rèn)識進(jìn)行理性概括與推理論證.

3.教學(xué)過程

（1）回顧軸對稱圖形的性質(zhì)，動手操作，探究等腰三角形的性質(zhì).

①回顧軸對稱圖形的性質(zhì).

②有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.（給每個學(xué)生提供一個等腰三角形紙片，供其折疊研究）

③全班交流研究成果.

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線，也就是頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線所在的直線.

預(yù)設(shè)追問：引導(dǎo)學(xué)生在兩腰上變換對稱點(diǎn)繼續(xù)探究等腰三角形的對稱性質(zhì).

④在實(shí)驗(yàn)操作獲得對等腰三角形的性質(zhì)的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，推理論證，概括等腰三角形的性質(zhì)定理.

已知：如圖1，△ABC中，AB=AC.

求證：∠B=∠C.

預(yù)設(shè)意圖：由學(xué)生作思路分析，教師點(diǎn)評.給出如下板書.

性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.

幾何符號語言：略.

性質(zhì)定理2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）.

幾何符號語言：略.

（2）通過等腰三角形的性質(zhì)定理的應(yīng)用練習(xí)，體會知識的價值，激發(fā)進(jìn)一步研究等腰三角形的興趣.

圖1

練習(xí)1：如圖2，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度數(shù).

練習(xí)2：從一副三角板出發(fā)……

預(yù)設(shè)意圖：在圖3中，由一副三角板出發(fā)，追問學(xué)生哪一個是等腰三角形，并由等腰直角三角形添加底邊上的高再分出新的等腰三角形，進(jìn)一步鞏固“等邊對等角”；而由另一個特殊直角三角形認(rèn)識到不等邊所對的角也是不相等的，進(jìn)而變式到一般三角形后發(fā)現(xiàn)“大邊對大角”的性質(zhì)，并探究其證明.

（3）課堂小結(jié)、布置作業(yè).（略）

二、課堂生成片斷

片斷1：開課階段，師生回顧軸對稱與軸對稱圖形.

師：在軸對稱的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們對軸對稱、軸對稱圖形有怎樣的認(rèn)識？

生1：軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分全等，這兩部分關(guān)于對稱軸對稱.

生2：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

生3：對應(yīng)線段或其延長線如果相交，則交點(diǎn)在對稱軸上.

……

圖4

片斷2：在學(xué)生個人折疊等腰三角形紙片的研究基礎(chǔ)上，小組內(nèi)交流，再全班匯報.

生4：我們小組交流后，有如下發(fā)現(xiàn)：如圖4，直線AD是等腰△ABC的對稱軸，由軸對稱性質(zhì)可得△ABD≌△ACD，故∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，BD=DC.

師：你的意思就是等腰三角形的兩個底角相等（利用PPT演示翻折變換），還有等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

生5：我們小組還有一些發(fā)現(xiàn)：如圖5，取腰AB、AC的中點(diǎn)E、F，連接BF、CE、DE、DF.

由軸對稱性質(zhì)可得AE=AF，BE=CF，DE=DF，△AED≌△AFD，△EBD≌△FCD.

圖5

根據(jù)全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，BF、CE的交點(diǎn)Q在AD上，BF=CE，QE=QF，BQ=CQ，連接EF，圖中有等腰△QBC、△QEF、△AEF等.

師：正確！你們基于軸對稱的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)了很多有意義的結(jié)論！其他小組還有嗎？

生6：等腰△ABC的對稱軸上的任一點(diǎn)與兩腰上的對稱點(diǎn)的連線都分別相等.

師：很好！以上的發(fā)現(xiàn)都源自等腰三角形的本質(zhì)特征——軸對稱圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線，因而我們通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這些性質(zhì).

片斷3：本課最后階段，師生探究“大邊對大角”.

師：同學(xué)們的直覺很好，猜想和發(fā)現(xiàn)了三角形中“大邊對大角”，我們還需要針對這個性質(zhì)說點(diǎn)理，可將問題抽象出來：如圖6，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠C＞∠B.

圖6

生7：受“等邊對等角”啟發(fā)，在AB上截取AD=AC，構(gòu)造一個等腰△ADC，則∠ADC=∠ACD（等邊對等角），而∠ADC是△DBC的外角，所以∠ADC＞∠B，于是∠ACD＞∠B.又因?yàn)椤螦CB＞∠ACD，則∠ACB＞∠B.

師：正確！“等邊?等角”反映了同一三角形中邊角之間相等的轉(zhuǎn)化關(guān)系.在客觀世界中，“相等”與“不相等”的關(guān)系是普遍存在的，有時“相等”與“不等”之間既對立又可以相互轉(zhuǎn)化.生7的證明讓大家感受到“等邊?等角”經(jīng)過構(gòu)造轉(zhuǎn)化后，也是證明“大邊?大角”的理論依據(jù).

三、教學(xué)反思

1.選好課堂起點(diǎn)，重視邏輯連貫

“求木之長者，必固其根本；欲流之遠(yuǎn)者，必浚其泉源”.關(guān)于課堂的起點(diǎn)，很多課堂都追求一段生動的“情景引入”，往往展示一些現(xiàn)實(shí)背景，并要求學(xué)生舉出生活實(shí)例，然后從中抽象出研究的對象.近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》，有選手在地級市的賽課時預(yù)設(shè)了如下的情境引入［3］.

電腦播放視頻及獨(dú)白：美麗的大森林，有人在破壞它，有人卻在執(zhí)著地呵護(hù)它.楊善洲，在第十屆感動中國年度人物評選中，獲得感動中國人物稱號.他擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)，兩袖清風(fēng)，為了兌現(xiàn)自己的承諾，扎根大山，義務(wù)植樹造林，建成價值3億元的林場，且將林場無償捐給國家.同學(xué)們，假設(shè)老人的家鄉(xiāng)，以前森林是一個長p千米，寬a千米的長方形（圖略），經(jīng)過楊善洲多年努力，森林的寬度增加了b千米，擴(kuò)大后，森林的面積是多少呢？

正如該文作者點(diǎn)評的“以‘楊善洲造林’這個虛擬的情境替換教材中原來的情境，前者給人以造假、情境失真之感，而后者則自然、到處可見”.事實(shí)上，作為課堂教學(xué)起點(diǎn)，不僅要考慮這一堂課內(nèi)的邏輯連貫，而且要考慮整個章節(jié)、單元、學(xué)期甚至學(xué)段知識鏈上的邏輯連貫.上文在“生成片斷1”中，開課階段引導(dǎo)學(xué)生回顧軸對稱與軸對稱圖形的性質(zhì)，正是引發(fā)學(xué)生關(guān)注整個知識鏈上的邏輯連貫.這里也可順便提及世界知名幾何學(xué)家伍鴻熙教授提出的數(shù)學(xué)的基本原則［4］，比如“數(shù)學(xué)是連貫的，數(shù)學(xué)的概念和方法組成了一個邏輯嚴(yán)密的整體”.可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須按照數(shù)學(xué)知識發(fā)展的這種邏輯系統(tǒng)而循序漸進(jìn)，不能隨意超越、跳越.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的這個特點(diǎn)與其他學(xué)科的學(xué)習(xí)是很不一樣的.

2.重視基本套路，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)

章建躍教授在文5中強(qiáng)調(diào)要重視“基本套路”的教學(xué)，如代數(shù)教學(xué)中，無論是數(shù)、式、方程、不等式，都應(yīng)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)算的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，并稱這就是“代數(shù)的整體性”.而具體對象的研究中，則要遵循“定義—表示—性質(zhì)—公式、法則……”的“基本套路”.在上面的教學(xué)案例中，我們在探究等腰三角形的性質(zhì)時，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過獨(dú)立自學(xué)（操作探究）、小組交流，然后全班匯報，在課堂生成“片斷2”中，學(xué)生基于軸對稱的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形的性質(zhì)定理；由于不少等腰三角形問題只是關(guān)注了一些特殊點(diǎn)，如腰上高的垂足，腰的中點(diǎn)，底角平分線與腰的交點(diǎn)，而生5、生6卻將問題向更豐富的性質(zhì)上拓展，發(fā)現(xiàn)了“等腰△ABC的對稱軸上的任一點(diǎn)與兩腰上的對稱點(diǎn)的連線都分別相等.”讓學(xué)生在“基本套路”的引導(dǎo)下，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)，學(xué)會學(xué)習(xí)，以教達(dá)到不教的目的，永遠(yuǎn)應(yīng)該是我們的追求.再有，在課堂最后，我們還引出“大邊對大角”這一看似多余的變式追問，這也是要向?qū)W生滲透“對立統(tǒng)一”、“矛盾轉(zhuǎn)化”等辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育.

四、結(jié)束語

作為文末，筆者還想推介最近讀到的一則關(guān)于數(shù)學(xué)的比喻［6］.

想象一個平原上面有一座巨大的直入云霄的隱形大廈.因?yàn)樗鼘ζ皆爸車鷼夂虍a(chǎn)生的影響，我們知道它就在那里.人們在看起來是大廈的底部周圍種上藤蔓的種子，藤蔓沿著隱形的墻生長，沿著角落、裂縫的雕塑摸索它自己的路，緩慢勾勒出那里的一些東西的輪廓.藤蔓沒有隨意生長，因?yàn)樗枰掷m(xù)的照顧.它需要水、肥料，甚至需要導(dǎo)向，所以需要園藝師.這些管理者在地上或者站在搖晃的高梯子上不斷地修剪和撥開藤蔓.結(jié)果就是藤蔓的形狀以及它似乎要形成的輪廓不僅反映出其中的大廈，也反映出園藝師的興趣和日常工作.

想來，作為中學(xué)數(shù)學(xué)教育人，有責(zé)任、有義務(wù)向?qū)W生傳授邏輯連貫的數(shù)學(xué)教學(xué).惟有這樣，數(shù)學(xué)作為一座“隱形大廈”，才能讓更多的學(xué)生知道并確信“它就在那里”！

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（6）.

2.李庾南，陳育彬.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.蔡宏.教學(xué)預(yù)設(shè)時對教材內(nèi)容的“加減”之思——由一次市級賽課的教案說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

4.章建躍.數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（6）.

5.章建躍.課堂教學(xué)要注重數(shù)學(xué)的整體性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（5）.

6.Greg McColm.數(shù)學(xué)教育的一個比喻［J］.姜紅，譯，陸柱家，校.數(shù)學(xué)譯林，2012，31（3）.