引入符號表征，重視推理表達——以七年級“三角形的高、中線與角平分線”的教學為例

☉江蘇省東海縣安峰初級中學 楊海寧

引入符號表征，重視推理表達
——以七年級“三角形的高、中線與角平分線”的教學為例

☉江蘇省東海縣安峰初級中學 楊海寧

近讀史寧中教授《數學思想概論》（第1~5輯）［1］，享受于史教授對基本數學思想（抽象、推理、模型）的概括和闡釋.特別是，作為第1~2輯講述的重點，關于“抽象”，史教授特別指出了符號表達的重要意義，這引發筆者對新近在七年級執教“三角形的高、中線與角平分線”的思考，本文主要展示該課的教學設計、生成片斷，并給出三點反思，與同行交流.

一、教學設計簡案

（一）教學目標

1.經歷折紙、畫圖等實踐過程，認識三角形的高、中線與角平分線.

2.會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解三角形的三條高（及所在直線）交于一點，三角形的三條中線、三條角平分線都交于一點.

3.通過學生作圖、觀察、比較、描述圖形等數學活動，讓學生感受數學的嚴謹性，圖形中蘊含的規律性，提高學生學習數學的熱情及大擔探究新知識的創新能力.

（二）教學流程

1.閱讀教材相關概念并對話交流.

2.師生合作整理三角形中三種重要線段，從概念、圖形、符號語言的角度理解與掌握.

3.畫圖活動.

活動1：在練習本上畫出三角形，并在這個三角形中畫出它的三條高.

預設追問1：如果他們所畫的是銳角三角形，接著提出直角三角形的三條高在哪里？鈍角三角形的三條高在哪里？

預設追問2：觀察這三條高所在直線的位置有何關系.

預設答案：三角形的三條高交于一點，銳角三角形三條高的交點在三角形內部，直角三角形三條高線的交點為三角形直角頂點，而鈍角三角形三條高的交點在三角形的外部.

活動2：在練習本上畫三角形，并在這個三角形中畫出它的三條中線.

預設追問1：如果我們所畫的是銳角三角形，接著我們畫出直角三角形和鈍角三角形，看看這些三角形的中線在哪里？

預設追問2：觀察這三條中線的位置有何關系？三角形的一條中線把三角形的面積分成兩個面積相等的三角形.

預設答案：三角形的三條中線都在三角形內部，它們交于一點，這個交點在三角形內部.

活動3：在練習本上畫一個三角形，并在這個三角形中畫出它的三條角平分線，觀察這三條角平分線的位置有何關系？

預設答案：無論是銳角三角形還是直角三角形或鈍角三角形，它們的三條角平分線都在三角形的內部，并且交于一點.

4.例題鞏固.

例1 如圖1，是甲、乙、丙、丁四位同學畫的鈍角△ABC的高BE，其中畫錯的是_________.

圖1

預設意圖：這是學生在解題時的一個易錯點，通過例題強化理解畫高時的兩個注意點：一是過哪個點；二是垂直于哪條邊.

圖2

例2 如圖2，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB.

（1）若∠A=70°，求∠BDC的度數；

（2）試判斷∠BDC與∠A的關系，并說明理由.

預設意圖：這道題在三角形的角平分線問題中具有典型性，體現由特殊到一般的思想，本題是已知兩條內角平分線，探索其夾角與第三個內角之間的關系，為后面研究一外角平分線與一內角平分線與第三個內角之間的關系，兩外角平分線與第三個內角的關系作鋪墊.

預設追問：通過以上求解發現了哪些規律？請總結且與同伴交流.

預設意圖：第（1）、（2）題體現由特殊到一般的規律，即由已知∠A的度數求出∠BDC的度數，再由不告知∠A的度數，求出∠BDC與∠A的關系，體現內在規律.

5.練習鞏固（略）.

6.小結作業（略）.

二、課堂生成片斷

生成片斷1：新知引入階段.

師：同學們在小學階段都學過了三角形的高，那么什么叫三角形的高？三角形的高與垂線有何區別和聯系？

生1：（搶著站起來）三角形的高是從三角形的一個頂點向它對邊所在的直線作垂線，是頂點和垂足之間的線段，而從三角形一個頂點向它對邊所在的直線作垂線，這條垂線是直線.

師：什么叫三角形的中線？連接兩點的線段與過兩點的直線有何區別和聯系？

生2：三角形的中線是連接一個頂點和它對邊的中點的線段，而與過兩點的直線有著本質的不同，一個代表的是線段，另一個卻是直線.

師：什么叫三角形的角平分線？三角形的角平分線與角的平分線有何區別和聯系？

生3：三角形的角平分線是三角形的一個內角平分線與它的對邊相交，是這個角的頂點與交點之間的線段，而角的平分線指的是一條射線.

師：三角形的高、中線和角平分線是代表線段還是代表射線或直線？

集體回答：線段.

生4：三角形的高、中線和角平分線都是線段，這些線段的一個端點是三角形的一個頂點，另一個端點在這個頂點的對邊上.

師：小學階段學習三角形中這三種重要的線段時，我們往往憑著直覺可以直接進行相關的運算或解題，進入初中后，我們需要更加規范、簡練地說理和表達，所以下面我們一起來整理下表（見表1）.

表1：三角形的重要線段一覽表

生成片斷2：畫圖活動后的對話.

師：同學們都在三角形中畫出了三角形的三條高了，看看三條高的位置有怎樣的關系？

生5：我在小學里就知道，銳角三角形的三條高都在內部，交于一點.直角三角形兩條高在邊上，一條高在內部，且交于直角的頂點.鈍角三角形兩條高在外部，一條高在內部，且延長線交于一點.

師：總結得很好！

師：再看不同的三角形三條中線的位置有何特點？

生6：三角形的三條中線都在三角形內部，且它們交于一點，這個交點在三角形內部.

師：三角形的一條中線把三角形的面積怎樣了？

生7：平分（等底同高）.

師：繼續思考，不同三角形中三條角平分線的位置關系如何？

生：銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，它們的三條角平分線都在三角形內，并且交于一點.

師：很好！完全正確.如果把它們恰好交于一點稱為數學的奇異性的話，隨著我們學習的深入，以后我們還會研究、解釋并證明這種奇異現象.

三、教學反思

（一）引入符號表征，滲透多元表征

日本數學家米山國藏在總結數學的兩大特征時，曾指出：“為了有助于‘人類思想表達的經濟化’（這里的經濟化是指變得簡潔，省事），數學使用了比其他任何科學都要多得多的術語和記號.”［2］米山認為：“若不用這些數學術語來表達相似的意義，而要用普通的語言來完整地表達它，那就一定會變得冗長復雜難于理解，其內容也一定混淆不清.用簡潔的文字表達具有復雜內容的事物或關系的同時，還采用簡單的記號來表示它們，如≌或∽符號.”事實上，這也正是中小學數學的一個重要不同，相對于小學數學來說，初中階段的數學符號語言更加豐富、簡潔，上文課例中，在“生成片斷1”師生一起整理“表1”，其中特別小結出了符號語言表示，就是要引導學生重視符號語言的表達.此外，“表1”中還體現了對于同一概念的不同表征，也即當前受到重視的“多元表征”理論，就是指“人們關于數學概念（或數學問題）的心理表征往往包含多個不同的方面或成分，而且這些成分對于概念的正確理解都具有重要的作用，我們應高度重視這些成分之間的聯系.”［3］

（二）重視推理表達，從直觀到理性

初中階段是學生系統學習歐氏平面幾何的開始，是學生在圖形學習時以直觀、直覺、猜想、合情推理為主逐漸轉向理性、說理、證明、思辨.初中幾何系統學習點、線、三角形、四邊形、圓、圖形變換等內容，應該指出，歐幾里德在《幾何原本》中給出五個公設［4］與五個公理，即是以此出發，演繹推理出“一座大廈”，當下初中數學多種教材中給出的公理、定理、推論，都是基于“五個公設”、“五個公理”演繹出來.這樣來看，從七年級開始，像上文提及的三角形中重要線段的課例中，不滿足于簡單的性質再現，而是重視符號語言、簡單推理表達，就是追求從直觀到理性的過程.此外，上文“生成片斷”的教學對話中，涉及教師對學生的有效追問，這里也可提及日本著名教育學者佐滕學的觀點：“教師的關鍵不在于說而在于聽.我也認識到當今世界很多優秀的教師，大家都認為教師的工作重心是傾聽.對學生來講同樣如此，只有更好地傾聽，才能達到更好的學習效果.我們需要明確的是‘互相學習’和‘互相說’是完全不同的兩件事.”［5］顯然，課堂教學中的互相傾聽需要教師的耐心，而不是急著打斷、幫助優化.

（三）注意中小銜接，思辨解題表達

美國教育心理學家戴維·奧蘇貝爾曾說：“影響學習的最重要的因素是學生已經知道了什么，要根據學生的原有知識狀況進行教學.”所以在上文的教學設計和教學對話中，能看到中小學之間的銜接，無論是教師的教學設計，還是學生在回答問題時提及的“小學里就已經知道”，說明重視中小學銜接是十分重要的.在這里，需要提及，當前有些初中教材在編寫過程中缺少對相應小學數學教材的關注，造成了“各自為戰”，如在三角形內角和定理的教學時，不少教師“嚴守”某些教材的情境，安排不少教學時間讓學生剪拼，為了得到一個180度的結論，卻忘了問一下學生“你們知道三角形內角和嗎？”這里可提及美國學者巴拉布與達菲對預設“好的問題”的建議：“教師的工作是通過向學生問他們應當自己問自己的問題來對學習和問題解決進行指導，這是參與性的，不是指示性的；其基礎不是要尋找正確答案，而是針對專業的問題解決者當時會向自己提出的那些問題.”［6］這就是指，能夠提出恰當的問題正是喚起數學活動經驗的有效保證.

1.史寧中.數學思想概論（第1~5輯）［M］.長春：東北師范大學出版社，2008、2009、2009、2010、2012.

2.［日］米山國藏.數學的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社，1986.

3.鄭毓信.教師專業成長的主要目標與重要內容（下）［J］.小學教學(數學版)，2013（12）.

4.齊民友.數學與文化［M］.長沙：湖南教育出版社，1991.

5.［日］佐滕學.21世紀學校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.

6.喬納森，等，主編.學習環境的理論基礎［M］.上海：華東師范大學出版社，2002.FH