經驗打底 畫板助力——八年級《13.4 課題學習 最短路徑問題》教學設計

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

經驗打底 畫板助力
——八年級《13.4 課題學習 最短路徑問題》教學設計

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

一、前提

1.學情分析

（1）認知基礎.

在七年級已經研究過“兩點之間，線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題以及有關平移的基本知識，在本章的前面學生也初步掌握了作點關于某直線的對稱點，所有這些內容構成了本節課的認知基礎.

（2）活動經驗.

通過初中學段一年多的學習，學生已經有了圖形變換以及模型構建的意識，獲得了初步的數學化之思維轉化這一數學活動的經驗，具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.

2.教材分析

本節是“課題學習 最短路徑問題”，是本章的最后一節.教科書在這一節中安排了兩個問題，分別是“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”，解決這兩個問題的關鍵是通過軸對稱和平移等變化把問題轉化為關于“兩點之間，線段最短”的問題，在解決這兩個問題的過程中滲透了“化歸”的思想.

3.教學目標

通過探究1、探究2進一步熟悉軸對稱作圖以及平移變換作圖等基本技能，體會如何以這些素材為載體，利用本章所學的軸對稱等知識解決一類實際問題——選擇最短路徑問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，獲得解決此類問題的基本套路及經驗，發展空間觀念，激發內在興趣.

4.教學重點與難點

重點：探究1的思路獲取及問題解決是重點.

難點：探究2的解決是難點.

5.教學方法

問題——探究教學法（幾何畫板輔助）.

通過史料創設問題情景，給學生提供了廣闊的思考空間.引導學生在動手（作圖）操作中調整自己的思路、想法，探尋出解決問題的思維路徑，在幾何畫板的支持下，增進體驗，幫助學生探索、發現、驗證等，然后在拓展活動中遷移使用所獲得的基本經驗，力求達到深入領會其應用價值的目的.

二、教學過程設計

1.以史創境，引趣入題

設計意圖：通過“將軍飲馬”問題，烘托問題情境，在歷史經典中喚起學生的興趣，激發學生探尋的欲望.不求學生能立即獲得答案，主要定位于鼓舞斗志及問題的取向，把學生引領到研究的航道上來.

傳說在古羅馬時代的亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫.一天，一位將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天都從軍營A出發（如圖1），先到河邊l飲馬，然后再去河岸的同側B開會，他應該怎樣走才能使路程最短？據說當時海倫略加思索就解決了它.同學們，你知道問題的答案嗎？你能想象出海倫當時是怎樣解決的嗎？

教學說明：一般來說，學生不會張口就能回答，除非已經預習.因此，不論學生怎樣回答，我們都要作積極地回應，如適切的評點、激勵等，把學生的好奇心給撩撥起來，然后讓學生在這種積極心下展開探究，發揮好其助推作用.

2.問題引領，層級遞進

設計意圖：為了落實好兩個核心探究，通過設置基本問題作為先行組織者，在溫故中實現引新，為展開探究提供知識、方法及經驗的支持.

問題1：如圖2所示，從A地到B地有三條路可供選擇，選擇哪條路路程最短？你的理由是什么？

共識：線段AB，因為“兩點之間，線段最短”.

問題2：如圖3，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？原因是什么？

共識：連接AB，交直線l于點C，點C即為泵站的位置.原因仍然是“兩點之間，線段最短”.

教學說明：問題1的回答估計沒有問題，但對于問題2可能會出現一類錯誤：由A向直線l作垂線段，垂足為C，認為C是泵站的位置.此時可通過追問緣由的方式引起學生對最短的探尋，實際上這個狀態對應的管線長為AC+CB，而連接AB交直線l于點C時的管線長為線段AB，很顯然，根據“兩點之間，線段最短”或“三角形中，任意兩邊之和大于第三邊”，可以推翻原有的錯誤認識.總之，要關注現場的生成資源并有效利用，以保預設與生成的和諧.

三、畫板支持，手腦并用

探究1：如圖4，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

設計意圖：設置問題1增進遷移，實現同側最值問題向異側最值問題的轉化，問題2通過驗證與證明實現合情推理向邏輯推理的過渡，期間需要幾何畫板的功能支持.

問題1：前面我們已經解決了A、B兩點在直線兩側的最短問題，下面請同學們思考并嘗試，若這兩點居于直線的同側，該怎樣找到那樣的點P，使得AP與BP的和最??？

分析：在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A、B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和.現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的那個點來.

預設思路：（化異側為同側）先作點A關于直線l的對稱點A′，連接BA′，交l于P，則P點即為所求.

問題2：若找到了那樣的點，請證明結論的正確性.

教師用幾何畫板驗證后再展開證明的探索.

證明如下.

證明：如圖5，在直線l上取一點P′（異于點P）.

根據軸對稱的性質，可知AP′= P′A′，AP=PA′.

則AP′+P′B=A′P′+P′B＞A′P+ PB=AP+PB.

由此可知：A到B經P點距離最短.

教學說明：通過學生的嘗試，提出大膽的猜想，而后利用幾何畫板的測量功能，度量出AP+BP，然后拉動點P，記作點P′，度量出AP′+P′B ，呈現它們的大小，印證AP+BP最短.最后通過師生交流，形成兩條基本經驗：（1）此類問題的解答，實際上就是通過軸對稱變換，把A、B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”加以解決；（2）在證明最大或最小問題時，往往需要另找一個量與要求證的最大或最小量進行比較來證明.

同步練習：

（1）對課始的問題來說，你知道海倫是怎樣解決的嗎？

（2）八年級某班同學做游戲，在活動區域邊放了一些球，如圖6，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A處？

答案：（1）如圖7所示的方案.

（2）如圖8所示：路線為小明—P—A.

教學說明：有了探究1的引路，要求學生獨立完成兩個練習，然后交流結果，以印證解題的基本套路，鞏固剛剛獲得的基本經驗.

探究2：（造橋選址問題）如圖9，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN，橋應造在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

設計意圖：通過設置問題3、4，在探究1獲得的經驗基礎上，把問題引向深入，使得平移變換自然呈現，進一步體現圖形變換在最短路徑問題中的價值.

問題3：本問題又變成了點在直線兩側的問題，但一條直線拓寬成了一條河，請同學們思考，要在河上造一座橋MN，橋應造在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？

分析：由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的.可用幾何畫板探測這樣的最小值是否存在.若存在，探測在哪里取得.現場具體操作如下.

（1）畫直線a，過a外一點畫直線b∥a，用a、b表示河兩岸，在河岸的兩側各取一點A、B ，在a上任取一點M，作MN⊥直線b，垂足為N，MN即可表示橋的位置，連接AM、NB，則AMNB可表示A到B的路徑，如圖10；

（2）度量線段AM、MN、NB的長度，并計算它們的和；

（3）拖動點M，可以發現AM+MN+NB的值會發生變化，且有一個最小值.

獲得結論：確實存在一個位置，使得AM+MN+NB的值最小，此時對應著路徑AMNB最短.

方案探索：從幾何畫板呈現的數據以及剛才的分析可知，無論橋建在何處，其長度是固定的，因此要使AM+ MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可，關鍵是這一段如何體現.實際上可把這段寬度看作是一條直線變寬形成的，如此一來就和平移掛起鉤來，這樣方案就有了.

既成畫法：（1）將點A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1；

4.反觀課堂，提煉小結

問題清單如下所示.

（1）將軍飲馬類問題解決的基本套路？

達成共識：就是通過軸對稱變換，把兩點在直線同側的問題轉化為在直線兩側的問題，從而可利用“兩點之間，線段最短”加以解決.

（2）通過探究2和拓展練習，我們在造橋選址問題上已經獲得了哪些經驗？

達成共識：對于造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其他路徑經平移后在一條直線上.

（3）解決路徑最短問題時，我們常用的圖形變換是什么？目的何在？

達成共識：通常借助軸對稱變換、平移變換等，把問題轉化為“兩點之間，線段最短”的模型去解決.

5.布置作業

略.

6.拓展練習

（1）如圖18，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點P是底邊AC上一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長是（ ）.

（2）如圖19，點P在∠AOB的內部，點M、N分別是點P關于直線OA、OB的對稱點，線段MN交OA、OB于點E、F，若△PEF的周長是20cm，則線段MN的長是________.

三、評價與反思

本節課通過經典史料設問，創設認知沖突，而后利用“線段公理”這一先行組織者，從學生已有的知識出發，通過問題引路，借助幾何畫板，進行了兩個探究活動的教學設計，整節課充滿學生的嘗試、辯駁，合情與邏輯攜手、預設與生成和聲，現代技術的支持為課堂增色.整體觀之，有三大特色.

1.已有經驗的先行組織

數學基本活動經驗充實了與時俱進的新“四基”，要展開探索與研究，學生已有的知識經驗起著先導的作用，有效利用能發揮它們的引領作用.引橋的搭建、思維缺口的彌合都離不開經驗的策動力，大膽的猜想源于借助已有經驗的認知分析，數學活動經驗涉及數學活動中的體驗、理解和感悟等，活動經驗的遷移，也是厚積薄發的過程，這種能遷移的活動經驗，是憑借已有經驗，在解決數學問題的過程中，把經驗轉化為新情景下的思路，通過往復“留痕”及反復強化、沉淀形成的，這樣的數學活動經驗，其遷移性能才會好.三個教學環節中的問題解決過程設計，就充分展現了已有經驗不斷遷移應用的歷程，有濃濃的課題學習的味道.

2.幾何畫板的開發與利用

本課時是一節課題學習，是軸對稱及平移等圖形變換的價值體現，自然盈滿幾何作圖，同時兩個問題都帶有一定的挑戰性、探索性，為幾何畫板的使用提供了條件，整節課處處有畫板的痕跡，幾何畫板的探測與驗證功能與邏輯推理的聯袂，呈現出強大的優勢，化解了本節課的難點.

3.問題情境貫徹始終

“問題”就是暫時的矛盾，是指一個人在有目的地追求而尚未找到合適手段時所感到的心理困境.問題烘托情境，情境凸顯問題，問題驅動思維，思維演繹精彩.整個課堂以“問題”為主脈，驅動著學生積極介入探索，在解決問題的同時，獲得了解決最短路徑問題的基本套路，形成后繼學習的新經驗，這些經驗具有較強的遷移效能.WG