授之以漁，關注學生終生成長——《圓周角》教學實錄、評價及反思

☉安徽省宣城市教育體育局教研室 李 群

☉安徽省宣城市廣德縣盧村中學 何瑩瑩

授之以漁，關注學生終生成長
——《圓周角》教學實錄、評價及反思

☉安徽省宣城市教育體育局教研室 李 群

☉安徽省宣城市廣德縣盧村中學 何瑩瑩

一、再現課堂

1.情境導入

師：同學們，平時喜不喜歡看電影啊？有一部電影《神偷諜影》看過沒有？陳小春、金城武他們演的.劇中他們運用高科技手段進行偷盜，簡直出神入化，如入無人之境.老師原以為啊，這事只能出現在電影中，可是2004年在上海出現了現實版的《神偷諜影》（上課前）.

師（邊用多媒體展示邊解說）：2004年5月13日，我國發生了建國以來最大的珠寶盜竊案，在上海世貿商城舉行的“第四屆上海國際珠寶展覽會”中的百萬珠寶不翼而飛，被盜鉆石的56號和57號展位竟然是監控錄像的盲區.（稍稍停頓）為避免這種類似的事情再次發生，我們需要解決這樣一個問題：（多媒體展示文字和圖）在一圓形展廳邊緣安裝監視器，每臺監控角度是65°，為了監控整個展廳，最少需在圓形邊緣上安裝多少臺這樣的監視器？

學生面面相覷，相互討論.

師：學完了本節課，同學們肯定能迎刃而解.

師：同學們，老師不遠千里來，還特意帶來了親手自制的教具（展示），請同學們仔細觀察弧BC所對的這個角叫什么？

生：（異口同聲）圓心角.

師：你們能說說什么是圓心角嗎？

生：頂點在圓心的角是圓心角.

師：（演示）弧BC所對的這個角還是圓心角嗎？

生：不是.

師：它又叫什么角？（停頓）這就是今天我們要探討的圓周角，（板書）讓我們一起走進它的世界，去感受它的魅力.

評析：通過生活中的實例，引出話題，激發學生的興趣，讓學生感知生活中處處有數學.同時用自制教具演示，學生對新事物充滿好奇，從而激發他們的求知欲.

2.歸納概念

師：你能類比圓心角嘗試著給圓周角下個定義嗎？

生1：頂點在圓上.

師：（表示肯定）除了頂點外，角的邊還具有什么條件？

生2：兩邊都與圓相交.

師：為什么圓心角僅僅說頂點在圓心的角就可以？

生2：因為圓心角的兩邊肯定和圓相交.

師：不錯，思考的很全面，你們認為這兩句話中的重點是什么？（指黑板）

生3：頂點在圓上，兩邊與圓相交.

師：很好，現在請同學們擦亮自己的眼睛，仔細觀察老師教具演示，判定這些角是否是圓周角，并說明理由.

學生踴躍發言.

師：我們把具備這兩個條件的角叫圓周角（板書圓周角定義）.

評析：學生理解圓周角的概念，區分圓周角和圓心角，讓學生經歷運用概念解決問題過程，激發學生的積極性，并能更深刻地理解圓周角.

3.實驗探究

師：想必大家都會畫圓吧，現在跟老師一起來畫圓O，在圓上任取弧BC，請畫弧BC所對的圓心角，你能畫出幾個？

生：（作圖）一個.

師：畫弧BC所對的圓周角，你能畫出幾個？

生：無數個.

師：這么多圓周角不方便我們研究，我們能否把它們進行分類？（停頓）該怎樣分類？（生思考）（師追問）以什么為基準進行分類？

生4：我以圓心這個定點，把圓周角分成兩類：（1）圓心在圓周角內部，（2）圓心在圓周角外面.

生5：（反駁）我認為還有圓心在圓周角邊上.

師：（表揚）還有同學有不同意見的嗎？

生：搖頭.

師：現在老師用幾何畫板動態演示，（演示）發現圓心與圓周角只有這三種位置關系.這里體現了數學的分類法，它是數學的一種基本方法，對于提高解題能力，發展思維的縝密性，具有十分重要作用.

評析：在此向學生滲透了分類的數學方法，讓學生明白為什么要進行分類研究，又給學生明確了探究的方向.

師：（再一次用教具演示）當同弧BC所對的圓心角變為圓周角時，這個角的大小有什么變化？

生：變小

師：它們之間是否存在某種數量關系呢？（停頓）請同學們來做個實驗，按大屏幕上的要求，完成老師發給你們的實驗報告.

評析：通過學生親自動手測量，讓學生更好地發現同一條弧所對的圓周角與圓心角之間的數量關系，培養學生的動手操作意識、積累學生的數學活動經驗.

師：完成好的請舉手示意.哪位同學能上臺大膽展示你的結論？

生6：（用投影展示自己測量的結果并匯報）我的結論是：一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半.

師：大家不要吝嗇自己的掌聲，把掌聲送給他.那么大家的結論是否和他的一致？

生：是（肯定）.

師：任意的圓心角和圓周角之間大小又有什么關系？老師用幾何畫板演示

評析：引導學生親自動手，利用工具進行實驗探究，在這里給學生充足的時間，讓學生的能力得到充分的發揮，然后通過討論得出結論，激發學生的求知欲望，調動學生學習的積極性.學生利用自己的工具測量的結果可能存在誤差，而利用幾何畫板來進行演示，可以有效地避免這一不足；另外還可以讓學生直觀、形象地體會到同弧所對的圓心角和圓周角之間的數量關系.

4.證明結論

師：數學單靠觀察和測量是遠遠不夠的，我們還需要嚴謹的證明.我們先來證明哪一種情況呢？哪一種情況最特殊呢？

生：第一種（圓心在圓周角的邊上）.

師：同學們請寫出此結論的數學符號語言（寫出已知和求證）.小組相互交流，想想第一種情況的證明過程，請一位同學口述，老師來板書.

生7：如圖1，因為OA=OB，所以∠OAB=∠OBA.因為∠COB=∠OAB+∠OBA，所以∠COB=2∠OAB.

圖1

師：非常好，那么圓心在圓周角內部和圓心在圓周角外部時，我們怎樣證明？大家來觀察圖1，此圖形圓的內部像生活中的什么圖形？

生：小旗幟.

師：好，老師把它涂上顏色（在幾何畫板上操作），我們發現旗桿是圓的直徑.而旗桿頂部的角等于旗桿中部角的一半.你能利用第一種圖形及它的結論，證明第二種和第三種情況嗎？（此時把班級分為兩組）請第一組合作完成第二種情況證明，第二組合作完成第三種情況.

教師此時參于活動，巡視，引導學生添加輔助線.并提示學生把圓內的圖形想象成小旗幟.

評析：利用多媒體直觀形象地演示，使抽象的數學知識以簡單明了的形式展示在學生面前，突破難點，使知識的呈現符合學生的認知規律，縮短了知識與學生之間的距離，豐富了教學內容.

師：請第一組小組代表上臺展示自己的成果.

圖2

師：請第二組小組代表上臺展示自己的成果.

老師此處發現同學面有難色，就利用幾何畫板把第三種情況圓內部涂上了顏色，如圖3，師生合作完成.

圖3

生8：用投影展示第二種情況證明過程并口述.

師：生8書寫得非常規范，口頭表達能力也很棒，老師要稍加說明的是添加輔助線的表述，連接AO并延長與圓相交于點C，如圖2.

師：我們利用了第一種情況證明了后兩種情況，這體現了數學的轉化思想，而我們用三種情況證明了這個結論是正確的，這種方法在數學上叫完全歸納法.現在我們名正言順地把這個結論叫圓周角的定理（板書）.

評析：通過師生合作，讓學生學會運用分類討論的數學方法、轉化的數學思想來研究問題，從而培養學生嚴謹的治學態度和創造性的解決問題的能力.

5.鞏固新知

師：老師現在要來考考同學們對這個定理的掌握情況，請看大屏幕第一題，如圖4.

生：（快速）35°.

師：說說理由.

生（異口同聲）：一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半.

師：不錯，第二題呢？如圖4.

圖4

生9：120°.因為∠APB=60°，∠AOB=2∠APB=120°.

師：好，老師來考考你們的反應速度，老師說同一條弧所對的圓心角，你們說圓周角.準備好了沒有？

生：（熱情高漲）準備好了.

師：圓心角是80°.

生：（非常快）40°.

師：圓心角是40°.

生：20°.

師：不錯，老師現在反過來說一條弧所對的圓周角，你們說圓心角.圓周角是80°.

生：160°.

師：圓周角是90°.

生：180°.

師：同學們的反應速度太快了，接下來我們的能力要進一步提升了，請看下面的問題.

如圖5，△ABC的頂點A、B、C都在⊙O上，∠C=30°，AB=2，則⊙O的半徑是_________.

圖5

生10：是2，連接AO，BO.

因為∠C=30°，所以∠AOB=60°.又因為OA=OB.所以△AOB是等邊三角形.所以OA=OB=AB=2，即半徑為2.

師：很棒，現在你們肯定能解決剛上課時老師提到的生活中的實際問題（幾何畫板展示），請同學們交流后告訴老師答案.

生11：至少是三臺.因為圓周角是65°，那么它所對的圓心角是130°，由于圓心角的度數等于它所對弧的度數，用360°除以130°，所以至少需要三臺這樣的監視器.

師：非常棒，看來我們學完了今天的內容，的確能解決生活中的問題.

評析：通過以上幾個問題的層層深入，考查學生對定理的理解和應用，并將本節課的知識和所學過的內容緊密結合起來，使學生能夠很好地進行知識的遷移，加深對本節知識的理解.

6.小結內容

師：請你選擇下面一個或幾個關鍵詞談談本節課的體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅、困惑、成功……（大屏幕展示）

評析：通過這種小結，讓學生歸納、總結本節知識、思想和方法，關注了不同層次的學生對所學內容的理解和掌握，有利于培養學生的數學學習能力.同時教師把學生零散的知識歸納形成體系，構建成學生自己的知識，融入學生已有的知識體系中.

7.布置作業

課本29頁練習：1、3題

評析：課后作業是對課堂所學知識的檢驗，能及時發現問題，反饋教學效果，讓學生所學知識得到鞏固、提高和發展.

二、總體評價

本節課是滬科版九年級上冊第25章第四節《圓周角》第一課時，曾在全省初中數學青年教師優秀課現場評比中獲一等獎.本節內容是在學習了圓心角后的又一個重要性質.通過對圓周角的學習，對學生無論在知識上，還是在學生數學活動經驗的積累、數學思想方法的掌握上，都起著十分重要的作用.

教學中，教師利用教具動態演示，經過觀察類比圓心角，得出圓周角的概念，并通過操作、觀察、實驗、猜想、論證得出圓周角定理.培養學生用分類方法和轉化的思想來探索問題.通過經歷圓周角定理的證明過程，激發了學生的學習熱情，培養學生從特殊到一般、分類討論的思維方法和嚴謹的說理能力.學生在一系列的活動中培養了縝密的思維和合作交流的意識并獲得成功體驗，教師真正做到把課堂還給學生.

九年級的學生雖然已具備一定的說理能力，但邏輯推理能力仍不強，根據數學的認知規律，數學思想的學習應當逐步遞進、螺旋上升，因此，在辨析完圓周角的概念后，通過學生作圖歸納圓心與圓周角的位置關系，從而分散了難點，學生在此基礎上探討圓心角與圓周角的數量關系更是水到渠成，然后再利用轉化思想探索圓周角定理的證明.

根據本節課的特點及學生的思維特點，教師充分利用教具、幾何畫板、多媒體等手段，采用了探究式教學法，通過操作、實驗、合作、交流、歸納、論證、應用來培養學生的創新精神與實踐能力.使學生感受了圓周角，學生的學習興趣大大提高，有利于開發學生大腦中淺在的思維意識，養成愛動腦筋、樂于探索的優秀品質.

總之，數學課堂不僅要教會學生數學知識，更要教學生怎么學數學，怎樣用數學思維看待問題.這節課正是按照這個理念設計的.情境導入，發揮教師引導的作用，激發學生的興趣；新知研學，領會數學思維，養成數學思考；課前、課上、課后，指導數學學習方法，養成數學學習習慣.通過教師引導“授之以漁”，讓學生學會學數學.

三、反思

數學到底要教會學生什么？《數學課程標準》給出了答案：“引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維，培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習思想方法”.同時對數學課堂教學活動是這樣界定的：“有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”.因此，課堂教學應當重點教會學生怎么學，“授之以漁”永遠比單純的“授之以魚”來得實惠.學生在課堂上學會數學思考、掌握科學的數學學習方法及養成良好的學習習慣更為可貴.

1.授之以漁，激發學生“捕魚”的興趣

“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生學習的興趣，調動學生學習的積極性”.上課伊始教師就抓住學生關心并感興趣的電影，調動學生的情趣.以實際的新聞實例“上海珠寶盜竊案”引入監控器對圓形展廳的覆蓋，引出本節課知識.把數學知識和現實實際相連，讓學生不再感到數學與現實無關，數學不再是一味地演算、推導等抽象的東西，數學同樣可以很具體，和生活密切相連.讓學生真正感受到“數學好玩”，“數學有用”.學生的興趣被激發，課堂氣氛頓時活躍起來.學生的思維被打開.真正地實現了“要我學”到“我要學”的轉變.學生一旦“愿學”、“樂學”，那么后面教學環節的推進自然就是水到渠成，一氣呵成.

2.授之以漁，教會學生“捕魚”的方法

“要注重培養學生良好的數學學習習慣，是學生掌握恰當的數學學習方法”.每一門學科的學習都有著其獨到的學習方法，數學這一門學科也不例外.指導學生掌握學習數學的科學方法，從而養成良好的數學學習習慣，應當而且必須滲透到日常數學教學活動中去.教師在本節課堂上鼓勵學生發現問題、提出問題、通過實驗求證，同伴互助、合作探究等方法解決問題.課后預留作業，指導學生及時復習鞏固.在課前、課上、課后三個學習環節教會了學生科學的學習方法，久而久之自然能形成好的習慣.

3.授之以漁，關注學生的終生成長

“引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維”.培養學生的數學思考，能夠運用數學的基本思想和思維方式去看待問題、解決問題，在某種程度上比單純地教會學生具體的數學知識更為重要.數學知識可以通過后天的學習得到，什么時候學可能都不會晚.但是，如果學生沒有從小形成數學思考將直接影響以后看待問題的方式.而一旦養成了數學思考他將受益終生.本節課教師就有意設計一些這樣的活動，讓學生在參與觀察、分類、實驗、猜想、證明、綜合實踐的過程中，發展合情推理的能力.比如利用教具演示角的大小變化，并通過學生動手實驗操作，然后用幾何畫板動態演示圓心角與圓周角的位置關系和數量關系，自然生成，讓學生大膽猜想、小心求證.然后順理成章地引導學生分三種情況推導圓周角定理的證明過程.定理學完后，馬上進行適當的練習加以鞏固，讓學生在思考與回答的過程中運用并體會數學思維.在上述探索過程中，從特殊到一般，再從一般到特殊，直觀感知、合情推理與嚴格驗證相得益彰.以學生活動為核心，適時滲透了“分類”、“轉化”等數學思想和方法，有效提高了學生的推理能力.

我們關注的是學生的成長，而不僅僅是成功；我們關注的是學生的技能形成，而不僅僅是知識的獲得.“授之以漁”讓學生能夠自己學習數學；“授之以漁”讓學生能以科學、嚴密的數學思維看待社會，才是真正的“傳道者”.