一道中考模擬題的推廣

☉湖南省慈利一鳴中學 滿 群

一道中考模擬題的推廣

☉湖南省慈利一鳴中學 滿 群

“全等與相似”作為空間與圖形體系中重要的一部分內容，是中考的一個熱點，也是一個難點，近些年來，在各省市中考題中都有涉及.解決與圖形全等或相似有關的問題，需要掌握基本圖形（三角形）全等或相似的概念、條件和性質，同時要學會從一般的幾何圖形中分離出基本圖形，學會在觀察與操作活動中，探索基本圖形的性質與特征，學會有條理地思考、表達，學會綜合利用各種基本圖形的性質分析問題，更要注意轉化、構造等數學思想方法的運用.在多年的教學過程中，筆者發現將“全等與相似”兩者類比研究更相得益彰.

波利亞說過：“類比是一個偉大的引路人”.本文就從南京市2013年中考模擬試卷上的一道“四邊形的全等判定”的探究題出發，繼而探究一個“四邊形的相似判定”變式題，與讀者分享交流.

一、原題呈現

【問題提出】

規定：四條邊對應相等，四個角對應相等的兩個四邊形全等.

我們借助學習“三角形全等的判定”獲得的經驗與方法對“全等四邊形的判定”進行探究.

【初步思考】

在兩個四邊形中，我們把“一條邊對應相等”或“一個角對應相等”稱為一個條件.滿足四個條件的兩個四邊形不一定全等，如邊長相等的正方形與菱形就不一定全等.類似地，我們容易知道兩個四邊形全等至少需要5個條件.

【深入探究】

小莉所在學習小組進行了研究，她們認為5個條件可分為以下四種類型：

（Ⅰ）一條邊和四個角對應相等；

（Ⅱ）兩條邊和三個角對應相等；

（Ⅲ）三條邊和兩個角對應相等；

（Ⅳ）四條邊和一個角對應相等.

（1）小明認為“（Ⅰ）一條邊和四個角對應相等”的兩個四邊形不一定全等，請你舉例說明.

（2）小紅認為“（Ⅳ）四條邊和一個角對應相等”的兩個四邊形全等，請你結合圖形進行證明.

已知：如圖1，________________________________.

求證：_________________________.

圖1

（3）小剛認為還可以對“（Ⅱ）兩條邊和三個角對應相等”進一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1為例，分為以下幾類：

其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1全等的是_________（填序號），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個判定方法是________________________（用文字敘述）.

（4）小亮經過思考認為也可以對“（Ⅲ）三條邊和兩個角對應相等”進一步分類，請你仿照小剛的方法先進行分類，再概括得出一個全等四邊形的判定方法（用文字敘述）.

解答：（1）如正方形與矩形有一條邊對應相等和四個角對應相等，但顯然不一定全等.

（2）已知，如圖2，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，DA＝D1A1，∠B＝∠B1.

圖2

求證：四邊形ABCD≌四邊形A1B1C1D1.

（3）①②③；有一組鄰邊和三個角對應相等的兩個四邊形全等.

（4）分為四類：

有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對應相等的兩個四邊形全等.

點評：本題從三角形全等的判定出發，推廣到四邊形的全等判定.首先題目給出了兩個四邊形全等至少需要5個條件的結論，接著將5個條件分成了4類：一條邊和四個角對應相等、兩條邊和三個角對應相等、三條邊和兩個角對應相等、四條邊和一個角對應相等，繼而針對上述4種分類提出了4個問題，題目由易到難，以基本圖形（相似三角形）的知識為載體，滲透并引導學生提煉數學思想方法，從而體會一類問題的本質.

二、變式探究

為了能讓學生更加熟練地掌握此類問題的解法，體會全等與相似之間的聯系，繼而達到學一題會一類的境界，筆者在課堂上將全等和相似結合起來讓學生研究，于是在課堂上提出了如下問題.

【問題提出】

我們借助“探索三角形相似的條件”、“探索四邊形全等的條件”所獲得的經驗與方法，可以對“四邊形相似的條件”進行探究.

【基本思路】

規定：四條邊對應成比例，四個角對應相等的兩個四邊形相似.在兩個四邊形中，我們把“一個角對應相等”或“兩組邊對應成比例”稱為一個條件.在探索中發現，滿足四條邊對應成比例的兩個四邊形不一定相似，如：四條邊對應成比例的正方形與菱形就不一定相似.類似地，四個角對應相等的兩個四邊形也不一定相似，請你舉例說明_________________________.

【初步思考】

在探索中進一步發現，如果兩個四邊形的四條邊對應成比例，再添加一個角對應相等，那么這兩個四邊形相似.請結合圖3進行說明.

圖3

試說明：四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1.

【深入探究】

探究可得判定兩個四邊形相似的條件可分為以下三個類型：

（Ⅰ）四條邊對應成比例和一個角對應相等；

（Ⅱ）三條邊對應成比例和兩個角對應相等；

（Ⅲ）兩條邊對應成比例和三個角對應相等.

（1）我們對“（Ⅱ）三條邊對應成比例和兩個角對應相等”進一步分類，以四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1為例（如圖3），分為以下幾類：

其中能判定四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似的是_________（填序號），概括可得“相似四邊形的判定方法”，這個判定方法是________________________（用文字敘述）.

（2）請對“（Ⅲ）兩條邊對應成比例和三個角對應相等”進一步分類，仿照上述的方法先進行分類，再概括得出一個相似四邊形的判定方法（用文字敘述）.

解答：［基本思路］

如：正方形與矩形的四個角對應相等，但它們不一定相似.

【初步思考】

如圖4，連接AC、A1C1.

所以四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1.

【深入探究】

（1）④；三邊對應成比例且三邊中的相鄰兩邊的兩個夾角對應相等的兩個四邊形相似.

（2）分為兩類：

文字敘述：兩組鄰邊對應成比例且三個角對應相等的兩個四邊形相似.

點評：本題從三角形相似的判定、四邊形全等的判定出發，推廣到四邊形的相似判定.難度相比全等有一定的提升，通過類比學生很容易聯想到基本圖形（相似三角形），從而解決問題.對于“深入探究”板塊相似問題中成比例的線段，關鍵是找準兩組鄰邊.

三、推廣感悟

在全等的基礎上推廣到相似，學生更能將兩者的關系，兩者各自的性質、判定理解清晰，有了全等四邊形的判定結論后，學生在探索四邊形相似的條件的過程中更加充滿興趣，也有了一定的方法.

《新課標》明確指出：“為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程要特別注重發展學生的應用意識和創新意識，同時將原先的‘雙基’：基礎知識、基本技能，改成了‘四基’：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，更加體現了發展學生數學能力的重要性.”

著名科學家貝弗里奇說過：“獨創常常在于發現兩個或兩個以上研究對象或設想之間的聯系相似之點.”所以，在教學過程中，教師應當善于將問題遷移、類比，提出新問題讓學生研究.借助類比，將陌生對象和熟悉對象、未知規律和已知規律有機地聯系起來，達到啟發思維、舉一反三的效果，實現認知結構的遷移，真正讓學生的數學思想、能力得到提升，實現課堂的高效發展，讓學生在中考中更加勝人一籌.FH