破題策略：特殊直角三角形意識——由2013年河北省中考數學卷第26題說起

☉河北省唐山市路南區中學教研室 李姝俠

破題策略：特殊直角三角形意識
——由2013年河北省中考數學卷第26題說起

☉河北省唐山市路南區中學教研室 李姝俠

一、2013年河北省中考卷第26題的思路突破

例1（2013年河北中考第26題，有刪減）一透明的敞口正方體容器ABCD－A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖1所示）.

圖1

圖2

探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB′交于點Q，此時液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示.解決下列問題.

（1）CQ與BE的位置關系是___________，BQ的長是____________dm.

（2）求液體的體積.（參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB）

（4）在圖1的基礎上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖.若液面與棱C′C或CB交于點P，設PC=x，BQ=y.分別就圖3和圖4求y與x的函數關系式，并寫出相應的α的范圍.

圖3

圖4

思路突破：

（1）由常識知道CQ與水平桌面是平行的.

根據所給的三視圖，有CQ=5，CB=4，于是由勾股定理易知BQ=3（注意：這是一個“3，4，5”的特殊直角三角形）.

（2）此時的液體形狀是三棱柱，體積用底面積（Rt△BCQ的面積）與高BA（正方體的棱長）相乘即可得.

（4）分兩種情況考慮.

當容器向左旋轉時，如圖3，此時0°≤α<37°.由于液體體積不變，此時底面圖形由上一問中的三角形變成截面為梯形，可以用含x、y的式子表示底面積：1 2（x+y）·4，接著根據體積為24，可得關于x、y的等式，從而y與x的函數關系可獲得.

當容器向右旋轉時，如圖4，此時α≥37°，但是上限不容易確定，需要考慮Q與B′重合的臨界情況（如圖5）.利用液體體積公式，有（4－x）y·4=24，變形得y=.由剛剛分析“Q與B′重合”，

圖5

即y=4時，x=1，BP=3. 此時在Rt△BPQ中，tan∠BQP=，得∠BQP=37°.相應的α=53°.于是37°≤α≤53°.

解后反思：想起了中國繪畫藝術，講究“三遠”，即：平遠、高遠、深遠.這就相當于“角度”和“透視”的道理.但又與西洋的透視學不同.后者總是以一個固定的“立足點”為本，還要尋求科學的“焦距”，然后方能展示全畫面.中國則不然，是采用“分散立足點與焦點”的特殊表現法則.我們還想到了“一架高性能的攝像機”，可以發現上面圖1~圖5，都需要發現、構造、識別、切換、利用特殊直角三角形（有三邊比為3∶4∶5，有含30°的直角三角形），能否選準這些特殊直角三角形，對思路的獲取有很大的幫助.

根據筆者多年解題教學的經驗，學生對這類問題的求解障礙往往是沒有用好“特殊直角三角形”，或者說缺少“特殊直角三角形”意識，導致解題思路指向不精準，思路混亂，推證無力，下面再選編兩道2013年中考題講解思路，解后反思.

二、利用“含30°的直角三角形”意識解題

例2 （2013年江蘇宿遷第26題） 如圖6，在△ABC中∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE.

（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；

思路講解：（1）受條件“∠C=30°”的啟發，發現圖6中應該有“含30°的特殊直角三角形”，如Rt△ABC、Rt△CDE.于是取CD的中點O，連接OE.

于是∠A=∠ABE=90°-∠C=90°-30°=60°.

由OE=OC，得∠OEC=∠C=30°.

進一步∠BEO=180°-∠AEB-∠OEC=90°，即BE⊥OE.

結合OE為⊙O的半徑，所以BE是△DEC外接圓的切線.

解后反思：這道考題并不是一道太難的題，如果考生有特殊直角三角形的意識，能快速貫通思路，為惜時如金的考場應試帶來時間上的效益.

對于上面的例2來說，有特殊直角三角形意識還只是思路獲取上的快慢，對于下面的例3，如果有特殊直角三角形意識，則容易破解難題，獲取突破方向.

例3（2013年四川成都第27題，有刪減）如圖7，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC⊥BD于點H，P為CA的延長線上一點，且∠PDA=∠ABD.

（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；

思路講解：（1）PD與⊙O相切.理由如下.

如圖8，過點D作直徑DE，連接AE.則∠DAE=90°，即∠AED+∠ADE=90°. 由∠ABD=∠AED，∠PDA=∠ABD，得∠PDA=∠AED.所以∠PDA+∠ADE=90°.所以PD與⊙O相切.

解后反思：可以發現，第二問的求解需要對兩種不同的特殊直角三角形保持敏銳的識別能力，并且需要靈活切換、充分利用，這樣才能在復雜圖形中解決問題.

三、“特殊直角三角形意識”的破題意義

1.解題教學中教會學生學會審題，對強化條件保持足夠的敏感

數學解題一般都是由已知出發，向待求（待證）方向前行，在這個過程中，難題之難往往在于當無法順利前進時，需要退回題目，仔細看條件，特別是分析強化條件可能帶來什么信息，甚至某一個強化條件的價值能否被充分的發揮，這是很關鍵的.正如波利亞在名著《怎樣解題》［1］的“一段對話”下反復問“我應該從哪兒開始？”.本文倡導關注“特殊直角三角形意識”，就是倡導在解題教學中教會學生學會審題，特別是對強化條件保持足夠的敏感.像例3第二問中，如果對“tan∠ADB=”不夠敏感，往往就不能很快想到“設AH=3k，有DH=4k，AD=5k”，而這將影響難題破解、思路打開的快慢.

2.引導學生思辨特殊與一般的關系，促進對模式識別策略的理解

解題教學中，啟發學生由特殊條件發現、識別、構造、充分利用特殊圖形（包括本文提出的“特殊直角三角形”），其實也是引導學生思辨特殊與一般的關系.往大了說，數學教學就是在一般和特殊中不斷地切換，有時需要在一般中發現特殊，有時又要由特殊走向一般.順便提及，羅增儒教授在《解題學引論》中指出：“學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.”可以發現，本文倡導的關注“特殊直角三角形”意識，其本質也是引導學生重視模式圖形的發現、積累與利用，只是換了一種理解的方式，從不同的角度促進學生學會解題，提高解題能力.往大了說，這也是一種變式教學、多元表征式的教學.

1.［美］波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

2.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.