聚焦中考熱點之圓中的幾何最值問題

☉江蘇省徐州市銅山區三堡中學 田傳弟

聚焦中考熱點之圓中的幾何最值問題

☉江蘇省徐州市銅山區三堡中學 田傳弟

幾何最值問題是中考數學的一個熱點問題，涉及的內容可覆蓋整個初中平面幾何知識.本文僅就圓中的最值問題加以歸類總結，并通過舉例說明它們的解法.

結論1：直徑是圓中最大的弦.

例1 （2013年陜西）如圖1，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點，若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為______.

解析：連接OA、OB.

因為∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7.

圖1

因為GE+FH=GH-EF，要使GE+FH最大，只需GH取最大值，所以當GH為直徑時（如圖2），GE+FH取最大值，最大值為14-3.5=10.5.

結論2：過圓內一點的弦中，與過該點的直徑垂直的弦最短.

圖2

例2（2013年四川內江）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為_____.

圖3

解析：如圖3，因為直線y=kx-3k+4必過點D（3，4），且OD=5，⊙O的半徑為13，所以D（3，4）在⊙O內，因此過點D（3，4）的最短的弦BC與OD垂直.

連接OB.

在Rt△BOD中，OB=13，OD=5，所以BD=12.

故BC的長的最小值為24.

結論3：弓形弧上的點到弦的距離中，最大距離是該弧的中點到弦的距離.

圖4

例3（2011年江西南昌）如圖4，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B、C兩點除外）.

（1）求∠BAC的度數；

（2）求△ABC的面積的最大值.

解析：（1）如圖5，作直徑BD，連接DC，則∠AB CD=90°.

（2）因為△ABC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC的面積最大，即點A是BAC的中點時，△ABC的面積最大.

因為∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形.

結論4：如圖6、圖7，若點P不在⊙O上，射線OP交⊙O于M，射線OP的反向延長線交⊙O于N，則點P到⊙O上各點的距離中，點P到M的距離最小，點P到N的距離最大.

圖6

圖7

簡證：設點Q為⊙O上異于M、N的任一點.

當點P在⊙O內時，則PM=OM-OP=OQ-OP＜PQ，即點P到M的距離最??；PN=ON+OP=OQ+OP＞PQ，即點P到N的距離最大.

當點P在⊙O外時，證明留給讀者.例4（2010年北京市延慶縣二模）如圖8，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點.作正方形DEFG，連接AE，若DE=BC=2，將正方形DEFG繞點D旋轉一定角度，當AE為最大值時，求AF的值.

圖8

解析：當正方形DEFG繞點D旋轉時，點E在以點D為圓心，2為半徑的圓上，此時點A在該圓內，所以當線段AE經過點D時AE的值最大（如圖9），這時AE=3，EF=2.又因為∠E=90°，所以由勾股定理，得

圖9

結論5：如圖10，直線l與⊙O相離，線段OP⊥l，垂足為P，交⊙O于點M，PO的延長線交⊙O于點N，則⊙O上各點到直線l的距離中，最小距離是PM，最大距離是PN.

簡證：設點A為⊙O上異于M、N的任一點.

圖10

作AQ⊥l，垂足為Q，連接PA、OQ，設OQ交⊙O于點B.根據結論4，AQ＞BQ.

因為垂線段最短，所以OQ＞OP.又因為OB=OM，所以BQ＞PM，所以AQ＞PM，即最小距離是PM.

由結論4及垂線段最短，得AQ＜PA＜PN，即最大距離是PN.

例5 （2013年常州）如圖11，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0）、B（0，6），動點C在半徑為3的⊙O上，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值.

圖11

解析：如圖12，因為△OAB為等腰直角三角形，所以AB=OA=6.

當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大.

過O點作OD⊥AB于D，OD的反向延長線交⊙O于C，此時點C到AB的距離最大.

圖12

故當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，△ABC的面積最大，最大值為9姨 2+18.

結論6：直線l與半徑為r的⊙O相離，圓心O到直線l的距離為d，點P為直線l上任一點，PA與⊙O相切與點A，則PA的最小值是

例6 （2013年咸寧）如圖13，在Rt△AOB中，OA=OB=3 2姨 ，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為_____.

圖13

解析：如圖14，連接OP、OQ.

由PQ是⊙O的切線，得OQ⊥PQ.

因為OQ=3，是定值，所以當OP最小時，線段PQ最小，即當PO⊥AB時，線段PQ最短.

圖14