追根究因 方能明理——一道中考選擇題的錯因分析

☉浙江省寧波市寧波東海實驗學校 陳明儒

追根究因 方能明理
——一道中考選擇題的錯因分析

☉浙江省寧波市寧波東海實驗學校 陳明儒

一、緣起

暑假初中數學教師培訓會上，其中區內有位Z教師發言，主題是關于2013年寧波市中考數學卷的評價，在講到第12題（選擇題）時，介紹了兩種解法，實錄如下.

題目：7張如圖1所示的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示，設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a、b滿足（ ）.

圖1

圖2

解法1：如圖2，記左上角陰影部分的面積與右下角陰影部分的面積分別為S1、S2，AG=x.S=S1-S2，AD=BC=x+a，EC=x+a-4b.S1=3bx，S2=a（x+a-4b）.因此，S=S1-S2=3bx-a（x+a-4b）.由題意知：當BC的長度變化時，x也隨之改變，現不妨取x=a，x=2a，因為S始終保持不變，所以，3ab-a（a+a-4b）=6ab-a（2a+a-4b），整理得a2-3ab=0，解得a=0或a=3b.

因為a≠0，則a、b必須滿足a=3b.因此，選B.

解法2：前面部分同解法1，不妨取x=a，x=4b，則3ab-a（a+a-4b）=12b2-a（4b+a-4b），整理得a2-7ab+12b2=0，解得a=3b或a=4b.所以，問題的答案是：B或D.而試卷的標準答案是B，Z教師發現解法2有問題，但問題究竟出在哪里呢？他就征詢下面聽課的老師：“解法2錯在哪里？”

二、探究

讀者不難發現，解法1與解法2一脈同源，那么問題究竟出在哪里呢？這個問題引起了筆者的思考與探究.首先，想到將兩個答案中的等量關系分別代入圖2檢驗.

當a=3b時，將左上角陰影部分平移至右上角（如圖3），發現上下兩個黑色矩形一邊相等且都為3b，另一邊長始終相差b，則對應的面積之差為3b2，為定值，符合題意.

圖3

再看，當a=4b時，同樣將左上角陰影部分平移至右上角（如圖4），上下兩個黑色矩形一邊相等都為x，另一邊長DF與CF相差b，則對應的面積之差為-bx.因此，當BC的長度變化時，x也隨之改變，即S=S1-S2=-bx發生改變.所以，a=4b不符合題意.至此可以肯定，解法2是有問題的.

圖4

那么，錯誤究竟在哪里呢？讓我們回頭看解法1與解法2，發現解題方法一樣，但變量x選取的實數值不一樣.在解法1中，因為a≠0，所以a≠2a，也就是說，變量x取了兩個不同的實數，即在這個過程中線段BC確實發生了變化；在解法2中，a與4b的大小關系不確定，因此，有兩種情形，即a=4b與a≠4b.若a=4b，則變量x表面上取了兩個實數，實際上只取了一個值，即線段BC的長沒變，不合題意.錯誤的原因找到了，就是解法2犯了一個邏輯錯誤：把要求證的結論，先進行假設，是一個典型的循環論證.那如何改進、完善解法2呢？其實，只要將假設“不妨取x=a，x=4b”改為“不妨取x=a，x=4b（a≠4b）”即可.

三、再探究

問題找到并解決了，如果作為一個教學的素材，是否本題有更好的解決方案？問題本身還蘊含哪些數學價值？有哪些教學啟示？之后筆者對此問題進行了再探究.回顧上述兩種方法，本質是變量x取兩個不同的正實數，得到一個等量關系，而后化簡、整理，導出關于a與b的關系式.那么x取1、2，化簡、整理的過程不是更簡單嗎？

解法3：（前面同解法1）不妨取x=1，x=2，則3b-a（1+a-4b）=6b-a（2+a-4b），整理得a=3b.

解法3中不會出現關于a、b的二次方程，無需因式分解，變形過程簡捷，顯然，比前面的方案更好.

再回到題目中的題設：“當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變”，因為線段GD為定值，上述題設等價于“當AG的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變”，用函數的視角說明S是關于x的函數.由解法1，可以整理得：

初看，發現S是關于x的一次函數，依據一次函數的性質，S隨著x的增大而增大（或增大而減小）.而實際問題是：“當x的長度變化時，S始終保持不變”，因此，一次函數y=kx+b中的k=0，所以，3b-a=0，即S是一個常量函數.至此，就找到了解決本題的一般的代數方案.

解法4：記左上角陰影部分的面積與右下角陰影部分的面積分別為S1、S2.設AG=x.AD=BC=x+a，EC=x+a-4b.S1=3bx，S2=a（x+a-4b）.因此，S=S1-S2=3bx-a（x+a-4b）=（3b-a）x-a（a-4b）.由題意知：當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變.即當x取任意正實數時，S=（3b-a）x-a（a-4b）為定值.因為-a（a-4b）為定值，所以3b-a=0，即a、b必須滿足a=3b.

到目前為止，上述想法都糾結在代數領域，所涉及知識不外乎整式、方程及函數，即數與代數的范疇.再看原題目的背景，是個幾何圖形，提醒筆者從形的角度思考問題的解決方案，經過探究，就有了解法5.

解法5：因為矩形HBEM、矩形FDGN的面積均為定值，當S為定值時，矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差也為定值，而公共邊HF是變化的，所以，邊AH=BH，即a、b必須滿足a=3b.

這就是整體的解決方案（即數學中的整體思想）.具體的解題過程如下.

因為矩形HBEM和矩形FDGN的面積分別是4ab、3ab，為定值，所以它們的面積差ab也為定值.因此，當S為定值時，矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差也為定值，而實際上矩形AHFD與矩形HBCF的面積之差為AD×AH-BC×BH=3b（x+a）-a（x+a）=（x+a）（3b-a）.當x取任意正實數時，要使代數式（x+a）（3b-a）為定值，3b-a=0，即a、b必須滿足a=3b.

考試時學生估計不會想那么多、那么深刻，因為本題是個選擇題，那就用解選擇題的常用方法：排除法.

當a=3b時，S=S1-S2=3bx-3b（x-b）=3b2，為定值，故選B.

四、幾點啟示

1.小題目，大價值

2011年版的義務教育數學課程標準新定義“數學是研究數量關系和空間形式的科學”，“整個數學始終圍繞‘數’與‘形’這兩個概念的抽象、提煉而發展”，這兩句話很好地闡釋了數學的本質.因此，我們的數學教學、解題研究及命題備考要始終抓住這條主線.本題雖小，是道選擇題，但解題過程中時時都需要進行數和形的思維轉化.本題的命題意圖非常明顯：體現數學的本質，體現數學教學的教育價值，考查學生的數學素養，是道難得的好題，再一次讓我們體驗了“數借形直觀，形借數入微”的真諦.

2.小題目，好素材

現在普遍的教師教學生態：忙于備課、上課、批改作業、訂正作業（或個體輔導）；教研活動是應付參加的多，有時參加學校的教研活動時還帶著作業；教研文章五年內沒發表一篇的教師占絕大多數.另一方面，學校及上級主管部門對教師的專業發展都非常重視，其中把教科研的能力作為重要的考核指標.這些教師都說沒時間寫，最主要的還是說沒寫作素材.正如裴光亞老師說的：“素材從教學活動中來，這些包括解題、備課、上課、批改作業、教研活動及讀書”.筆者的親身感受是從這些活動中去留意，勤積累，利用休息時間整理，就可以寫出包含真情實感的好文章，本文就是一個好的范例.因此，沒有理念，無以致遠.

3.小題目，大考驗

本文中的考題，雖說是道選擇題，有些試卷的分類解析把它歸結為整式運算，其實從代數知識去深入分析，發現實質上是有關函數的問題；若從形的角度去審視，借助研究幾何的重要方法：圖形平移，實質上是圖形中的整體與部分的關系.這樣理解，有助于培養學生的數學素養，提升教師的專業水準.作為一名數學教師，在解題時要站在數學的高度去俯視那些簡單問題，做到淺入深出，在教學時又要做到深入淺出，只有這樣，才能引領學生進行更高水平的探究.沒有知識的高度和厚度，更是無法前行的.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.裴光亞.數學教師的專業發展：在書房與教室間穿行的教研人生［M］.西安：陜西師范大學出版總社有限公司，2013.

3.陳明儒.突出過程孕育 借助推理催化——《銳角三角函數》教學實錄與思考［J］.中學數學（下），2013（7）.

4.陳明儒.揆情度理 拒絕平庸——以一道填空題的解題分析為例［J］.中學數學（下），2013（12）.