S型超協調邏輯中的一項重大研究突破—評張金成《邏輯及數學演算中的不動項與不可判定命題》

何華燦

(西北工業大學 計算機學院，陜西 西安 710072)

1 一個“平凡人”的不平凡貢獻

1)“S型超協調邏輯”是我國學者張金成自創的一種邏輯，與它最接近的系統有巴西的“次協調邏輯”、美國的“不協調邏輯”和澳大利亞的“R型超協調邏輯”，不同的是他們都是通過直接約束矛盾律的有效使用范圍來包含“無害矛盾”，而張金成是在堅持排斥“邏輯矛盾”的同時，直接把“辯證矛盾”作為邏輯系統的研究對象，其“數理辯證邏輯”的指向更加明確。張金成的論文《邏輯及數學演算中的不動項與不可判定命題》(以下簡稱為《張文》)是在S型超協調邏輯基礎上的一項重大研究突破，取得了一系列開創性成果，顛覆了現代數學中許多業已被公認的片面結論。然而，這些開創性研究成果只有在“開放論域”環境中解讀，才能顯示其存在的意義和思想光芒。如果硬要把它們拉回到“封閉論域”環境中去解讀，所有存在的意義和思想光芒必將全部被湮滅，這是由于2種不同邏輯理論的立論基礎和研究范疇所決定的，無法避免。

2)張金成是一個自學成才的年輕學者，一個再普通不過的“平凡人”，他沒有顯赫的教育背景和學位，沒有在“官科”機構中任職的社會地位，他的這些前無古人的開創性成果更顯得難能可貴！也正因為如此，他的這些開創性成果也很容易被人誤判為是“民科”之流的“低劣之作”而被打入冷宮，無人理睬。所以，作者特寫此文予以具名推薦和說明，一是表示對作者的研究成果的高度負責，愿意向學術界公開為《張文》承擔一部分文責，以利其公開發表，與廣大讀者見面；二是通過“開放的論域”環境來解讀“不動項”存在的理論意義，并通過“封閉論域”環境和“開放論域”環境之間的相互辯證轉化關系來解讀“不動項”的認識論價值，以便讀者深入理解，準確地把握《張文》的意義和貢獻。

2 “悖論”的外在表現和內在本質

1)在數學形成期，所謂“數學知識”都是一些零星分布的直接觀測結果和實際操作經驗總結，數學理論處在“原始開放”狀態，各種知識之間并未形成嚴格的“認識鏈條”。是古希臘人泰勒斯(公元前624-547)倡導數學定理的邏輯證明，才逐步利用形式邏輯把各種已知知識組成一個松散的認識鏈條，部分已知知識之間可以相互驗證。直到歐幾里德(公元前325-265)《幾何原本》的出現，開創了在公理系統基礎上利用形式邏輯組成嚴格的數學理論體系的先河，標志著“封閉數學”體系結構的正式形成。這種“封閉數學”可以在一個封閉論域上，利用極少量稱為公理的已知知識和形式邏輯，建立一個“完整的認識鏈條”，這個認識鏈條不僅能夠把該封閉論域上的所有已知知識全部串聯到認識鏈條上，而且能夠把在邏輯上蘊含于公理系統中的全部“未知知識”演繹出來。這是數學發展史上一個前所未有的巨大進步，但數學也因此付出了失去“開放性”的巨大代價。數學家們逐步陷入到“封閉性思維”的習慣中，慢慢忘卻了“開放性思維”的古老傳統，這就是為什么后來在“封閉數學”發展過程中，各種“悖論”頻頻出現的思想根源。每當一個“域外不動項”被意外發現時，習慣于“封閉性思維”的數學家們都會抱著排斥的心態去對待，他們不知所措，陷入困惑、恐慌和理論危機之中，在強烈的“數學地震”面前，沒有數學家能重新回想起古老的“開放性思維”傳統，到域外去尋找形成“地震”的成因。在漫長的“解悖”過程中，僅有個別具有突破“封閉性思維”勇氣和辯證處理問題才能的數學家，才有幸在域外發現新的數學對象，擴大數學的論域，創立新的數學理論，至此這個“悖論”才算獲得解決，“數學地震”的影響才算消除。但是，只要有“封閉數學”，新的“悖論”就一定會出現，“數學地震”仍然會時有發生，它一直困擾著現代數學。

2)現在《張文》改變了這個“被動挨震”的局面，他通過S型超協調邏輯，用開放的心態主動把人們的視角從已知的論域內引到未知的“域外”，讓大家認識到在數學中制造大地震的所謂“悖論”不過是“域外不動項”而已。只要是有“自指代”的地方，就一定有“域外不動項”存在。只要是論域能夠被完全兩分為正集合和反集合的地方，如果有條件存在不動項，它必然是“域外不動項”。只要有“域外不動項”，在它上面必然存在“域外不可判定命題”。如果有人一定要在域內利用經典邏輯去分析這個“域外不可判定命題”，他看到的就是一個無法在域內消除的“悖論”。根據這些規律性認識，《張文》成功的證明了過去在“封閉數學”中“嚴格證明”出來的許多“正確結論”，原來都是“開放數學”中的域外不動項，所謂的“嚴格證明”，其實已經超出了經典邏輯的有效控制范圍，全部不能成立。

3)詳細的證明結論和證明過程請大家閱讀《張文》的具體論述，在這里只強調以下幾點：

①“三分論域”的現象普遍存在。在自然界和科學理論中，存在大量的三分現象。如數學中有大于1的“正整數域”和小于1的“正小數域”，它們以“1”為分界線；還有“正數域”和“負數域”，它們以“0”為分界線；謂詞P(x)不僅可以是“永真”公式或者“永假”公式，還可以是“半真半假”公式；人的身體狀況不僅有作為兩極的“健康”狀態和“生病”狀態，還有形形色色的“亞健康”狀態；現代物理學已證實，在大家熟悉的“正物質世界”之外，還存在一個陌生的“反物質世界”，2個世界被一個未知的“過渡空間”隔離。一旦正物質和反物質穿過“過渡空間”相遇，就會一起湮滅，轉化為能量。

②“不動項”普遍存在。如果函數y=f(x)，則稱x=f(x)為的自指代方程。如有x0∈U，f(x0)=x0，則稱x0是不動點，x0是函數y=f(x) 和y=x的交點。Brouwer不動點定理表明：如果f: [0,1]→[0,1]是連續映射，則必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。所以，只要存在自指代方程，就一定存在不動點。把1維不動點推廣到2維以及n維以及一般化集合中，稱為“不動項”。不動項可是一個集合、命題或其他數學對象等，它們都具有相同的結構形式x=f(x)。對不動點，一定有x0∈U，是U內不動點。而對不動項，則沒有這個限制，凡是在U內外找到的滿足x=f(x)的x0，都是不動項，但是，U內(以下稱域內)不動項與U外(以下稱域外)不動項有本質區別，U外不動項相對于內項，已經發生了“變異”。

③“域外不可判定命題”普遍存在。當一個已知論域可被分割成正集合、反集合和不動項集合3部分時，表明這個不動項已被人類認知，包含在論域中，是“域內不動項”。對含有域內不動項的論域可用經典邏輯描述，由于命題的二值性，不動項的邏輯意義被完全掩蓋。但“域外不動項”已經超出了經典邏輯的約束范圍，如果把經典命題的約束范圍自覺不自覺地推廣到“域外不動項”上，就會出現“域外不可判定命題”。

④“悖論”普遍存在。把在“域外不動項”上出現的“域外不可判定命題”自覺不自覺地拉回到域內，用經典邏輯去解讀，就出現了“悖論”，其實這些“悖論”并不威脅經典邏輯在域內的正常使用。

⑤消除這一類“悖論”的基本方法就是還“悖論”以“域外不動項”和“域外不可判定命題”的本色，通過主動接納這個新的數學對象、認識其基本性質、擴大研究的論域和建立新的數學理論，完全可以包容這個“域外不動項”為新的“域內不動項”。在這個新的數學理論中，老的“悖論”自然會消失。但是如果沒有開放的眼光，新的“悖論”仍然隨時有可能再現。

⑥在存在未知的“域外不動項”的情況下，盲目地使用“反證法”是一個危險的舉動，它會產生許多片面甚至錯誤的結論，數學界在這方面應該認真地反思，一味地維護自己祖先的“尊嚴”是不明智的。

3 《張文》的重大貢獻

1897年福爾蒂揭示了集合論中的第1個悖論，以后康托發現了很相似的悖論。1902年羅素又發現了一個嚴格意義上的數學悖論。羅素悖論使整個數學大廈動搖，引起數學家高度重視，一個多世紀以來，人們提出了形形色色的解悖方案，推動了數學和邏輯的發展，具有一定的積極作用。但是，到目前為止悖論的存在規律和內在機制仍然沒有搞清。《張文》對U外不動項的發現，把長久不解的各種“數學悖論”，“G?del不可判定命題”，“Cantor的對角線方法證明”完全統一起來，它們具有共同的數學形式，是完全等價的，任何一個集合上都可以構造一個“悖論”出來，“悖論”的內在規律基本上搞清楚了。《張文》的重大貢獻可用以下實例說明。

3.1 否定了“G?del不完全定理”的證明

1931年G?del證明“包含自然數的形式系統是不完全的”，這就是著名的G?del不完全定理，被認為是20世紀數學領域劃時代的貢獻，譽為“數學和邏輯發展史中的里程碑”。它已經滲透到數學、邏輯、語言、人工智能、自然科學、思維科學和認識論的乃至人文科學的各個角落。“G?del不完全定理”一直被主流學派奉為金科玉律，享有無比崇高的榮譽。《張文》證明“G?del不可判定命題”是自然數系統中的域外不動項，進而得到“一般遞歸集合中也存在類似的不可判定命題(不動項)”，G?del不可判定命題(不動項)并不影響系統的完全性，“G?del不完全定理”的證明是不成立的。由于傳統思維的局限性，G?del發現了域外不動項，但是他沒有認識到，誤以為證明了“不完全定理”。這如同15世紀哥倫布發現了美洲新大陸，但是，他誤以為是到了印度，G?del犯了同樣的錯誤。

3.2 否定了“Cantor定理”的證明

1873年，Cantor用一一對應的方法定義了可數集合與不可數集合，用“對角線方法”證明了無窮集合不能與它的冪集合建立一一對應關系，自然數集的冪集合是不可數的，實數是不可數的。這些理論已經滲透到現代數學的各個具體領域。《張文》證明Cantor用“對角線方法”構造的項都是域外不動項，與“悖論”、“域外不可判定命題”在形式上都是一樣的，是一個域外“變異”項。因此，Cantor的證明是不成立的。

3.3 否定了“Turing停機問題不可判定”的證明

Turing 證明“停機問題不可判定”，這個定理是傳統《可計算理論》的一個重要定理，《張文》證明這個定理的證明也是對角線方法，構造的項都是域外不動項，與“G?del不完全定理”、“Cantor實數不可數”在形式上證明都是一樣的，“Turing停機問題不可判定” 證明是錯誤的。不可判定的“Turing機”是一個域外“變異”項。

自從“G?del不完全定理”，“Cantor的對角線證明法”的提出，國際國內都提出了不少質疑意見，但是，他們的觀點是零碎的，沒有把問題搞清晰，說透徹，因此沒有被主流學派接受。邏輯思維中域外不動項的發現，“G?del不完全定理”，“Cantor的對角線證明法”存在的問題已清晰地展現在人們的面前。我相信，隨著時間的發展和認識的深入，《張文》的價值將越來越顯著。

3.4 S型超協調邏輯改變了我們的邏輯思維方式

主要表現在：

1)反證法有適用范圍：不動項上出現的“矛盾”不能作為“反證法”在已定義集合上的推理依據，它從反面帶來了傳統理論中的一些深刻的邏輯錯誤。不動點的存在是廣泛的，只要有自指代，就會存在不動點，在這個基礎上盲目使用“反證法”，必然忽略“域外不動項”的存在，得出片面的結論。所以，不僅“G?del不完全定理”的證明是錯誤的，類似或者以“G?del不完全定理”為基礎的一些眾多定理、理論，如“圖靈機的停機問題”、“遞歸集合可判定問題，”等，都必須重新審查，這將涉及哲學、數理邏輯、計算機、函數論、測度論等以“Cantor對角線證明方法”為基礎的眾多科學領域。

2)悖論無需排除：形形色色排除悖論的努力都是徒勞的，只要有“自指代”，就可能產生悖論。命題邏輯系統L，謂詞演算系統K，只要使用“自指代”，同樣會有悖論，集合論ZF系統中也沒有禁止“自指代”，ZF系統根本防止不了悖論，同樣會產生悖論。

“不動項定理”表明，以往為排除悖論的種種努力都是錯誤的。悖論不需要排除，解釋清晰后的“悖論”，不但無害，反而有益。無害是因為，悖論是U外項命題，不會對原有的集合U上的演算產生破壞；有益是因為，悖論命題是U外的一種未定義命題，可能是U外的一種新知。

針對某一“域外不動項”的出現，研究其科學的構造性，有可能導致一個新的數學對象的發現。如果xp存在，可以看成x=f(x)在U外有解；如果xp不存在，可以看成x=f(x)在U外無解或者沒有構造。Cantor對角線法構造的“無窮集合的冪集合之外的不動項”，“自然數集合的冪集合之外的不動項”，“實數集合之外存在的不動項”是否存在？都具有科學的構造性，能夠導致一個新的數學對象的發現，這給科學發現指明了一種探求方向。

3)辯證邏輯已經成嚴格意義上的邏輯：在S型超協調邏輯系統中，命題演算系統與謂詞演算系統，在正集合或反集合中都仍然有效，稱為正邏輯系統和反邏輯系統，它們簡單、整齊、對稱，經典邏輯公理全部有效，只有一條“正反集合對偶變換公理”,把兩個相對獨立的正、反集合聯系起來。當正、反集合之間出現不動項x0時，就表現為悖論P(x0)?┓P(x0)，或者不可判定命題。所以，S型超協調邏輯系統在正集合中是經典邏輯，在反集合中也是經典邏輯，只是在正反集合之間表現出辯證邏輯的特性。單獨從一個集合看，正集真命題在反集中為假，正集假命題在反集中為真，這如同歐氏幾何與非歐幾何之間的對應關系，正、反集合具有嚴格形式對稱關系，在中間形成正反均衡的不動項，這與非合作博弈論——納什均衡點在邏輯上殊途同歸。自然界，數學，物理等領域中美麗的對稱形式在S型超協調邏輯系統思維表現出來。S型超協調邏輯系統使以往的自然語言的辯證邏輯已經數學化，可以看成數理辯證邏輯，辯證邏輯將成為嚴格意義上的邏輯。

總之，域外不動項的發現是令人震驚的，它讓世人清楚看到，原來現代數學的基礎理論中竟然隱藏了如此嚴重的問題群。隨著人們認識的深入，《張文》的影響將與日俱增，它將影響以反證法思維方

式的眾多科學領域。科學史上從來沒有出現過像“哥德爾定理”、“康托爾定理”、“圖靈定理”等如此眾多的錯誤，綜合運用數理辯證邏輯和數理形式邏輯清理和重建這些理論，將是一場新的科學革命。

毋庸置疑，Cantor，G?del， Turing等一代偉人曾經在集合論、數理邏輯、計算機及哲學領域取得了劃時代的成就，但他們畢竟是人不是神，出現這樣的認識局限性可以理解。人類對客觀規律的認識過程是一個不斷逼近的過程，永遠沒有終點。

近一個世紀以來，“G?del不完全定理” “Cantor不可數定理”“ Turing機不可判定定理”像一道鎖鏈，束縛人們的思維，束縛了數學與計算機理論的發展。“Cantor的不可數理論” 像黑暗中的幽靈一樣，把人的思維帶人一個神秘的、不可知的世界。《張文》將趕走這個幽靈，數學將迎來一次重大解放。