巧算面積 妙解圖形——面積法在“勾股定理”中的應用

曹 霞（江蘇省南京市29中致遠校區）

面積法是幾何題解法中的一種基本方法，就是利用面積相等，來建立關于面積的等式或方程，從而求解、證明題目的一種方法.此方法在蘇科版八年級數學“勾股定理”的應用中尤為常見.

面積法是一種古老的傳統證明方法，早在一千多年以前，三國時期的數學家趙爽在《周髀算經》中就利用“玄圖”中的等積問題巧妙地證明了勾股定理.

如圖1，因為SABCD=c2，SABCD=SEFGH+4S△AGD=（a-b）2+4×ab

所以c2=（a-b）2+4×ab.

c2=a2-2ab+b2+2ab.

圖1

所以a2+b2=c2.

美國第20 任總統加菲爾德利用圖2 給出了勾股定理的另一種證明，由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，在數學史上被傳為佳話.

圖2

如圖2，因為SABCD=（a+b）（a+b）=（a+b）2，

SABCD=S△ABE+S△ECD+S△AED=ab+ab+c2

（a+b）2=ab+ab+c2，a2+2ab+b2=2ab+c2

所以a2+b2=c2.

在勾股定理的400 多種證明方法中，用“面積法”證明代數式之間的恒等關系式，即具有嚴密性，又具有直觀性，是數學中以形證數、數形結合的典范.

而在勾股定理應用的解題中，巧用面積法，往往會帶來意想不到的簡便.

例1 如圖3，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝7，BC ＝24，CD⊥AB 于D.

圖3

（1）求AB 的長；

（2）求CD 的長.

解：（1）因為在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=72+242=252.

所以AB=25.

（2）因為S△ABC=AC·BC=×7×24，

S△ABC=A B·CD=×25×CD，

例1 是利用面積法，解決幾何線段計算問題的典型代表.解題中抓住△ABC 面積的兩種不同表示，建構等量關系，列出方程求解線段CD.給我們的啟發是，面積法是幾何計算中的一個重要等量關系，當已知條件有多個垂直關系時，我們要關注某一圖形面積的不同表示.

例2 如圖4，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現將直角邊AC 沿直線AD 折疊，使它落在斜邊AB 上，點C 與點E 重合，你能求出CD 的長嗎？

圖4

（1）常規解法

解：因為在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=62+82=102.

所以AB=10.

因為△ACD 折疊得△AED，

所以CD=ED，AC=AE=6，∠AED=∠ACD=90°.

所以BE=AB-AE=10-6=4.

設CD 為x，則ED=x，BD=8-x，

所以在Rt△BDE 中，x2+42=（8-x）2.

所以x=3，即CD=3

（2）面積法

解：因為在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，

所以AB2=AC2+BC2=62+82=102.

所以AB=10.

因為△ACD 折疊得△AED，

所以CD=ED，AC=BE=6，∠AED=∠ACD=90°.

設CD 為x，則ED=x，BD=8-x

因為S△ABD=AC·BD=×6×（8-x）=24-3x，

S△ABD=AB·ED=×10×x=5x，

所以24-3x=5x.

所以x=3，即CD=3.

例2 的常規解法，抓住Rt△BDE，利用“勾股定理”建構直角三角形三邊的等量關系，列出方程求解線段.這種解題方法學生掌握主要有兩點困難：①在Rt△BDE 中利用勾股定理建立方程需要線段BE、DE、BD，這三條線段都需要求出或用未知數x 表示，特別是線段BE 的求值，對中下等學生來說比較困難.②列出的方程x2+42=（8-x）2比較復雜，化簡轉化為一元一次方程的過程同樣對還未接觸二次方程的初二學生來說有一定的困難.而利用面積法解例2，抓住△BDA 面積的兩種表示方法建立方程，其中線段AB、BD、DE 的表示都比較容易，減少了轉化的環節，且列出的方程直接就是一個一元一次方程，所以解方程得過程也比較簡單.本題也可以抓住△BCA 的面積解題：

S△BCA=AC·BC=×6×8=24，S△BCA=S△BDA+S△DCA=×6x+×10x=8x，則8x=24，x=3，即CD=3.

例3 如圖5，折疊長方形ABCD，使點D 落在邊BC 上的點F 處（折痕為AE）.已知AB=DC=6 cm，AD=BC=10 cm.求EC 的長.

圖5

（1）常規解法

解：設CE 為x，則DE=6-x，

因為△ADE 折疊得△AFE，

所以AF=AD=10，DE=EF=6-x，∠AFE=∠ADE=90°.

因為在Rt△ABF 中，∠ABF=90°，

所以BF2=AF2-AB2=102-62=82.

所以BF=8.

所以CF=BC-BF=10-8=2.

因為在Rt△ECF 中，∠C=90°，

所以EF2=CF2+CE2.

所以（6-x）2=22+x2.

（2）面積法

解：設CE 為x，則DE=6-x

因為△ADE 折疊得△AFE，

所以S△ADE=S△AFE，AF=AD=10.

因為在Rt△ABF 中，∠ABF=90°，

所以BF2=AF2-AB2=102-62=82.

所以BF=8.

所以CF=BC-BF=10-8=2.

因為SAFED=SABCD-S△ABF-S△FCE=6×10-×8×6-×2x=36-x

SAFED=2S△ADE

所以36-x=60-10x.

面積法解例3，從割、補兩種不同的角度表示四邊形AFED的面積，建立了比較簡單的一元一次方程，解題過程的簡潔.

例4 如圖6，在Rt △ABC中，∠BCA ＝90°，點D 是BC 上一點，AD ＝BD=5，若AB ＝8，求CD 的長.

（1）常規解法

圖6

解：設CD 為x，則BC=5+x，

因為在Rt△ABC 中，∠ACD=90°，

因為AB2=AC2+BC2，AC2=82-（5+x）2，

因為在Rt△ACD 中，∠ACD=90°，

所以AD2=AC2+CD2，AC2=52-x2

所以52-x2=82-（5+x）2.

（2）面積法

解：如圖7，過點D 做DE⊥AB 于E，

因為AD=BD，

圖7

因為在Rt△AED 中，∠AED ＝90°，

所以DE2=AD2-AE2=52-42=32.

所以DE=3.

S△ABD=BD·AC=×5×AC，S△ABD=AB·ED=×8×3，

因為在Rt△ACD 中，∠ACD ＝90°，

所以CD2=AD2-AC2=52-

例4 用常規方法解，沒有一個直角三角形的三邊能夠全部求出或用未知數表示，所以無法直接用“勾股定理”建立方程.而是抓住線段AC 在兩個直角三角形中的不同表示建立方程，難度較大.且所列出的方程52-x2=82-（5+x）2比較復雜，也造成了學生的解題困難.面積法解例4，已知條件不具備多個垂直關系，所以需要添加輔助線，而等腰三角形的條件提醒我們可以做底邊上的高.

例5 如圖8，正方形ABCD 的邊長為5，E 在BA 上，且AE=2，F在BC 上，且CF=1，過D 作DG⊥EF于G，求DG 的長.

圖8

（1）常規解法

解：連接DE、DF，

BE=AB-AE=5-2=3，BF=CB-CF=5-1=4，

因為在Rt△BFE 中，∠B ＝90°，

所以FE2=BE2+BF2=32+42=52

所以FE=5.

同理得DE2=29，DF2=26，

設EG 為x，則GF=5-x，

因為在Rt△DGF 中，DG2=26-（5-x）2.

在Rt△DGE 中，DG2=29-x2，

所以29-x2=26-（5-x）2.

因為在Rt△DGE 中，DG2=26-（5-x）2=

（2）面積法

解：連接DE、DF，

BE=AB-AE=5-2=3，BF=CB-CF=5-1=4，

因為在Rt△BFE 中，∠B ＝90°，

所以FE2=BE2+BF2=32+42=52.所以FE=5.

S△DEF=E F·DG=×5×DG.

S△FED=SABCD-S△ABE-S△FCD-S△FBE=52-×5×2-×5×1-×3×4=.

利用面積法解，避免了用勾股定理解題的繁難計算，使解題過程十分的簡單.

通過以上例題可以發現，面積法解幾何題，要抓住其特征：①當已知條件中有多個垂直條件時，我們就應該考慮到面積法；②單圖形沿邊找高，有兩條高的圖形要關注；③復合圖形可以抓住其面積等它各部分面積之和（差），從整體和部分兩種不同的角度，或者分割和填補兩種不同的方法，表示同一圖形的面積，建立方程.利用面積法解決直角三角形中較復雜的幾何計算問題，思路簡潔，方程簡單，所以我們應多關注.