功在課前 動在課中 用在課后——初中數學復習課學生自主復習新模式的探究

何月芳（浙江省杭州市高新實驗學校）

一、存在的問題

（一）傳統的復習教學忽略了學生自主性的作用

復習課中，學生已經具備一定基礎知識，也能完成一些簡單數學問題.但是傳統的復習課仍將復習看成知識回顧，方法傳授，思路講解，不是安排學生做題，就是讓學生聽老師講題，使復習課變成了“一言堂”.學生的主體探究需求得不到滿足，這樣的復習勢必給學生一種簡單重復的心理感覺，當學生主體思考缺乏、心理準備不夠、安全感得不到滿足時，學生很難參與交流互動，只能機械模仿和記憶，久而久之對課堂必然失去興趣，學生的學習能力得不到發展.學習必須依靠學生的主體參與才有意義，一切知識、能力都很難通過講授的方式給予學生.

（二）新課程下需把復習的主動權歸還學生

隨著素質教育改革的深入發展，學生的自主學習能力一直是教育界關注、思考和探索的一個重要課題.復習中學生的自主學習和反思能有效促進學生的查漏補缺、自主建構知識網絡及經驗積累.在復習中，知識的整理、問題的提出與分析、問題解決方案的生成、解決的實施過程等核心任務一旦忽視了學生的自主性，放棄了應由學生自身來執行的活動設計、組織和概括提升等任務，而把一些操作類、計算類問題留給學生，使學生很難發展形成知識系統，學生的能力難以得到發展.

二、復習課學生自主學習新模式的實施

本文是筆者和同事們通過兩年多的研究，根據復習課的不同內容特點，不同年級學生的特點，開展了一系列課例實踐研究，逐漸摸索出的一些單元復習課的教學模式.“自助式”數學復習課教學模式的基本四步驟分為:自主整理，形成思維導圖；自主選材，形成解題方法；課堂互補展示，形成共性思想；課后自主反思形成個性經驗.如下圖所示：

（一）自主整理，形成思維導圖

認知心理學理論指出：復習是對數學知識和經驗的再加工.所以在整理知識點之前，學生應該是先翻閱課本目錄，根據目錄回顧這個章節學過大致知識，然后回歸課本，逐一梳理.在循序漸進的交流中，初步形成一個整體的思維導圖.例如浙教版七年級下冊第4 章“因式分解”思維導圖的形成過程：

因式分解：通過目錄學生自主形成第一張思維導圖.

通過教師引導，同伴互助交流，補充完成第二張思維導圖.

評析：展示的第一張思維導圖是學生在課前梳理的，這是學生在梳理知識時形成的最開始輪廓，然后通過學生之間的互相交流，老師適時的引導幫助，最后師生一起完成知識的梳理形成第二張思維導圖.在這個過程中，學生在互相交流碰撞中學習積累反思感悟.

（二）自主選材，形成解題方法

自主式復習是學生通過主動性來培養其自主學習能力，使其成為會學習和掌握技能的人.學生通過自主整理知識，形成思維導圖，再根據思維導圖進行題材的匯編，題材靈活地注入，使學到的數學真正做到活學活用，舉一反三.學生自主選材，包括以下兩個過程：

1.課前自主選材，形成個性學案

由于時間和容量的限制，學生在課前選材過程中，題量不能多，一般5 到8 題，內容精簡，但富有針對性和系統性，要適合學生個性需求.在因式分解概念的題材編制中，特選兩個不同的題材：

試題1：下列屬于因式分解的是______________________.

（1）27a2+9a=9a（3a+1）；

（2）x2-y2=（x+y）（x-y）；

（3）k（x+y）=kx+ky.

試題2：如圖，用一張正方形紙片Ⅰ、兩張長方形紙片Ⅱ、一張正方形紙片Ⅲ，拼成一個大正方形A.寫一個表示因式分解的等式.（見圖形）

（大正方形A）

試題1 能將概念落實到位，但是對于程度較好的學生來講，會有更深程度的題材出現，于是就出現了試題2.這樣的試題補充，運用圖形解釋因式分解的概念，很好地將數形結合的思想融入于其中.

2.課中小組交流，形成共享學案

羅杰斯認為，同伴教學是促進學習的一種有效的方式，它對雙方學生都有好處.學生進行自主整理知識、自主進行選材后，對自身的學生能起到自我提高、自我反思的作用，如果借鑒同伴的整理，學習同伴的數學思考方式，對于數學核心問題的理解有非常大的幫助.

學生根據思維導圖編制的題材，有的來自于教輔材料，有的來自作業本，也有學生的原創，但是基本能反映平時存在的一些共性錯誤.所以將他們的題材先進行小組內部交流，形成和完成有小組特色的復習學案，再根據各小組整理的復習學案，進行組間交流整理，形成班級學案.這樣可以避免題材重復、編怪或是編錯，可以糾正以前存在的錯誤癥點，這是一種自主式的學習方式，能讓學生獲得的知識和經驗更遠更深，還能提升他們的思維能力.

第一組編制的題材：

A.因式分解：

（2）x4-1；

（3）（x-2y）2+16y-8x+16；

（4）x2（x-3y）+12y-4x；

（5）a2+4b2-4ab-4x2-4y2+8xy；

（6）辨析：4x2+1 能分解嗎？如果能，如何分解？

B.配方法

（7）a2+b2+8a+6b+25=0，求a 和b 的值.

（8）x2-4xy+5y2-2y+1=0，求x 和y 的值.

第二組編制的題材：

（1）6a（a+b）-4b（a+b）；

（3）3x2-ax+b 分解因式結果為（3x+1）（x-2），求a2+b2.

（4）三角形三邊a，b，c，a2+b2+c2=ab+ac+bc，則判斷三角形的形狀.

第一組同學編制的題目蘊含了整體思想，還凸顯了因式分解最常見的方法——配方法.第二組同學編制的題目更難一些，如第（2）題的編寫還考查了公式變形；第（3）題以不同方式考查因式分解的概念，也提及了數學方法——待定系數法的應用.兩個小組形成的學案對于因式分解的知識點、數學思想及數學方法都會得到相互補充，同學們互相借鑒，夯實基礎，提升解題能力.

（三）課堂互補展示，形成共性思想

“功在課前”就是學生通過自主學習將知識進行系統整理，題材精心編制，然后通過小組合作交流，在已有的發展區內將復習課的學案完善，這些操作都是真正來自于學生，又將解決學生的問題，更具有針對性.帶著這些問題，學生的“獨學”發展成“群學”，最后變成“共學”.形成的學案各組有不同的側重點，所以教師選擇學案兼顧基礎知識和拓展思維的一組主講，其余各組圍繞主講組進行補充，讓學生將學案活用起來.

以“因式分解”為課堂展示案例：

第一部分知識梳理和概念辨析：主講組

1.思維導圖展示（逐一講解）

2.概念辨析

（1）27a2＋9a=9a（3a＋1）；

（2）-x2+y2=－（x2－y2）=－（x－y）（x＋y）

（3）x2－4＋3x=（x＋2）（x－2）＋3x；

（4）k（x＋y）=kx＋ky.

以上哪些屬于因式分解，哪些不是？

補充講解組：x（x-4）+4 是不是因式分解？如不是，請訂正.

主講組通過四個代數式的呈現，鞏固因式分解概念.補充講解組補充的題目要求訂正實為分解因式的方法做鋪墊.

第二部分 因式分解：主講組

公式的回顧：a2-b2=（a+b）（a-b），a2+b2+2ab=（a+b）2，a2+b2-2ab=（a-b）2.

補充講解組：十字相乘法：x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b）.主講組只講到了用平方差和完全平方公式進行因式分解，補充組將十字相乘法進行補充，點明了十字相乘法具備的特點，使學生知識再憶.

第三部分 應用公式進行因式分解：主講組

第二組題目編制（1）6a（a+b）-4b（a+b），提出了提取公因式法的方法和注意點即先提公因式中系數的最大公約數，再提取字母及字母的最低次，并提出了整體思想，即公因式不一定是個單項式，可以是多項式，應用因式分解可以使計算簡化.

第一組題目編制（2）直接出現x4-1（平方差）這類題目有些難度，學生出現分解不徹底情況.教師在此之前引導學生做了這樣一個分解因式9a2-4b2的鋪墊，對于此題會有幫助.

補充講解組：分解因式，a4-16b4.結合主講組的題材，及時鞏固平方差分解時要注意分解徹底.

第四部分 分組分解：主講組

第一組題目編制（3）（x-2y）2+16y-8x+16（完全平方），題材難度大，考查整體思想和完全平方公式的運用.教師及時鋪墊，編制因式分解：x2+16y2-8xy 后，學生對照上題能夠順利解決問題.

補充講解組：（x2+y2）（x2+y2-2）=8，求x2+y2的值，2 0052-4 010×2003+2 0032.兩個題型互相補充，整體思想再次顯現，十字相乘法得到鞏固，計算與因式分解得到統一.

第一組題目編制（4）x2（x-3y）+12y-4x，（5）a2+4b2-4ab-4x2-4y2+8xy 題目中代數式多于3 項，則需要分組分解，學生通過4 項式和6 項式典型的分析，提出4 項式一般采用二二結合或三一結合，6 項則是三三結合或三二一的結合法.但是只能點到為止，沒有做更深的挖掘.

補充講解組：n（x-y）-mx+my，a2-4b2-4b-1.提供了4項式分解時明顯的規律：代數式任一項不具備乘積的2 倍時一般選用二二分法，如果具備則一般為三一分法.

第五部分 應用拓展：主講組

第一組題目編制（7）已知a2+b2+8a+6b+25=0，求a 和b的值.求x2-4xy+5y2-2y+1=0，求x 和y 的值.兩個題目都考查了配方法，學生講解明確，方法很合理，能講清數學方法的本質問題.結合新課型的學習，數學方法的歸納還是不夠齊全，比如待定系數法、降次法等.

補充講解組：3x2-ax+b 分解因式結果（3x+1）（x-2），求a2+b2.若二次多項式x2+2kx-3k2能被x-1 整除，求k 的值.這里，學生提出了待定系數法，找到了一元二次方程的解和因式分解之間的聯系.通過對因式分解的展開運算，與多項式進行比較，求出a 和b 的結果，體現解題方法的多樣性，體驗乘法計算與因式分解是互逆的過程.

第五部分 數學思想和方法：主講（教師）

數學思想：學生提供的題材在前面的學習過程中呈現很多，因式分解中數學思想也是比較常見的，但是學生沒有一個提出，給遺漏了.

補充講解組：能在整數范圍內分解，求k 的值.x2+kx+4能在整數范圍內分解，求k 的值.

兩個看似相同卻不同的題材，將十字相乘法再次得到了補充，并且讓學生感受到了系數與分解的兩個數學之間的關系，學生體會蘊含的數學思想：整體思想、分類討論思想、轉化思想和數形結合思想.

學生在課堂中自由、靈活地將自己組內編制好的題材一環扣一環地展示補充，不斷地完善原有的認知結構，將數學方法和思想得到充分應用，提升解決問題的能力，提高數學思維能力.

（四）課后自主反思，形成個性經驗

課前的自主整理知識導圖，編制相應題材，將個體的知識經驗通過班級共學，汲取他人的思想方法并做下反思，能使學生在今后的學習中靈活遷移知識，舉一反三.反思是自己對所學內容存在的一種知識漏洞進行補全，提煉出相應的數學思想和解題方法，對于自己不熟悉或容易遺漏的，可以用圖形或例題加以說明，以加深印象.反思同樣是鑒取同伴學習過程中特有的一種數學思維品質，不斷改進自己的學習方法.

三、成效與反思

這種復習課，教學上教師從“教為中心”向“學為中心”轉移，學生從自身存在的數學問題出發，自主選擇學習內容，通過互助式將內容進行內化，已經從“數學模仿”向“數學思考”轉移，體現學習的主體地位.搭建各類學生有效復習的舞臺，促進學生主動參與，優化學生思維品質，發展學生解決問題能力.但是自主式復習的學習內容來自于學生，呈現的題材有些雜而亂，有些創新題材編制的錯誤較多，能力較差的學生只會通過機械摘抄而不具創造性的現象，這是自主式復習課堂中出現的一些問題，這也將是今后要研究的問題.

［1］教育部.數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2011.

［2］郭思樂.教育走向生本［M］.北京：人民教育出版社2012.

［3］余文森.有效教學十講［M］.上海：華東師范大學出版社，2009.

［5］施良方.學習論［M］.北京：人民教育出版社，2001.