數形結合讓數學課堂“增值”

王 英（江蘇省張家港市實驗小學）

《數學課程標準》明確指出：數學課程內容“不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法.”而在小學數學學習中數形結合的思想有著非常廣泛的應用，我們常常將數與形結合起來，通過數和形之間的對應關系和相互轉化解決問題，使“數”的問題借助“形”去觀察，去思考，即用“形”作為直觀工具幫助學生更好地理解數學概念、掌握數學知識、解決數學問題、探索數學規律.下面結合自己的教學實踐談談我粗淺的幾點體會.

一、以形認數，形象建立概念

數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式，它具有較強的邏輯性和抽象性.小學階段，如果運用實物圖形提供一定的數學問題情境，通過對圖形中的情景分析，就可以幫助學生以直觀的“形”促進對抽象的“數”的認識和理解.

例如，教學蘇教版小學數學三年級下冊“認識分數”一課時，教材中安排讓學生先初步認識一個整體的幾分之一，我緊密聯系例題中的桃子圖，通過分一分、比一比等環節讓學生明白了不管是一個物體還是一些物體，我們通常都把它看成一個整體，平均分成了幾份，每份就是它的幾分之一之后，我設計了這樣一個練習題：出示12 根小棒，思考：你可以把這12 根小棒平均分成幾份，每份是這些小棒的幾分之一？學生把平均分的幾種情況一一介紹完之后，我就利用課件的動畫演示，將這12 根小棒“躺”下來，，其中的一小根小棒就是這些小棒的1/12，那還有1/2、1/3、1/4、1/6 等分數你能找到它相應的位置嗎？

有了直觀的圖片作為支撐，學生能在操作和觀察中，不但能有效地認識一個整體的幾分之一，還能深刻地體會到每個分數的實際意義，從躺著的小棒圖上還能看出了分數與分數之間的大小等關系.在此基礎上，我再把小棒圖瘦身、簡化，呈現出一般的數軸：

圖1

數軸是數形結合最基本的載體，是數形結合最基礎的滲透，結合分數的初步認識可以體會數軸上點與分數的一一對應關系.這樣先出示12 根小棒進行各種情況的平均分，接著再將12 根小棒躺下來，直觀呈現數軸原型，再抽象出一般的數軸，并將各個分數在數軸上找到相應的位置，讓學生直觀形象地體會每個分數的含義，并且分數與分數之間的大小等關系也有了更深的理解.12 根小棒“躺”下來成了數軸圖的前身，自然地滲透了“數形結合”的數學思想.

二、以形算數，直觀理解算理

“數的運算”在整個小學階段的數學學習中占有很大的比重，培養小學生“懂算理、會計算”也是小學數學教學的主要目標.不同的題型，理解算理的策略也不同，但是簡單的數形結合思想，用“形”的直觀啟迪“數”的計算，是幫助學生理解算理的一種好方法.

例如，蘇教版小學數學三年級下冊“兩位數乘兩位數”要說計算法則的話只是很簡單的幾句話，但如何讓學生在理解算理的基礎上掌握計算方法，并巧妙地實現口算、筆算、估算三算合一.蘇州市教科院的劉曉萍老師在執教時，運用“點子圖”這一直觀圖形貫穿了全課，把算理與算法緊密結合，將“數形結合”的思想用到了極致，計算方法呼之欲出.在教學19×13 的時候，劉老師在先讓學生結合生活想象解決哪些實際問題時會用到這個算式，有的學生想到了一排排的盆花圖，有的學生想到了一排排的小棒圖……隨后劉老師很自然地引出如果用點子圖擺，你腦子里想到的是怎樣的一幅圖？ （課件出示點子圖）先估一估19×13 的積大約是多少？說說你的理由.學生的表述雖然不完整，但思維火花卻是不斷閃現：“雖然估算方法不同，但都是把其中的一個因數看作整十數.”通過學生的估算，知道這道題的結果大約在190-260 之間（圖2）.那到底結果是多少了，請學生一邊嘗試練習，一邊在點子圖上寫出自己的想法：每算好一步，在點子圖上圈一圈，你算的是點子圖上的哪一部分.算理的理解需要一個漸進、引導的過程，停下來讓孩子思考，蹲下來讓孩子內化，在計算最需要支撐的時候出現了“點子圖”這一直觀的圖形（圖3）：

圖2

圖3

圖4

“19×13 可以先算19×10=190，再算19×3=57，最后190+57=247；也有的同學先算20×13=260，再算260-13=247老師根據學生的回答，結合點子圖非常清晰地解釋著各種計算的方法，的確，難理解的地方，搞不清楚的地方通常運用“形”的手段使一切變得直觀，變得簡單.劉老師“數形結合”的策略并不是曇花一現，而是順水推舟，立即引導學生根據剛才的活動經驗再算：14×21，實現學法的遷移（圖4），從先算一算，再在點子圖上圈一圈到意義的揭示、算法的提取是一個學法積累的過程，如行云流水般輕柔，自然，學生對算理的理解也就水到渠成了.

劉老師在引導學生探究算理、明晰算法的過程中巧妙地借助了點子圖，有機滲透了數形結合的數學思想方法，讓學生觸摸到了數學思想方法的精神內核，完善了認知結構，培養了學生良好的思維品質，形成數學觀念.

三、以形思數，深入理清關系

心理學研究表明：小學生的思維是以具體形象思維為主，具體的直觀的圖形更能讓小學生接受、理解和掌握.在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來思考.數與形的有效結合就是使數量之間的內在聯系變得直觀，使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，通過直觀的圖形、線段等深入理清數量關系，促進學生對數學問題的理解，提高解決數學問題的能力.

例如教學蘇教版六年級上冊“解決問題的策略——替換”內容時，運用了這樣的例子小明把720 毫升果汁倒入6 個小杯和1 個大杯，正好都倒滿，小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？當我放手讓學生自主探究時，給學生提供了大杯小杯的示意圖，學生很自然地運用了畫圖的方法（圖5），通過直觀的圖形將替換后“果汁的總量”和“杯子的個數”之間的數量關系分析得清清楚楚.

圖5

在學生初步研究完倍數關系的替換策略后，從倍數關系的替換改編到“大杯的容量比小杯多20 毫升”（相差關系）的替換時，由于在替換的過程中總量將發生變化，所以為了幫助學生弄清楚相差關系替換后“杯子個數”與“果汁總量”之間的數量關系，我還是滲透數形結合的思想，引導學生借助畫圖的方法，經歷策略的形成過程（圖6）.最后，通過“倍數關系”與“相差關系”替換策略的比較，幫助學生理清了兩種關系中替換的特征，即“什么變了”，“什么沒有變”，從而將學生的思維引向深入.

圖6

整個教學過程從呈現的抽象文字到直觀的圖形，到學生獨立畫圖分析思考，從動手操作到語言文字的描述，從不同替換策略運用價值的比較，始終將數形結合的思想蘊含其中，輕松地理清了數量之間的關系，順利地解決了復雜問題，有效地增強了學生的策略應用意識.

四、以形探數，巧妙揭示規律

有專家指出：小學教學教材中有兩條線.一是數學知識，它明明白白地寫在課本里，是有形的；二是數學思想方法，它是滲透在知識體系中的，是潛在的.教師如果掌握了數學思想方法的知識，了解它們在教材中是如何滲透的，就能明確教材為什么這么編寫，就能從整體上、本質上去理解教材，巧妙地滲透數形結合的思想，將抽象的算式轉化為具體的圖形，探索簡單的數學規律，發展初步的推理能力，深化學生對數學知識的理解.

例如，蘇教版小學數學二年級上冊P87 的第4 題：

圖7

探索此類計算題的規律，很多老師往往從計算的角度去揭示，通過計算、比較，不僅引導學生發現同組兩題的得數相同，而且還發現：從1 起，連續2 個單數（奇數）的和正好等于2×2.連續3 個單數（奇數）的和正好是3×3……進而形成“從1 起，連續幾個單數（奇數）的和，就等于幾乘幾”的認識.但學生知其然，卻不知其所以然.蘇教版教材改版后在每組的算式前附上了相應的方格圖，旨在讓學生不僅通過計算、比較、推理發現其中的規律，更能結合方格圖形理解每個算式的意思，學生能形象直觀地體會同組兩題的得數相同的合理性：每行2個小方塊，2 行拼成的正方形里，一共有2×2 個小方塊，或者有1+3 個小方塊；每行3 個小方塊，3 行拼成的正方形里，一共有3×3 個小方塊，或者有1+3+5 個小方塊……期間蘊含了數形結合的思想.我們在進行教學設計時，若是把握了教材的設計意圖，上課時便能引導學生把數與形有機結合起來，充分掌握算理與算法，探究得到計算規律.

著名數學家華羅庚認為：“數與形本是相依，焉能分作兩邊飛？數缺形少直覺，形少數難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休.切莫忘：幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離.”“數形結合”作為一種重要的數學思想方法，如果能在我們的課堂教學中加以研究，有機滲透，使學生逐步感受數中有形，形中有數的思想，必然會使課堂教學“增值”，從而在一定程度上發展學生數學思維，提升學生的數學素養.