一類四元數矩陣保左特征值的線性映射條件*

袁 庚

(青島科技大學數理學院，山東 青島 266061)

引言

關于四元數及其左右特征值的研究，文獻[1]中作了很多詳盡而有系統的綜述，到了目前為止關于四元數矩陣右特征值的研究已有很多令人滿意的結果.1989年Bunse-Gerstener等在文獻[2]中給出了四元數的QR分解和Schur分解，從而得到該四元數矩陣的右特征值和右特征值向量.

但四元數矩陣的左特征值所得結果較少.1985年，Wood在文獻[3]用拓撲學的方法證明了四元數方陣的左特征值總是存在的，但并沒有給出左特征值的計算方法.直到2001年，黃禮平和So Wasin在文獻[4]中給出了二階四元數矩陣左特征值的性質以及它們的代數表達式,但這遠遠不能滿足我們的需要.

由于一般四元數的乘法不滿足交換律，致使一般四元數行列式的定義便得十分困難，這更加深了我們對左特征值研究的難度.1991年，陳玄龍在文獻[5]中首先提出了四元數重行列式的概念，并建立了重行列式理論.

設Q表示四元數集合，Mn(Q)表示n×n四元數矩陣的集合，則有：

本文討論以下問題：

如果M、N分別是下三角可逆四元數矩陣且線性映射φ：Mn(Q)→Mn(Q)滿足φ(A)=MAN, 當φ(A)與A具有相同的左特征值，則M和N中的元素滿足什么條件？

本文證明了下面的結果：

定理2如果M、N∈Mn(Q)分別是下三角可逆四元數矩陣且線性映射φ：Mn(Q)→Mn(Q)滿足φ(A)=MAN，對于任意下三角四元數矩陣A∈Mn(Q)，φ(A)與A具有相同的左特征值當且僅當M和N中的元素mss,nss分別與A中的元素ass的虛部對應成比例且mssnss=1，或虛部對應為零.

1 定理2的證明

1.1 輔助引理

為證明定理2，首先給出一些輔助結果.

引理2 若ab=ba，則a與b的虛部對應成比例，或虛部對應為零.

證明設a=a1+a2i+a3j+a4k，b=b1+b2i+b3j+b4k，則：

ba=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a4b3-a3b4)i+

(a1b3+a3b1+a2b4-a4b2)j+(a1b4+a4b1+a3b2-a2b3)k，

ab=(a1b1-a2b2-a3b3-a4b4)+(a1b2+a2b1+a3b4-a4b3)i+

(a1b3+a3b1+a4b2-a2b4)j+(a1b4+a4b1+a2b3-a3b2)k.

若ab=ba，則：

a1b1-a2b2-a3b3-a4b4=a1b1-a2b2-a3b3-a4b4;

a1b2+a2b1+a3b4-a4b3=a1b2+a2b1+a4b3-a3b4;

a1b3+a3b1+a4b2-a2b4=a1b3+a3b1+a2b4-a4b2;

a1b4+a4b1+a2b3-a3b2=a1b4+a4b1+a3b2-a2b3.

引理3 若a=man，則m,n與a的虛部對應成比例，且mn=1.

證明若a=man，則：m-1a=an.設：

m-1=m1+m2i+m3j+m4k，

a=a1+a2i+a3j+a4k，

n=n1+n2i+n3j+n4k

則：

m-1a=(a1m1-a2m2-a3m3-a4m4)+(a1m2+a2m1+a4m3-a3m4)i+

(a1m3+a3m1+a2m4-a4m2)j+(a1m4+a4m1+a3m2-a2m3)k，

an=(a1n1-a2n2-a3n3-a4n4)+(a1n2+a2n1+a3n4-a4n3)i+

(a1n3+a3n1+a4n2-a2n4)j+(a1n4+a4n1+a2n3-a3n2)k.

由m-1a與an的實部相等，可得到：

a1m1-a2m2-a3m3-a4m4=a1n1-a2n2-a3n3-a4n4

即：

a1(m1-n1)-a2(m2-n2)-a3(m3-n3)-a4(m4-n4)=0

因為a1,a2,a3,a4不全為零，故m1=n1,m2=n2,m3=n3,m4=n4.

1.2 定理2的證明

1)必要性證明

若λ為A的左特征值，φ(λ)為φ(A)的左特征值, 則：

從而得到λ=att(t=1,2,3,…s)，即A的左特征值為它的對角線元素.

又因為mss,nss與A中ass的虛部對應成比例，且mssnss=1，由引理3得mssassnss=ass.

故φ(λ)=att，(t=1,2,…s).即λ也是φ(A)的左特征值，因此φ(A)與A具有相同的對角線元素，φ(A)與A具有相同的左特征值.

2)充分性證明

因為φ(A)與A具有相同的左特征值，且兩者均為三角陣，結合引理1與引理4，兩者具有相同的對角線元素.不失一般性，我們認為mssassnss=ass.結合引理3，mss,nss與A中ass的虛部對應成比例且msns=1，或虛部對應為零.

2 結語

本文討論了三角形四元數矩陣形如映射φ(A)=MAN保左特征值的條件，這個結果，有利于提高復雜四元數矩陣左特征值的計算效率，同時也有益于一般四元數矩陣的左特征值問題的研究.

參考文獻:

[1]Zhang Fuzhen. Quaternion and Matrices of Quaternions [J]. Linear Algebra and Its Application ，1997，251:21-57.

[2]Bunse-GerstuerA,ByersR,MehrmannV.AQuaternionQRAlgorithm[J].Numer.Math, 1989, 55: 83 -95.

[3]WoodRMW.QuaternionicEigrnvalues[J].Bull.Londonmath,Soc, 1985, 17:137-138.

[4]HuangLiping,WasinS.OntheEigenvaluesofaQuaternionicMatrix[J].LinearAlgebraandItsApplication, 2001, 323:105-116.

[5]ChenLongxuan.DefinitionofDeterminantandCramerSolutionsovertheQuaternion[J].Field.ActaMath,Sinica,NewSeries, 1991, 7(2):171-180.