一種新的正則化圖像重建算法及參數(shù)優(yōu)化

陳曉艷，房曉東

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

一種新的正則化圖像重建算法及參數(shù)優(yōu)化

陳曉艷，房曉東

(天津科技大學電子信息與自動化學院，天津 300222)

針對電學層析成像技術的反問題求解，提出一種新的正則化圖像重建算法及正則參數(shù)選擇方法．采用最小二乘擬合法構建正則參數(shù)與評價參數(shù)的Matlab數(shù)學模型，取極值獲得正則參數(shù)值；利用COMSOL Multiphysics建立仿真場域，最后利用Matlab求解反問題，重建圖像．通過對重建圖像及評價參數(shù)的對比分析，驗證了方法的有效性．結果表明，所用方法及正則參數(shù)能夠有效改善反問題的病態(tài)性，使反問題的求解質量最優(yōu)．

正則化；反問題；圖像重建

電學層析成像技術(electrical tomography，ET)是過程層析成像技術(process tomography，PT)的一類，已被廣泛應用于醫(yī)學診斷、工業(yè)測量等諸多領域．它在被測對象上按一定規(guī)律安放若干個電極，以非接觸或非侵入的方式測量被測對象的邊界電信息，然后利用圖像重建算法重建出被測對象內部的電特性分布，實現(xiàn)對被測對象的可視化測量[1–2]．ET的反問題求解具有高度的病態(tài)性，即使在測量數(shù)據(jù)中有很小的測量誤差，也會給反問題的求解帶來災難性的影響[3]．如何采取有效手段改善反問題的病態(tài)性，從而獲得符合條件的滿意解，國內外學者對此進行了長期的探索與研究．

正則化方法是解決反問題病態(tài)性必不可少的方法，從某種角度，它可被視為保持解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性的一個約束[4]．在20世紀60年代中期，蘇聯(lián)科學院院士Tikhonov最先提出求解不適定問題的正則化方法[5]，為改善反問題的病態(tài)性提供了解決的依據(jù)．2004年，Daubechies等[6]首次給出了稀疏正則化方法與迭代伸縮算法的理論分析，并指出其求解具有稀疏性的線性反問題的有效性．2011年，彭黎輝[7]用Tikhonov正則化Landweber迭代方法對病態(tài)反問題求解進行了研究．正則化方法的求解質量依賴于正則參數(shù)的選擇，目前主要還是依靠經(jīng)驗來選取[8]．本文提出一種新的正則化算法，采用對角陣Q

代替單位陣I以施加阻尼作用，利用最小二乘擬合建立了正則參數(shù)和評價參數(shù)的數(shù)學模型，取極值獲得正則參數(shù)值，并優(yōu)化獲得最佳的正則參數(shù)，最后，通過重建圖像質量和評價參數(shù)兩方面對方法的有效性進行了驗證．

1 算法原理

式中：U為被測對象的邊界電壓分布；J為靈敏度矩陣；σ為被測對象內部的電特性分布矩陣(介電常數(shù)、電導率、磁導率)．ET反問題求解，即已知被測對象的邊界電壓分布U及靈敏度矩陣J，求解對象內部的電特性分布σ．若采用最小二乘法求解，可表示為

ET問題的數(shù)學模型可表示為

令P=JTJ，由于矩陣P具有很高的條件數(shù)，導致求逆運算中噪聲信號被放大，造成解的不穩(wěn)定．因此必須采取正則化手段，保證解的存在性、唯一性及穩(wěn)定性．

Tikhonov正則化算法是取與P同階次的單位陣I作為阻尼項，對P施加阻尼作用之后，經(jīng)過求逆運算，從而進行反問題求解：

由于P=JTJ，J為任意矩陣時，P為對稱方陣，取P的每一行向量或列向量的最大元素均可構成對角陣Q(Q的主對角元素非0，其他元素為0)．利用Q對P施加阻尼作用，從而獲得新的正則化算法：

在式(3)—式(4)中，α 為正則參數(shù)，通過調整α可改變阻尼作用的強弱．由于Q與P量級相同，在選取α 時，一般只需令其為0～1之間．相比于其他正則化算法，α 的范圍小，便于選擇，因而容易得到較為理想的求解結果．

2 評價參數(shù)

顯然，不同正則參數(shù)α 的選取，影響阻尼作用的強弱，會導致反問題的求解結果σ 的不同．選取3個參數(shù)作為正則參數(shù)α 對σ 影響的評價參數(shù)．

2.1 誤差總和

定義誤差總和

式中：Ne為重建圖像的單元數(shù)；σi為重建電特性分布；σi*為真實電特性分布．E越小反問題求解質量越好．

2.2 相關系數(shù)

定義相關系數(shù)

2.3 結構相似度

定義結構相似度

3 正則參數(shù)優(yōu)化

由于正則參數(shù)α 會影響ET反問題的最終結果，3個評價參數(shù)E、r、S也有差異．根據(jù)式(4)選取0～1范圍內的α 進行ET反問題求解，相應結果見表1．

由表1數(shù)據(jù)可知：當α的值由0到1逐漸增大時，誤差總和E先減小后增大，相關系數(shù)r、結構相似

度S先增大后減小，這表明反問題求解質量隨α值的增加先提高后降低．

3.1 模型建立

為得到理想的α值，采用最小二乘擬合的方法，以y＝f(x)的形式描述表1中各評價參數(shù)值隨α變化的規(guī)律．利用Matlab曲線擬合工具箱，取α＝0.1～1.0，步長為0.01，采用四階擬合建立數(shù)學模型：

采用歸一化均方誤差(normalized mean square error)表征擬合精度，其表達式為如

3.2 α 求解

通常，α 取值越大，抗干擾性越強，問題求解的穩(wěn)定性越高；但是α 過大會影響模型精度，覆蓋模型的有效信息．簡言之，如果一個模型中α取值較小并且模型穩(wěn)定性好，則效果最好．分析表2中數(shù)據(jù)，當α取0.403,1時，3個評價參數(shù)均較為理想．

4 圖像重建

利用有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics 3.5,a對場域建模．圓形場域半徑為15,cm，場域表面安放16個電極，電極長1,cm，電極寬度的占空比為20%，背景電導率為0.01,S/m，目標電導率為1,S/m，激勵電極選取鈦電極(Titanium beta-21S)，激勵電流密度為1.392,mA．采用電流激勵–電壓測量、相鄰激勵–相鄰測量的模式．為了體現(xiàn)實際情況下的干擾，使結果更具一般性，在仿真數(shù)據(jù)中加入信噪比為42,dB的噪聲，根據(jù)不同的α值，重建圖像．場域原始模型和重建圖像如圖2所示．圖2(a)中白色區(qū)域為目標區(qū)域，黑色區(qū)域為背景區(qū)域．重建圖像的灰度代表對應的電導率數(shù)值．

根據(jù)圖2的重建圖像結果可知：當α＝0，即不進行正則化作用時，成像效果很不理想，場域中無法識別目標的位置；當α＝0.01時，成像效果有所改善，能夠分辨出目標的大概位置，但偽影較多，目標對比度較低；當α＝0.403,1時，成像效果進一步改善，偽影減少，目標對比度增加，目標大小與真實大小基本吻合，參照圖像右側的色度條，此時目標區(qū)域的灰度、背景區(qū)域的灰度所對應的電導率值與模型的設定值0.01,S/m、1,S/m最為接近；當α＝10時，偽影增加，目標邊界模糊，成像質量下降．表3給出了圖2對應的評價參數(shù)值．

由表3可知：當α＝0.01時，與α＝0(即不采用正則化方法)相比，各參數(shù)值趨于改善，這是由于進行了正則化，在阻尼項的作用下，增強了反問題求解時矩陣求逆的穩(wěn)定性；當α＝0.403,1時，各參數(shù)值進一步改善，求解質量提高，這是由于此時的正則參數(shù)增加，正則化效果加強，模型穩(wěn)定性進一步增強；當α＝10時，各參數(shù)的質量下降，求解質量下降，這是由于當正則參數(shù)過大時，過于強調模型的穩(wěn)定性和抗擾性，忽視模型自身的有效信息，導致了圖形偽影顯著，邊界模糊．表3的參數(shù)數(shù)據(jù)與圖2的重建圖像結果一致，且驗證了算法具有一定的抗干擾能力．

5 結 語

本文針對二維ET反問題求解，提出一種新的正則化圖像重建算法，采用最小二乘擬合法建立數(shù)學模型，取極值獲取了正則參數(shù)值．通過求解，從重建圖像效果及評價參數(shù)兩方面證實了方法的有效性．

不同于一般正則化算法采用單位陣作為阻尼項，本研究提出的正則化圖像重建算法，結合問題自身的靈敏度矩陣，采用矩陣P的每一行向量或列向量的最大元素構成對角陣Q進行阻尼約束，從而使阻尼項Q較I更加貼近模型本身，與模型的相關性更強，與一般的正則化方法相比，大大縮小了α的選擇區(qū)間；采用最小二乘擬合建立數(shù)學模型，利用數(shù)學方法，通過取極值獲得正則參數(shù)α的值，使其在取值范圍內最優(yōu)，與一般的正則化方法相比，避免了憑經(jīng)驗選取α的盲目性及不確定性．這將為今后進一步研究反問題求解奠定基礎．

本研究的建模方法采用基于Matlab的最小二乘擬合法，未討論其他形式的擬合方法，今后將圍繞不同的方法建立數(shù)學模型，進行對比研究．

［1］ Yue S H，Wu T，Cui L J，et al. Clustering mechanism for electric tomography imaging[J]. Science China：Information Sciences，2012，55(12)：2849–2864.

［2］ 何泳成. 電學層析成像圖像重建算法研究及軟件系統(tǒng)設計[D]. 天津：天津大學，2010.

［3］ Colton D，Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory[M]. 2nd ed. Berlin：Springer，1998.

［4］ Polydorides N. Image reconstruction algorithms for soft

field tomography[D]. Manchester，UK：University of Manchester Institute of Science and Technology，2002.［5］ 呂琪. 不適定問題的迭代正則化方法研究[D]. 武漢：武漢理工大學，2012.

［6］ Daubechies I，Defrise M，De Mol C. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics，2004，57(11)：1413–1457.

［7］ 彭黎輝. 用于病態(tài)反問題求解的正則化方法算例分析[J]. 云南民族大學學報：自然科學版，2011，20(2)：79–85.

［8］ 周旭勝，寇戈. 基于MATLAB的EIT圖像重構算法研究[D]. 南京：南京理工大學，2010.

［9］ 吳克堅. 有限元近似誤差對EIT正逆問題影響的定量研究及算子分解方法的應用[D]. 西安：第四軍醫(yī)大學，2012.

責任編輯：常濤

A New Regularization Image Reconstruction Algorithm and its Parameter Optimization

CHEN Xiaoyan，F(xiàn)ANG Xiaodong
(College of Electronic Information and Automation，Tianjin University of Science & Technology，Tianjin 300222，China)

Focused on solving the inverse-problem of electrical tomography，a new regularization image reconstruction algorithm and a method to select the regularization parameters were proposed. A Matlab mathematic model of regularization parameter and evaluation parameter was constructed by the least square fit method．The values of regularization parameter can be obtained by taking the extreme．COMSOL Multiphysics was adopted to construct the simulation field，and Matlab was used to solve the inverse-problem and reconstruct the image. The effectiveness of the method was verified by contrasting the reconstructed image and the evaluation parameters. The result indicates that the method and regularization parameters can improve the ill-pose of the inverse-problem effectively and make the solution to the inverse problem optimal.

regularization；inverse-problem；image reconstruction

TP391.9

A

1672-6510(2014)06-0074-04

10.13364/j.issn.1672-6510.2014.06.014

2014–04–10；

2014–07–08

國家自然科學基金資助項目(61301246)；天津市自然科學基金資助項目(12JCYBJC19300)

陳曉艷（1973—），女，四川成都人，教授，cxywxr@tust.edu.cn.