高等數學復習題變式多解的研究

邱云蘭

(韶關學院韶州師范分院數學系,廣東韶關512009)

高等數學復習題變式多解的研究

邱云蘭

(韶關學院韶州師范分院數學系,廣東韶關512009)

課本習題的改造是"數學探究"的重要渠道.高等數學課堂教學的核心任務主要是培養學生的思維探索能力,數學思維探索能力的提高在于選題、變式、解題質量的提高,而非選題、變式、解題的數量的增多.選題要把握"三原則"、變式要多角度.這樣,不但可起到溝通各知識的縱橫聯系,而且能促進解題策略的逐步優化,培養學生的思維能力、分析問題和解決問題的能力.

高數教學;習題變式;解題方法;探索能力

復習題是數學教科書的一個重要組成部分,有著鞏固和深化知識,補充與延伸知識,綜合運用知識,領悟數學思想與方法等功能[1-2].變式是對某種范式的變化形式,不斷變更有關情境或改變思維的角度,在保持事物的本質特征不變的情況下,使事物的非本質屬性不斷遷移的變化方式.變式既是一種重要的思想方法,又是一種行之有效的教學方式[3].波利亞說:"一個專心認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不重復的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過一道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域.解題的過程,就是不斷變更題目的過程".由此可見,復習題教學中注重選題、變題和解題.

1 選題"三原則"

1.1 要有利于解題結論和基礎知識的回味

在復習題教學中教師都會自覺與不自覺地將解題基礎知識或結論穿插進去.但如果照本宣科,只是將內容一一列出,全部依靠課本的現成題訓練學生,不但學生卻會認為這些知識已學過,還不如自己看書,感到這樣上課單調乏味,提不起興趣和積極性[4].而且也容易走向題海戰術,并且難度、遞度、知識板塊組合不易自如調控.最終必然是將自己的教學能力定格在固有的水平上.為此施教者有責任和義務根據所用教材和所教對象的實際,適時編制添補多樣化習題和多樣化解答.這是機遇、也是挑戰,更是使命.但有時也沒有必要事必躬親[5],事實上,除了教材以外,有些教輔用書中隱藏著不少豐富多彩的優秀典型例題習題,還有班上優秀數學學生資源的利用,等等.這些都可以幫助中等及后進學生順利完成大學學業,消除對數學的恐懼、厭惡心理,讓學生喜歡數學,不反感數學,不是因為要拿學分才學數學,而是不拿學分也要學好數學.

1.2 要有利于模式化解題的總結和提升

模式化解題是指對于一些特征性比較明顯,綜合性不是很強的題目,解題者在看完題目的條件與結論后,能夠較快地反映出該題的解題思路,可以用什么方法求解的思維過程.思路決定出路.能否說出題目的正確思路,關鍵在于構思,要在構思上下功夫,在審題上做文章.解題必須先審題,審題要有好思路.因為有些數學題往往以復雜的外殼來掩蓋知識的內在聯系,特別是有些綜合題,涉及到的知識常常改變原來的面目,例如,計算d x,雖然被積函數中有根式,但不能因式分解.比較難以抓住解題思路、主線,較難確定解題策略,或解題策略難以把握.引入輔助元素t,設,實施繁難,解題策略遇到障礙,較難自我排除.但是,如果設問題就可以得到解決,輔助元素可以是輔助未知數、輔助線、輔助問題或輔助定理等.所以抓住題目條件或結論中所涉及的知識點去構思是不能動搖的,在構思中有的需要整體分析、有的需要利用特殊、有的要結合經驗聯想等.

1.3 要有利于變式呈現和拓展

變式是中國傳統的數學教學經驗,變式教學是以培養學生的思維品質為目標,因而變式要慎之又慎.變式要把握三個度[6]:一是"梯度".變式要循序漸進,控制在學生水平的"最近發展區".讓學生跳一跳才能摘到果子,否則會使學生產生畏難情緒,影響問題的解決,降低學習效率;其次是"參與度".變式不是教師的專利,要發揮學生的創新精神,體現"學為主體,教為主導".只有這樣,才能調動學生的學習積極性,點燃學生的思維的火花,提高學生參與創新的意識;再次是"適度".適度包括了習題的數量、類型、難易程度,等等.變式過多過難,不但會造成題海,增加無效的勞動和加重學生的負擔,而且還會使學生產生逆反心理,對變式產生厭煩情緒.但如果對復習題處理單一,局限在教材所提供的一些現成的、孤立的示例或習題上,就題論題,缺乏演變和創新,缺乏一定數量的訓練.容易讓學生思維模式化、套路化,這樣只能培育機械模仿者;同時,也容易誤導學生以為世界就那么大,題目就這幾種,因而束縛學生做題可能卻一錯再錯,使之教學效果低下.因為數學練習的次數不能代替數學變式訓練的強度.因此,例題和習題的改造應成為高數教學的重要方法之一.適度的變式多解要圍繞核心、提煉核心概念,呈現研究思想.這里所說的思想,不僅僅指的具體的"數學思想",還包括意義更廣泛的"研究策略"、"解題策略"、"行動策略"和"哲學思想"等等[7].如何有效傳授這些重要思想?首先要提煉每節課的核心問題,讓學生在相關的問題及問題的解決中感悟這些思想,實現在探中思,在探中悟,在探中明.以探索發現為線索、以啟迪思想開發智慧為目標,以興趣培養為主題、讓學生更喜歡數學,讓教學變得更容易理解,讓教學更有成效.

2 變式要多角度

2.1 變式的意義

變式主要是指對概念、公式、例題、習題進行變通推廣,讓學生能在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下重新認識的一種教學模式.數學命題、公式、定理、性質的運算,等等,是關于概念之間的關系判斷,或者對某一事物的概括,是一個邏輯真命題,是數學家通過研究發現的數學結論.變式教學可以通過改變概念的外延或改變一些能混淆概念外延的屬性來獲得對概念的多角度理解,還可以通過數學活動操作幫助學生理解概念產生發展的原因,獲得解決問題的表征和策略,設置層次性的概念模型促進概念的形成鋪墊層次化的問題串以形成解題策略.例如,羅爾定理可推導拉格朗日中值定理,但羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊;拉格朗日中值定理可推柯西中值定理、泰勒中值定理,同時,拉格朗日中值定理是柯西中值定理和泰勒中值定理的特殊.定理的特定條件的改變,定理的結論也隨著改變,即得不同的變式.老師要改變觀念,不是不允許學生自己變題,而是要提倡他們自己變題;不是壓抑他們自己變題,而是推動他們自己變題;不是聽任他們自己信馬由韁,而是導之開之.

恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍.變式要有"梯度"、"適度"和"參與度".現從基本公式算變式(2)開始拓展,設計一套層次性遞進的數學計算題變式.計算變式(1)在這常用公式變化的過程中,揭示了一類問題的本質特性,學生從公式到簡單模仿到尋求"幾種特殊類型函數的積分"的方法.這樣的拓展讓學生始終興趣盎然,感到學習緊張有趣.進行局部探究,不僅使學生進一步加深了對公式的理解和靈活應用,而且拓展了復習題內容的深度和廣度.

2.2 一題多變,變通概念公式與各知識的縱橫聯系

現以同濟大學數學系主編的高等數學(第六版)上冊,第221頁總復習題四的第40題為例.此題是較典型的三角函數的有理式積分,三角函數有理式是指由三角函數和常數經過有限次四則運算及乘方運算所構成的函數.此題從形式上看較為淺顯,但適當變形拓展,或分解,重新組合,引導學生深層次的探索,就能感受到此題的內涵.

怎樣從學生已有的知識和經驗出發,最大限度啟發引導獲取新知識是關鍵.被積函數是三角函數有理式,即分式.分式中含有sin x,cos x的同角三角函數的有理式,被積函數雖然只有兩個有理式,但較難湊出積分.尋找分式中的分子與分母之間的聯系是關鍵,分子、分母分別是這兩個同角正余弦有理函數的積與和.抓住"同角"的特征,利用"同角"三角函數的關系式,變通分母,可以湊出分子有理函數的積.即(sin x+cos x)2=1+2sin x cos x,先用sin2x+cos2x=1導入,后把cos x+sin x轉化成

為了給學生的研究提供支持,給他們的學習牽馬引鐙,提供他們自己學的更為有利條件,為學生準備,為學生激勵,為學生做加油站[8].課堂以輕松、有趣的方式引入問題吸引學生的注意力,是激發學生學習興趣的有效方法[9].如果把被積函數中的分母sin x+cos x變為1+sin4x,分子不變.即:

這個變式的設置在學生的最近發展區,學生感興趣,有的說計算的關鍵是把被積函數轉化為基本積分公式,有的說變被積函數中的分母和分子,教師抓住學生思維"固定點"點撥,轉化為哪個基本公式,怎樣轉化?怎樣變分子和分母?學生即刻說出:分母1+sin4x=1+(sin2x)2,分子sin x cos x=所以,原式arctan sin2x+C.

變更問題,誘發靈感[8].問題的動態生成是新課程倡導的一個重要的教學理念和努力追求的目標.怎樣追求?就原題目而言,微變一下,把被積函數中的分子sin x cos x,變為sin x,分母不變."變式到"基本的命題,即:

這是一個基于比原題目簡便的計算,不僅能夠回顧和復習基本概念和基本方法,而且能不斷地激發學生的智慧潛能,將學生的思維引向數學的基本概念和基本思想,能使學生養成良好的思考問題的習慣,以 "不變"的思考問題的出發點來應對"萬變"的數學題目.先變更被積函數中的分子,sin x=[(sin x+cos x)+ (sin x-cos x)],然后分解,求兩個積分的差.

2.3 一題多解,促進解題策略的逐步優化

為了知識方法的理解和智慧的獲得,需要進行技能的訓練和問題的解決.適用一題多解或多題一解的方法,不但可以幫助學生獲得問題解決的特定經驗,而且可以促進解題策略的逐步優化.仍以2.2中的題目為例,可變式如下.

變式3也是一道難得的好題,涉及到三角、導數和積分的基本公式.學生通過類比、分析、歸納、相互交流和互動,得出了如下解析.

解析1先將被積函數進行恒等變形,再利用正、余弦函數的導數關系式解之.即

解析2把被積函數中的分子分母同乘以cos x-sin x,用同角三角函數的關系式、半角公式、二倍角公式,湊出新的微分,用微分基本公式計算.

解析3被積函數的分子分母同乘以cos x+sin x,用同角三角函數的關系式、半角公式、二倍角公式湊出新的微分,用微分基本公式計算.

解析4把變式2中被積函數的分子、分母同除以cos x≠0,得2tan x d(tan x),1+tan2x=sec2x,把被積函數是難點,將被積函數向積分公式靠攏.即:

解析5變式2的被積函數中分母有sin x,分子沒有sin x,通過在分子中加上sin x-sin x來轉化,被積函數中的分母的微分正好是分子,湊出新的積分,然后再在分式中的分子加上cos x-cos x,這是有技巧性的層次性探索.但技巧有其局限性,適用的范圍比較狹窄.

解析6運用"萬能代換"法,設tan也可方便地解題.

以上6種解析,不同程度的誘發了學生靈感,開拓了學生思維,化解了教學難點,降低了學習難度,提高了學習效益,梳理了知識網絡.

3 結語

數學教學倡導把例習題的變式多解當作"數學研究"的主要手段之一,變式多解應結合教材內容和學生實際,拓展和改造的題目應是在教師的啟發和引導下由學生討論完成,拓展和改造要建立在學生現有的認知水平上.拓展和改造不僅是一個教師學識認知系統化、思想化的過程,而且也是一個數學知識再創造的過程,一個教學內容藝術化的過程[9].由聯想所學知識,運用數學思想方法,確定解題切入點、監控調節點、審視解題反思點,不斷由低級向高級逐步抽象的復雜心理過程,因而選題、變題、解題者在選、變、解題過程中的思維過程逐步由數學知識、方法這些相對具體的層面,向數學概念、公式、解題策略等更為抽象的層次發展.以使選題、變題、解題能從更高的觀點、更寬的視野,更理性的眼光,去思考數學,領悟數學的哲理[10].

教學中,有意識暴露一些題目變式的思維過程,并讓學生參與變式編擬和求解變式問題可以收到更好的效果:一是揭示了一類問題的本質特性,拓寬了復習內容的深度和廣度,實現了基本方法的靈活應用;二是促進了解題策略的逐步優化,減少復習的隨意性和盲目性;三是彰顯了學生個性,展示了學生才能,滿足了個性化教育的需要;四是提供了一個表達并反思自己獨特的關于數學的情感,知識,方法和觀念的空間,促進了元認知能力的發展;五是創造了師生對話交流的新途徑,構建了一種和諧教育環境;六是豐富了數學文化生活,提供了一個傳播數學文化的載體;七是關注了學生數學發展的不同需求,為不同學生提供不同的發展空間,為促進學生個性和潛能發展搭建了新的平臺;八是加強了問題解決過程中的認知提升和情感培養,不斷深挖了學生深度的思維;九是鞏固和深化了新知,補充與延伸新知,綜合運用新知,領悟數學思想與方法.

[1]劉鍵.課本習題改造是"數學探究"的重要渠道[J].數學通報,2006(8):33-34.

[2]吳立寶.中澳數學教科書習題的比較研究---以人教版和HMZ8年級教科書為例[J].數學教育學報,2013,22(2):58-64.

[3]李靜,王秀蘭.本原性問題驅動下的高等數學變式教學[J].數學教育學報,2013,22(6):94-97.

[4]俞新龍.談談高三復習課中例題的選擇[J].數學教學,2007(10):5-8.

[5]馬建龍.編制變式題組,功克學習難關[J].數學通報,2013(5):27-30.

[6]吳莉霞,劉斌.變式教學要把握三個"度"[J].數學通報,2006(4):18-19.

[7]王克亮.在問中悟,在問中探,在問中明[J].數學通報,2013(9):38-40.

[8]郭思樂.以生為本的教學觀:教皈依學[J].課程.教材.教法,2005,25(12):14-22.

[9]王欽敏.如果對教材進行有益的改造[J].數學通報,2013(1):45-48.

[10]單墫.數學是思維的科學[J].數學通報,2001(6):1-3.

On them ultip le solutions to a review question's variant

QIU Yun-lan
(Mathematics Departmentof Shaozhou Normal College,Shaoguan University, Shaoguan 512009,Guangdong,China)

Higher mathematics classroom teaching core mission is to develop students'thinking ability to explore the subjectwhich lies in the improvement ofmathematical thinking ability to explore the topic,variant, and improving the quality of problem-solving,rather than the increasing of topics,variantand solving.Problemsolving should be in line with three principles and diversified,which better connects the horizontal and vertical knowledge to optimize the solving strategies,which foster the thinking,analyzing and solving abilities of the students.

highermathematics;variant teaching;problem-solving approach;exploring ability

G642.4

:A

:1007-5348(2014)06-0087-05

(責任編輯:邵曉軍)

2014-03-26

邱云蘭(1956-),男,廣東樂昌人,韶關學院韶州師范分院數學系副教授,主要從事數學教育教學的實踐與研究.