函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式考前預(yù)測
2014-02-10 23:52:45李昭平
廣東教育·高中 2014年1期
李昭平
函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式三者之間有著緊密的聯(lián)系.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具， 尤其是處理高次函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及它們的復(fù)合型函數(shù)問題時，更能體現(xiàn)其應(yīng)用價值、思維價值和工具價值.不等式貫穿于函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題之中，同時導(dǎo)數(shù)又為一些用傳統(tǒng)方法難以處理的不等式問題提供了求解的新思路和新途徑.可以說，導(dǎo)數(shù)的引入，拓寬了高考對函數(shù)與不等式問題的命題空間，以致在近年來的高考中，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的交匯成為考查的重點、難點和創(chuàng)新點.
考點1. 函數(shù)基本知識及其聯(lián)系問題
例1. 已知某質(zhì)點在運動過程中，熱量Q隨位移x變化的規(guī)律是Q（x）=ax3+bx2+cx+d，其圖像關(guān)于坐標原點對稱，如圖1是其圖像的一部分，求Q（x）的解析式.
[解析]∵Q（x）的圖像關(guān)于坐標原點對稱，∴Q（-x）=-Q（x），
即-ax3+bx2-cx+d-ax3-bx2-cx-d，∴b=d=0.
因此Q（x）=ax3+cx，Q′（x）=3ax2+c.
由圖像可知，當x=時，
Q（x）有極小值-1，所以 Q′（）=a+c=0，Q（）=a+=-1，解得a=4，c=-3，Q（x）=4x3-3x.
[點評]函數(shù)基本知識主要包括函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、圖像、極值、最值等.本題以物理知識為背景，給出質(zhì)點的運動軌跡（即原函數(shù)的圖像），融函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)、極值的考查于一體，從原函數(shù)圖像上發(fā)現(xiàn)其極值點而得到Q′（）=0是解題的關(guān)鍵.
考點2. 函數(shù)圖像的切線及其聯(lián)系問題
例2. 反比例函數(shù)f（x）（x>0）和二次函數(shù)g（x）的圖像如圖2所示， 在它們交點P處的反比例曲線的切線的傾斜角為120°，求f（x）+g（x）的最小值.
[解析]由題意可設(shè)f（x）=，
g（x）=ax2. 則 f′（x）=-.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：-=tan120°，所以k= .
因此 f（x）= ，P（1，）.
將P（1，）代入 g（x）=ax2中，得a=.
故h（x）=f（x）+g（x）=+x2，x≠0. h′（x）=-+2x=0，x=.
當x>時，h′（x）>0；0 [點評]本題考查函數(shù)的圖像、函數(shù)的解析式和圖像的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（f′（1）=tan120°）確定待定系數(shù)k是解題的關(guān)鍵.函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）的幾何意義就是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，以此點為切點的切線方程是y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）. 考點3. 函數(shù)與數(shù)列的交匯問題 例3. 已知函數(shù)f（x）=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f（log2an）=-2n. （1）求an=g（n）的導(dǎo)函數(shù)g′（n）； （2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性. [解析]（1）由已知，有an-=-2n，即a 2 n+2nan-1=0， 解得an=-n±. 而an>0，所以an=-n. 于是g′（n）=-1. （2）因為=<1（n∈N），所以 g′（n）= -1<0（n∈N）， 故數(shù)列{an}是單減數(shù)列. [點評]本題考查了復(fù)合函數(shù)、數(shù)列以及函數(shù)單調(diào)的導(dǎo)數(shù)式條件.數(shù)列是特殊的函數(shù)，將an=g（n）視為n的函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性. 考點4. 函數(shù)圖像的公切線問題 例4. 設(shè)函數(shù) f（x）=ex的反函數(shù)為g（x），點P（x1，y1），Q（x2，y2）分別為函數(shù)f（x）的圖像C1和g（x）的圖像C2上的兩個動點， 過P、Q的直線為l，當l為曲線C1、C2的公切線時，求x1，x2滿足的關(guān)系以及x1的取值范圍. [解析]f（x）=ex，f′（x）=ex；g（x）=lnx，g′（x）=. 過P（x1，），Q（x2，lnx2）的公切線l的方程有兩種表達式：y-=（x-x1）和y-lnx2=（x-x2），即y=x+（1-x1）和y=x+lnx2-1，因此 =，=（1-x1）=lnx2-1，解得x2=，=. 由=>0x1<-1或x1>1，當x1>1時，>e>e1 故x1，x2滿足的關(guān)系是的取值范圍是x2=；x1的取值范圍是（，-1）∪（1，）. [點評]本題是超越型函數(shù)圖像的公切線問題，用傳統(tǒng)方法難以求解. 這里根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到公切線l的兩種表達式，從而構(gòu)建方程，獲得x1，x2的關(guān)系， 進一步求出x1的取值范圍.一般地，如果直線l切曲線y=f（x）和y=g（x）分別于點P（x1，y1），Q（x2，y2），則l有兩種表示方法：y-f（x1）=f′（x1）（x-x1）和y-g（x2）=g′（x2）（x-x2）， 即它們表示同一條直線，我們常常以此構(gòu)建方程組f′（x1）=g′（x2），f（x1）-x1f′（x1）=g（x2）-x2g′（x2）來解決公切線問題. 考點5. 超越型不等式的證明問題 例5. 設(shè)f（x）=x-sinx，若x∈[0，]，∈（0，），試證明 ≥f（）. [解析]- f（）=-+sin=-sin-sinx+sin. 令g（x）=-sin- sinx+sin，則g′（x）=-cosx+cos=（cos-cosx）. ∵x∈[0，]，∈（0，），∴∈（0，），而cosx在[0，]內(nèi)單調(diào)遞減， 所以由g′（x）=（cos-cosx）=0，得x=. 當
g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減. 因此g（）是g（x）在[0，]上的最小值.
于是g（x）≥g（）=0，-f（）≥0，
即當x∈[0，]，∈（0，）時， ≥f（）成立.
[點評]本題中的超越型不等式用傳統(tǒng)方法難以證明，導(dǎo)數(shù)為這類問題的研究和解決提供了新思路. 由于導(dǎo)數(shù)在這類問題中的應(yīng)用往往是隱性的，需要我們?nèi)?chuàng)造條件、去構(gòu)造模式（主要是構(gòu)造新函數(shù)，此題中就是函數(shù)g（x）），這就常常導(dǎo)致我們只重視用傳統(tǒng)方法思考，而忽視導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 不等式的證明除常見的比較法、分析法、綜合法、反證法外，構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)知識處理是一種非常重要的方法.在涉及指數(shù)、對數(shù)、分式、三角等復(fù)雜的不等式證明問題中，有著其他方法不可比擬的優(yōu)越性，因此要重點關(guān)注.
類型6. 含參數(shù)的恒成立不等式問題
例6. 已知函數(shù)f（x）=x3-x2+（a+1）x+1，其中a為實數(shù). 若不等式f′（x）>x2-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
[解析]因為f′（x）=ax2-3x+（a+1），所以f′（x）>x2-x-a+1就是ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1，即（x2+2）a-2x-x2>0.
令g（a）=（x2+2）a-2x-x2，則g′（a）=x2+2>0，g（a）在a∈（0，+∞）上單增，（x2+2）a-2x-x2>0在a∈（0，+∞）恒成立g（0）≥0， 所以-2x-x2≥0，解得-2x≤x≤0，即為實數(shù)x的取值范圍.
[點評]本題涉及整式函數(shù)型恒成立不等式， 主要考查多項式函數(shù)的求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系. 一要注意三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)則是二次函數(shù)， 二次函數(shù)是我們熟悉的模型，這是導(dǎo)數(shù)的降次功能. 二要注意構(gòu)造新函數(shù)g（a），活用導(dǎo)數(shù)知識求出g（a）的值域，順利實現(xiàn)解題目標.一般地，不等式f（x）
考點7. 函數(shù)式中待定字母的取值范圍問題
例7. 函數(shù)f（x）=x2eax，其中a∈R.
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上遞增，求實數(shù)a的取值范圍.
[解析]（1）f（x）=x2ex，f′（x）=2xex+x2ex=（x2+2x）ex. 由f′（x）>0，得x2+2x>0，x<-2或x>0；由f′（x）<0，得x2+2x <0，-2 （2）f（x）=x2eax，f′（x）=2xeax+ax2eax=（ax2+2x）eax. 若函數(shù)f（x）=在（-∞，-1]上遞增，則在（-∞，-1]上f′（x）=（ax2+2x）eax≥0，即ax2+2x≥0. 因為x∈（-∞，-1]，所以x2>0，ax2+2x≥0變?yōu)閍≥-，a≥（-）max. -在x∈（-∞，-1]上是減函數(shù)，最大值為-=2，故a≥2， 即為實數(shù)a的取值范圍. [點評]縱觀近年來的高考題不難發(fā)現(xiàn)，“已知函數(shù)的單調(diào)性特征，反過來確定函數(shù)式中待定字母的取值范圍”試題在高考中頻頻出現(xiàn)，而且試題的深度、廣度和難度也在不斷增大. 這種逆向設(shè)置的問題， 有一定的開發(fā)性，能有效考查學(xué)生對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式思想方法的掌握程度、思維水平和綜合能力. 顯然， 這些試題用單調(diào)性的定義求解，將會十分復(fù)雜，甚至無法求解. 而運用導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來處理則是一種有效途徑. 對于可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上單增（或單減）的充要條件是：在x∈D上恒有f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在D的任意子區(qū)間上都不恒為零. 在高中階段， 主要出現(xiàn)的是有一個或多個（有限個）使f′（x）=0的點x的情況. 比如， 函數(shù)f（x）=x3在（-∞，+∞）上單增，f′（x）=3x2≥0在（-∞，+∞）上恒成立， 其中有一個x0=0，使f′（x0）=0成立. 注意f′（x）>0（或f′（x）<0）是f（x）為增（或減）函數(shù)的充分而非必要的條件， 避免當做充要條件使用. 這里不能由不等式ax2+2x>0求實數(shù)a的取值范圍. 考點8. 分類討論待定字母的取值范圍問題 例8. 求函數(shù)f（x）=xln（-x）+（a-1）x（a∈R）在區(qū)間[-e2，-e-1]上的最大值g（a）. [解析]f′（x）=ln（-x）+ a. 由f′（x）=ln（-x）+ a=0 ，得x=-e-a. ①若-e-a<-e2，即a<-2，函數(shù)在[-e2，-e-1]上遞減，g（a）=f（-e2） =-（a+1）e2. ②若-e2≤-e-a<-e-1，即-2≤a<1時，g（a）=f（-e-a）=e-a. ③若-e-a≥-e-1，函數(shù)在[-e2，-e-1]上遞增，g（a）=f（-e-1）=. 故g（a）=-（a+1）e2， （a<-2）e-a， （-2≤a<1）. （a≥1） [點評]本題中a為任意實數(shù)，f′（x）的零點x=-e-a是否在所給的區(qū)間[-e2，-e-1]內(nèi)，有a待于的取值，必須對零點x=-e-a與區(qū)間[-e2，-e-1]的位置關(guān)系進行分類討論. 一般地，分類討論有“三步曲”：一是選擇分類對像，即對什么東西進行分類（這里零點x=-e-a與區(qū)間[-e2，-e-1]的位置關(guān)系由a確定，因此選擇a為分類對像）；二是確定分類標準，即怎樣分類（這里根據(jù)零點x=-e-a在區(qū)間[-e2，-e-1]的左邊、內(nèi)部、右邊分成a<-2、-2≤a<1和a≥1三類）；三是深化分類層次（就是在一級分類中再進行二級分類，即分類中分類，本題不涉及）. 導(dǎo)數(shù)、不等式在函數(shù)的應(yīng)用中， 常常涉及到待定的字母，函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及圖像的形狀等等都與字母的取值有關(guān)， 此時要牢記對待定字母的分類討論， 切實把握分類討論的“三步曲”，否則極易出錯.
考點9. 函數(shù)的零點個數(shù)問題
例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點個數(shù).
[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.
當0
如圖3，當x逐漸靠近零時，f（x）越來越大；當x大于2，并逐漸大時，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個零點.
[點評]超越函數(shù)的零點個數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號；確定x0是極大值點，還是極小值點，或不是極值點；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.
考點10. 函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題
例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點？若存在，請求出m的取值范圍； 若不存在，請說明理由.
[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實根的個數(shù)問題，進一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點的個數(shù)問題.
因為h（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），
當0
變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個不同交點”，怎樣解答呢？
變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個不同交點”，怎樣解答呢？
[點評]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時研究函數(shù)圖像端點的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.
以上對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點作了十個方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價值.高考題無非是知識與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.
（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）
責任編校 徐國堅
考點9. 函數(shù)的零點個數(shù)問題
例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點個數(shù).
[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.
當0
如圖3，當x逐漸靠近零時，f（x）越來越大；當x大于2，并逐漸大時，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個零點.
[點評]超越函數(shù)的零點個數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號；確定x0是極大值點，還是極小值點，或不是極值點；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.
考點10. 函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題
例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點？若存在，請求出m的取值范圍； 若不存在，請說明理由.
[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實根的個數(shù)問題，進一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點的個數(shù)問題.
因為h（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），
當0
變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個不同交點”，怎樣解答呢？
變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個不同交點”，怎樣解答呢？
[點評]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時研究函數(shù)圖像端點的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.
以上對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點作了十個方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價值.高考題無非是知識與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.
（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）
責任編校 徐國堅
考點9. 函數(shù)的零點個數(shù)問題
例9. 試判斷函數(shù)f（x）=x2-8lnx-8的零點個數(shù).
[解析]函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）. 由f′（x）=2x-=0，得x=±2，取x=2.
當0
如圖3，當x逐漸靠近零時，f（x）越來越大；當x大于2，并逐漸大時，f（x）也越來越大.因此函數(shù)f（x）有兩個零點.
[點評]超越函數(shù)的零點個數(shù)用傳統(tǒng)方法處理往往不易，導(dǎo)數(shù)是很好的工具.解題的基本步驟是：求f′（x）=0的根x0；判斷在根x0的兩側(cè)f′（x）的符號；確定x0是極大值點，還是極小值點，或不是極值點；求最值；畫出f（x）的草圖，觀察即可.
考點10. 函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題
例10. 已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點？若存在，請求出m的取值范圍； 若不存在，請說明理由.
[解析]函數(shù)的y=f（x）圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，就是方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上實根的個數(shù)問題，進一步就是函數(shù)h（x）=g（x）-f（x） 的圖像與x軸交點的個數(shù)問題.
因為h（x）=6lnx+m+x2-8x，所以h′（x）=+2x-8=（x>0），
當0
變式1：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有兩個不同交點”，怎樣解答呢？
變式2：如果“函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有一個交點”變?yōu)椤昂瘮?shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像有且只有三個不同交點”，怎樣解答呢？
[點評]用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像的交點個數(shù)問題，也是近年來高考考查的熱點內(nèi)容之一. 解題的主要步驟是：①構(gòu)造函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）；②求導(dǎo)h′（x）=g′（x）-f′（x）；③研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性和極值（必要時研究函數(shù)圖像端點的極限情況）；④畫出函數(shù)h（x）的草圖，觀察與x軸的交點情況，列出相應(yīng)的不等式（組）；⑤解不等式（組）獲解.
以上對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式在2014年高考中的考點作了十個方面的預(yù)測. 這些試題很好地體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的聯(lián)系，以及解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式問題的核心思想方法，有一定的價值.高考題無非是知識與思想方法的重新排列組合，盡管我們無法猜到原題，但萬變不離其宗，熟練把握了這十種題型，可以在高考中以不變應(yīng)萬變.
（作者單位：安徽省太湖中學(xué)）
責任編校 徐國堅
