高考數列命題熱點探析

許少華

縱觀近三年廣東高考數學試卷，無論文科還是理科，對于數列內容的考查相對比較穩定，試題一大一小，分數為19分.試題內容也比較相似，小題都是考查等差、等比數列的通項公式與前n項和公式的應用，此題的難度很小，百分之八十以上的考生都能順利得分.大題都與遞推關系或通項an與前n項和Sn的關系有關，然后考查求具體的項與通項公式，最后都是與不等式有關的證明問題，且在證明過程中又都無一例外的用到裂項與放縮技巧.2014年呢？由于高考命題要求在穩定中創新、在中改革，于是，我們預測其命題熱點有以下幾個方面，供參考.

熱點一：客觀題仍考查等差、等比數列的基礎知識與簡單的常用技能

例1. 設首項為1，公比為的等比數列{an}的前n項和為Sn，則（ ）

A. Sn=2an-1 B. Sn=3an-2

C. Sn=4-3an D. Sn=3-2an

解析一 在等比數列{an}中，Sn===3-2an，選D.

解析二 在等比數列{an}中，a1=1，q=an=（）n-1.

于是，Sn==3[1-（）n]=3[1-×（）n-1]=3-2an

點評 等差、等比數列的基礎知識與簡單的常用技能是處理數列問題的思維起點，也是數列中應用數學思想方法的入手點，因此，在各級各類的考試中對這些內容的考查作為檢查高中生對基礎知識的普遍掌握情況十分有利.

熱點二：客觀題轉變考查方向，建立在數列基礎知識與基本技能的基礎上考查分析與推理能力

例2. 已知數列{an}的通項為an=（）n-1[（）n-1-1]，下列表述正確的是（ ）

A. 最大項為0，最小項為-

B. 最大項為0，最小項不存在

C. 最大項不存在，最小項為-

D. 最大項為0，最小項為a4

解析 （1）由an=（）n-1[（）n-1-1]，得a1=0.

∵當n>1時，0<（）n-1<1，

∴an最大項為a1=0.

又an+1-an=（）n[（）n-1]-（）n-1[（）n-1-1]=（）n-1×

，顯然，當n≥3時，an+1-an>0；當n<3時，an+1-an<0.

于是， 最小項為a3=-，故選A.

點評 從函數角度來認識本題最有利于求解，函數的最值往往與單調性有關，那么數列的最值呢？也與數列的單調性有關，于是，借助數列的單調性最終產生結論.

例3. 數列{an}滿足an+1+（-1）nan=2n-1，則{an}的前60項和為_______.

解析一 由題設知，a2-a1=1…①；a3+a2=3…②；a4-a3=5…③；a5+a4=7…④；a5+a4=7，a6-a5=9，a7+a6=11，a8-a7=13，a9+a8=15，a10-a9=17，a11+a10=19，a12-a11=21，......

∴②-①得a1+a3=2，③+②得a4+a2=8，

同理可得a5+a7=2，a6+a8=24，a9+a11=2，a10+a12=40，…，

∴a1+a3，a5+a7，a9+a11，…，是各項均為2的常數列，

a2+a4，a6+a8，a10+a12，…是首項為8，公差為16的等差數列，

則{an}的前60項和為15×2+15×8+×16×15×14=1830.

解析二 由an+1+（-1）nan=2n-1a4n+2-a4n+1=8n+1，a4n+3+a4n+2=8n+3，a4n+4-a4n+3=8n+5 a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=16n+8，

令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，

則bn+1=bn+16，又b1=a1+a2+a3+a4=10S15=10×15+×16=1830.

則{an}的前60項和為1830.

點評 本題無論是方法一還是方法二，在規定的時間內都不太好想，說它很難吧，不是；說它不難吧，顯然也不準確.反復應用遞推關系是求解的關鍵.

熱點三：解答題延續去年的熱點，繼續建立在an與sn關系的基礎上考查通項公式的求法及放縮法證明不等式

例4. 數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…

（1）寫出Sn與Sn-1的遞推關系式（n≥2），并求Sn關于n的表達式；

（2）設fn（x）=xn+1，bn=（p）（p∈R），求數列{bn}的前n項和Tn；

（3）求證：++…+>.

解析 （1）由于n≥2時，an=Sn-Sn-1，那么Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），則-=1，

因此=+（-）+…+（-）=n.

于是Sn=.

（2）由fn（x）=xn+1，得fn（x）=xn+1，

那么=nxn，于是bn=npn，

得數列{bn}的前n項和Tn=p+2p2+3p3+…+npn.

10若p=0時，則Tn=0；

20若p=1時，則Tn=1+2+3+…+n=；

30若p≠0且p≠1時，則pTn=p2+2p3+3p4+…+npn+1，則（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-npn+1=-npn+1，得Tn=-.

（3）由（1）得Sn=

于是S1+S2+…+Sk<1+2+…+k=>=2（-），

那么++…+>2[（1-）+（-）+…+（-）]=.

點評 本題延續去年的熱點，繼續考查與Sn有關的遞推式.值得一提的是：廣東的高考命題有延續往年熱點的“習慣”，看看近年的三角試題（解答題的第一題），連續四年的命題，從形式到內容都非常接近.再看2012年高考數列題與2013年高考數列題是多么接近啊！再延續一年完全有可能.

熱點四：解答題降低難度，考查等差、等比數列基本運算與基本技能

例5. 64個正數排成8行8列，如右圖所示：其中aij表示第i行第j列的數.已知每一行中的數依次都成等差數列；每一列中的數依次都成等比數列，且公比均為q∶a11=，a24=1，a21=.

（1）求a12和a13的值；

（2）記第n行各項之和為An（n∈N且1≤n≤8），數列{an}，{bn}，{cn}滿足an=，mbn+1=2（an+mbn）（m為非零常數），cn=，且c21+c27=100，求c1+c2+…+c7的取值范圍；

（3）對（2）中an，記dn=（n∈N），設Bn=d1d2…dn（n∈N），求數列{Bn}中最大項的項數.

解析 （Ⅰ）因為q==，所以a14==2.又a11，a12，a13，a14成等差數列，公差設d，由a14=a11+3dd=，所以a12=1，a13=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，第一行所成等差數列公差為，所以a18=4.

因為an1=a11·（）n-1=（）n，an8=a18·（）n-1=4×（）n-1=8×（）n.

所以An=×8=36×（）n，所以an=2n（1≤n≤8，n∈N）.

因為mbn+1=2（an+mbn），所以mbn+1=2n+1+2mbn.

整理得-=.而cn=，所以cn+1-cn=，得{cn}是等差數列.

故c1+c2+…+c7=.

因為≠0，所以c1≠c7，所以2c1c7

得（c1+c7）2=c21+c27+2c1c7<2（c21+c27）=200，

即-10

（Ⅲ）因為dn=200×（）n是一個正項遞減數列，所以當dn≥1時，Bn≥Bn-1，當dn<1時，Bn1）.

于是{Bn}，中最大項滿足dn≥1，dn+1<1，即200×（）n≥1，200×（）n+1<1.

解得6+log

所以n=7，即{Bn}中最大項的項數為7.

點評 本題共三問，看看第一問是等差數列與等比數列的基礎知識問題，沒有什么難度.第二問呢？雖然看上去繞了很多彎，但只要你認清每一步涉及的基礎知識與基本技能，也會順利完成.第三問呢？無論是分析還是求解，都在常規之列，也不算難.但當這三問合在一起時，再說此題是簡單題恐怕就沒有人同意了.本題很全面，你再仔細看看，它涉及的知識點有多少個？方法與技能又有多少個？這樣你就明白了，表面上看是降低了難度，考查也轉向基礎了，但因全面而使試題顯得更有區分度.

熱點五：解答題真正在遞推數列上作文章，從求解遞推式必備的基本技能入手，考查通項公式、求和及不等式的證明

例6. 設>2，給定數列{an}，其中x1=，xn+1=，求證：

（1）若yn=lg，則數列{yn}是等比數列；

（2）若>3，則當n≥lg/lg時，xn<3；

（3）若<3，那么xn≤2+.

解析 （1）由xn+1=xn+1-2=xn+1==（）2，由于>2，易得>0，于是lg=2lgyn+1=2yn.

故數列{yn}是等比數列.

（2）由==（1+），得xk>3時，<<1即xk+1

假設>3，當n≥lg/lg時，有xn+1≥3.

由x1>x2>…>xn>xn+1≥3及x1=，得3≤xn+1=x1·（）·…·（）<（）nn

故當n≥lg/lg時，xn<3.

（3）由（1）得=（）2=（）xn=2+.

∵>2>1（）>1，又由（1+x）n=1+x+x2+…≥1+nx，

得（）=（1+）≥1+（）·2n-1≥1+2nxn=2+≤2+.

點評 本題的第一問考查遞推公式的變形技巧及等比數列的判定，顯然，有難度.第二問考查反證法與放縮法的綜合應用，其間用恒等式的構造，有難度也有靈活性.第三問在第一問的基礎上，再多次使用放縮法，最終產生結論，寥寥幾筆，數學味極濃.

熱點六：解答題建立在分析、探索、發現的基礎上考查考生分析問題與解決問題的能力

例7. 已知數列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosn）（an-1）+3，n∈N.

（1）求通項公式an；

（2）設{an}的前n項和為Sn，問：是否存在正整數m，n使得S2n=mS2n-1？若存在，請求出所有的符合條件的正整數對（m，n），若不存在，請說明理由.

解析 （1）當n是奇數時，cosn=-1；當n是偶數時，cosn=1.

所以，當n是奇數時，an+2=an+2；當n是偶數時，an+2=3an.

又a1=1，a2=2，所以a1，a3，a5，…，a2n-1，…是首項為1，公差為2的等差數列；a2，a4，a6，…，a2n，…是首項為2，公比為3的等比數列.

所以，ann，n為奇數2×3.n為偶數

（2）由（1），得S2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=[1+3+…+（2n-1）]+（2+6+…+2×3n-1）=3n+n2-1，S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1.

所以，若存在正整數m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當m=1時，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當m=2時，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當n=1時，31-1=1≠0=12-1；當n=2時，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個解.

當n≥3時，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當m=3時，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數對（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對.

點評 本題建立在分析、探索、發現的基礎上，考查考生分析問題與解決問題的能力很到位.首先通項公式，要借助分類思想來完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個看似簡單的步驟，其實慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過關就很難產生結論.

熱點七：解答題建立在交匯考查的基礎上，設計與其它知識結合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標平面上有一點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對一切正整數n，點Pn位于函數y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標構成以-為首項，-1為公差的等差數列{xn}.

（1）求點Pn的坐標；

（2）設拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點為Pn，且過點Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數列{an}的任一項an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，

∴設cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當x=0時，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數a1=-17.

設{an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點評 本題與函數、圓錐曲線、導數等都聯系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時還是必須熟悉的.否則，對求解還是會存在很大威脅的.實際上，數列在日常生活中廣為應用，如增長率問題、銀行存款利率問題、貸款問題等.另外，有些實際問題，可轉化為數列問題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問題.

熱點八：解答題建立在新定義的基礎上考查創新知識的應用

例9. 如果由數列{an}生成的數列{bn}滿足對任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數列{an}中，已知an=-n2，試判斷數列{an}是否為“Z數列”；

（Ⅱ）若數列{an}是“Z數列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數列{an}是“Z數列”，設s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因為an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因為bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因為as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關于數列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說的熱點一致.

（作者單位：中山一中）

責任編校 徐國堅

所以，若存在正整數m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當m=1時，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當m=2時，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當n=1時，31-1=1≠0=12-1；當n=2時，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個解.

當n≥3時，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當m=3時，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數對（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對.

點評 本題建立在分析、探索、發現的基礎上，考查考生分析問題與解決問題的能力很到位.首先通項公式，要借助分類思想來完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個看似簡單的步驟，其實慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過關就很難產生結論.

熱點七：解答題建立在交匯考查的基礎上，設計與其它知識結合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標平面上有一點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對一切正整數n，點Pn位于函數y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標構成以-為首項，-1為公差的等差數列{xn}.

（1）求點Pn的坐標；

（2）設拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點為Pn，且過點Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數列{an}的任一項an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，

∴設cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當x=0時，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數a1=-17.

設{an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點評 本題與函數、圓錐曲線、導數等都聯系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時還是必須熟悉的.否則，對求解還是會存在很大威脅的.實際上，數列在日常生活中廣為應用，如增長率問題、銀行存款利率問題、貸款問題等.另外，有些實際問題，可轉化為數列問題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問題.

熱點八：解答題建立在新定義的基礎上考查創新知識的應用

例9. 如果由數列{an}生成的數列{bn}滿足對任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數列{an}中，已知an=-n2，試判斷數列{an}是否為“Z數列”；

（Ⅱ）若數列{an}是“Z數列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數列{an}是“Z數列”，設s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因為an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因為bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因為as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關于數列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說的熱點一致.

（作者單位：中山一中）

責任編校 徐國堅

所以，若存在正整數m、n，使得S2n=mS2n-1，

則m===1+≤1+=3.

顯然，當m=1時，S2n=3n+n2-1≠1×（3n-1+n2-1）=S2n-1；

當m=2時，由S2n=2S2n-1，整理得3n-1=n2-1.

顯然，當n=1時，31-1=1≠0=12-1；當n=2時，32-1=3=22-1，所以（2，2）是符合條件的一個解.

當n≥3時，3n-1=（1+2）n-1=1+×2+×22+…≥1+2+4=2n2-4n+3=（n-2）2+n2-1>n2-1.

當m=3時，由S2n=3S2n-1，整理得n=1，

所以（3，1）是符合條件的另一個解.

綜上所述，所有的符合條件的正整數對（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對.

點評 本題建立在分析、探索、發現的基礎上，考查考生分析問題與解決問題的能力很到位.首先通項公式，要借助分類思想來完成.其次，要“鎖定”m的范圍，這個看似簡單的步驟，其實慍含多種基本方法（合理處理分式、放縮等），這些方法有一種不過關就很難產生結論.

熱點七：解答題建立在交匯考查的基礎上，設計與其它知識結合的“多功能”試題

例8. 在直角坐標平面上有一點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）…，對一切正整數n，點Pn位于函數y=3x+的圖像上，且Pn的橫坐標構成以-為首項，-1為公差的等差數列{xn}.

（1）求點Pn的坐標；

（2）設拋物線列c1，c2，c3，…，cn，…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點為Pn，且過點Dn（0，n2+1），記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn，求++…+；

（3）設S={x|x=2xn，n∈N}，T={y|y=4yn，n∈N}，等差數列{an}的任一項an∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大數，-265

解析 （1）xn=-+（n-1）×（-1）=-n-，∴yn=3xn+=-3n-，∴Pn=（-n-，-3n-）.

（2）∵cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點為Pn，

∴設cn的方程為：y=a（x+）2-，

把Dn（0，n2+1）代人上式，得a=1，

∴設cn的方程為：y=x2+（2n+3）x+n2+1，y′=2x+2n+3.

當x=0時，kn=2n+3，

∴==（-），

∴++…+=[（-）+（-）+…+（-）]=（-）=-.

（3）S={x|x=-（2n+3），n∈N，n≥1}，

T={y|y=-（12n+5），n∈N，n≥1}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N，

n≥1}，

∴S∩T=T，T中最大數a1=-17.

設{an}的公差為d，則a10=-17+9d∈（-265，-125），由此得，-

又∵an∈T，∴d=-12m（m∈N），

∴d=-24，∴an=7-24n（n∈N）.

點評 本題與函數、圓錐曲線、導數等都聯系上，雖然它們不起決定性作用，但用到時還是必須熟悉的.否則，對求解還是會存在很大威脅的.實際上，數列在日常生活中廣為應用，如增長率問題、銀行存款利率問題、貸款問題等.另外，有些實際問題，可轉化為數列問題，它們表面上看可能是解方程或是不等式問題.

熱點八：解答題建立在新定義的基礎上考查創新知識的應用

例9. 如果由數列{an}生成的數列{bn}滿足對任意的n∈N均有bn+1

（Ⅰ）在數列{an}中，已知an=-n2，試判斷數列{an}是否為“Z數列”；

（Ⅱ）若數列{an}是“Z數列”，a1=0，bn=-n，求an；

（Ⅲ）若數列{an}是“Z數列”，設s，t，m∈N，且s

解析 （Ⅰ）因為an=-n2，所以bn=an+1-an=-（n+1）2+n2=-2n-1，n∈N，

所以bn+1-bn=-2（n+1）-1+2n+1=-2，

所以bn+1

（Ⅱ）因為bn=-n，

所以a2-a1=b1=-1，a3-a2=b2=-2，…，an-an-1=bn-1=-（n-1），

所以an-a1=-1-2-…-（n-1）=-（n≥2），所以an=-（n≥2），又a1=0，所以an=-（n∈N）.

（Ⅲ）因為as+m-as=（as+m-as+m-1）+…+（as+1-as）=bs+m-1+…+bs，

at+m-at=（at+m-at+m-1）+…+（at+1-at）=bt+m-1+…+bt，

又s，t，m∈N，且sbt+i，n∈N，

所以bs+m-1>bt+m-1，bs+m-2>bt+m-2，…，bs>bt，

所以at+m-at

關于數列的命題我們就談這么多，真正的試題到底是什么樣的題呢？我們期待與這里說的熱點一致.

（作者單位：中山一中）

責任編校 徐國堅