用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)的常見錯(cuò)誤分析

童其林

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時(shí)就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等，特別是在做選擇題時(shí)，只有一個(gè)答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果.“以形助數(shù)”是指把抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，可避免繁雜的計(jì)算，獲得出奇制勝的解法.“以形助數(shù)”中的“形”，或有形或無形.若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想.因此“以形輔數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義.但由于構(gòu)造圖形的誤差，或者“無中生有”的不準(zhǔn)確，有時(shí)可能會出現(xiàn)一些錯(cuò)誤.本文就運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)容易出現(xiàn)的失誤做個(gè)簡單的歸類分析，希望引起你的重視.

1. 潦草作圖而導(dǎo)出的錯(cuò)誤

在同一坐標(biāo)系中作幾個(gè)函數(shù)的圖像來比較時(shí)，我們一定要注意函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”.因?yàn)槲覀儺嫵龅闹皇呛瘮?shù)圖像的一小部分，而不是全部.常言到“知人知面不知心”，同樣的，我們從函數(shù)圖像的部分而知道它的全部，在沒畫出來的部分圖像是怎么樣的呢？我們只有根據(jù)函數(shù)圖像的延伸趨勢以及伸展“速度”來判斷了.

例1. 判斷命題“當(dāng)a>1時(shí)，關(guān)于x的方程ax=log a x無實(shí)數(shù)解”是否正確？

錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中，分別畫出函數(shù) y=ax（a>1）及y=log a x（a>1）的圖像，如圖1所示，可見它們沒有公共點(diǎn)，所以方程確無實(shí)數(shù)解，故命題正確.

剖析：實(shí)際上對不同的實(shí)數(shù)a，y=ax及y=log a x的圖像的延伸趨勢不同，例如當(dāng)a = 2時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)解；而當(dāng)a = 時(shí) ，x = 2 便是原方程的解.上面的錯(cuò)解就是潦草作圖，而畫出了個(gè)有誤差的圖形，并且想當(dāng)然地根據(jù)圖形而不去注意函數(shù)圖像的延伸趨勢而造成的.

事實(shí)上，我們還可以通過幾何畫板的演示（參數(shù)a可動態(tài)控制），在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ax和函數(shù)y=log a x（a>0，a≠1）的圖像，當(dāng)a非常小時(shí)它們有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，方程ax=log a x解的有3個(gè).

例2. 比較2n與 n2（n 大于1的自然數(shù)）的大小.

錯(cuò)解：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=2x及y=x2的圖像，如圖2所示，由圖可知，兩個(gè)圖像有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)x=2時(shí)，2x=x2，當(dāng)x > 2時(shí)有2x

剖析：事實(shí)上，當(dāng)n= 4時(shí)，2n與 n2，也相等；n= 5時(shí)，2n>n2.錯(cuò)解是因?yàn)闆]有充分注意到兩圖像的遞增“速度”！要比較兩個(gè)圖像的遞增速度，確實(shí)很難由圖像直觀而得.本題可以先猜想，后用數(shù)學(xué)歸納法證明.本題的正確答案是 當(dāng)n=2，4時(shí)2n=n2，當(dāng)n=3時(shí) ，2nn2，證明略.

例3.（2013年高考·福建卷，文22題改編）已知函數(shù)f（x）=x-1+（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值.

解析：由題意，方程kx-1=x-1+無解，顯然x=0不是方程的解，故分離參數(shù)后的方程k=1+無解.令g（x）=1+（x≠0），則g′（x）=，所以g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，在x=-1處取到極大值g（-1）=1-e.又當(dāng)x→0+時(shí)，g（x）→+∞；當(dāng)x→0-時(shí)，g（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→1；當(dāng)x→-∞時(shí)，g（x）→-∞，即直線x=0和y=1是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖3.由題意知，直線y=k與函數(shù)g（x）的圖像無交點(diǎn)，觀察圖像易知，k∈（1-e，1]，故kmax=1.

點(diǎn)評：本題為含參函數(shù)的零點(diǎn)問題，解決這類問題的常用方法是分離參數(shù)之后轉(zhuǎn)化為等式兩邊的函數(shù)圖像是否有交點(diǎn)問題，因此準(zhǔn)確的作圖至關(guān)重要.但考生在用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)圖像的變化趨勢時(shí)，通常只關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性與極值，而對函數(shù)圖像是否存在漸近線意識淡薄，因而常常造成作圖錯(cuò)誤.本題中函數(shù)g（x）在x=0處沒有定義，考生通常僅將此點(diǎn)在函數(shù)圖像上“挖空”，表示函數(shù)圖像在此處“中斷”，而不會意識到x=0是函數(shù)圖像的漸近線.這是缺乏極限意識的表現(xiàn).因此，要糾正上述錯(cuò)誤，須樹立極限意識，即在探明函數(shù)單調(diào)性之后，還要對單調(diào)區(qū)間兩端的“斷點(diǎn)”處分別求極限，以了解函數(shù)圖像的走勢與范圍，如此方可給圖像以相對準(zhǔn)確的定位，避免作圖的隨意性.

2. 定義域擴(kuò)大或縮小引起的錯(cuò)誤

例4. 設(shè)t>0，求點(diǎn)A（+，-）與點(diǎn)B（-1， 0）之間距離的最小值.

解析：由點(diǎn)A（+，-）可知點(diǎn)A的軌跡為x2-y2=4，如圖4所示，可知|AB|的最小值為1.其實(shí)這是錯(cuò)誤的，原因就是忽視了變的量取值范圍，由t>0知x≥2，正確的圖像應(yīng)該是圖5的右圖，可知其最小值為3.

點(diǎn)評：定義域是一個(gè)變量的最大范圍，如果不注意轉(zhuǎn)化過程是否是等價(jià)的過程，那么變量的定義域就有可能擴(kuò)大或縮小了，這樣，畫出來的圖像就會多出一部分或者少了一角，而根據(jù)這樣有誤差的圖像，做出來的結(jié)果是會不準(zhǔn)確的，那就是白做了這道題，所以注意轉(zhuǎn)化過程要等價(jià)是關(guān)鍵的.不論是否注意到轉(zhuǎn)化過程要等價(jià)，我們最好能做好一道題，就再用另外一種方法驗(yàn)證一下所得到的答案是否準(zhǔn)確，這樣才會有信心地保證做完一題就一定正確.

3.“無中生有” 引起的錯(cuò)誤

例5. 若圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

錯(cuò)解：由于圓的半徑為2，當(dāng)圓與拋物線外切時(shí)，a=-2，于是，a<-2時(shí)，圓與拋物線沒有公共點(diǎn).

當(dāng)圓與拋物線內(nèi)切時(shí)，由

（x-a）2+y2=4，y2=6x，得：

x2-（2a-6）x+a2-4=0… ①

=（2a-6）2-4（a2-4）=0，解得a=. 所以a<-2或a≥.

剖析：把a(bǔ)=代入方程①得3x2+5x+=0，此時(shí)，解為x=-是負(fù)根，顯然， 圓與拋物線不能內(nèi)切. 所以圓內(nèi)切于拋物線的情況根本不存在，圖中圓內(nèi)切于拋物線是虛構(gòu)的.

因此，對x<0，可以用圖形幫助解決（如圖6），而對x≥0，則需要用計(jì)算的方法.

當(dāng)x≥0時(shí)，本題等價(jià)于圓心（a，0）到拋物線的距離d的最小值大于2，求a的取值范圍.

d2=（x-a）2+y2=（x-a）2+6x=x2-（2a-6）x+a2=[x-（a-3）]2+6a-9. 設(shè)f（x）=[x-（a-3）]2+6a-9，（x≥0）.

當(dāng)a-3>0，即a>3時(shí)，f（a-3）最小，所以dmin=>2，解得a>，考慮到a>3，所以a>3.

當(dāng)a-3≤0即a≤3時(shí)，f（0）最小，所以dmin=a>2，此時(shí)為2

綜合以上，得a>2.

于是， 圓（x-a）2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為a<-2或a>2.

4. 漏掉了一些可能的情形引起的錯(cuò)誤

例6. 已知關(guān)于x ，y 的方程組+=1，y=x2-c2，（a>b>0，c>0）有四組實(shí)數(shù)解，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系.

錯(cuò)解：原方程組有四組解等價(jià)于橢圓與拋物線有四個(gè)不同的公共點(diǎn).如圖7可知，-c2<-b，且c

剖析：觀察圖像過于草率！事實(shí)上，上圖8也是一種可能的情形，即當(dāng)c2≥a時(shí)，仍有可能為四組解，例如當(dāng)a=2， b=1，c=2時(shí)，可得解集為：{（2，0），（-2，0），（，-），（-，-）}.現(xiàn)在用數(shù)形結(jié)合來求解：考慮一元二次方程+=1，即a2y2+b2y+b2（c2-a2），令△=0（即相切情形），解得c=，結(jié)合圖像，注意到-c2<-b，則a、b、c應(yīng)滿足的關(guān)系是

例7. 求曲線f（x）=-x2+3x過點(diǎn)A（2，-2）的切線方程.

錯(cuò)解：∵點(diǎn)A在曲線f（x）=-x2+3x上，且f′（x）=-3x2+3，∴ f（2）=-9.

故所求切線方程為y+2=-9（x-2），即9x+y-16=0.

正解：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），

∵f′（x）=-3x2+3，

∴在點(diǎn)P處的切線方程為y-y0=（3-3x02）（x-x0）.

又切線過點(diǎn)A，

∴ -2-（3x0-x03）=（3-3x02）（2-x0），

整理得x03-3x02+4=0，即（x0+1）（x0-2）2=0，

∴x0=-1或x0=2.

當(dāng)x0=-1時(shí)，切線經(jīng)過點(diǎn)P（-1，-2）和A（2，-2），切線方程為y=-2；當(dāng)x0=2時(shí)，切線方程為9x+y-16=0.

剖析：本題遺漏了y=2這條切線，失誤的原因是把過點(diǎn)A的切線理解成在點(diǎn)A處曲線的切線.曲線在點(diǎn)A處的切線指的是切點(diǎn)在點(diǎn)A處的切線，而過點(diǎn)A的切線除了切點(diǎn)在點(diǎn)A處的曲線切線還可能存在切點(diǎn)不在點(diǎn)A處而經(jīng)過點(diǎn)A的切線，兩者是有區(qū)別的.因此，解題時(shí)必須理清頭緒，分清這兩個(gè)易混淆的概念.其實(shí)，“曲線在某點(diǎn)處的切線”不是“過曲線上某點(diǎn)的切線”充分必要條件，而是必要不充分條件.

5. 證明問題時(shí)邏輯循環(huán)引起的錯(cuò)誤

“形”并不能作為證明的依據(jù)，遇到證明題時(shí)，在幾何直觀分析的同時(shí)，還要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言寫出證明過程的理論依據(jù)，這樣才算做好證明題.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，“形”只是一種手段，一個(gè)工具，而不是理論依據(jù).不論是怎么樣的題目，“形”只是我們思考問題的種方式，為解題提供一些幫助，但我們都要寫出我們做這道題的理論依據(jù)，這樣才會讓人知道你不是直接從圖像中看出來的或者是猜測得到的，這樣才有說服力，有是有效的.

例8. 已知函數(shù)f（x）=x2，x∈[0，+∞）， 若x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2， 證明：>f（） .

錯(cuò)解：不少考生這樣做：畫出函數(shù)f（x）=x2，x∈[0，+∞）的圖像，如圖9，取點(diǎn)A（x1，f（x1））， B（x2，f（x2））， C（，f（））.顯然弦AB在弧AB上方，所以弦AB的中點(diǎn)的高度大于C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得證 > f（）.

剖析：這里要證明的不等式，正是凹函數(shù)的定義，用凹函數(shù)的直觀圖形來證明不等式成立是一個(gè)邏輯循環(huán)，自己來證明自己.其實(shí)，用作差法即可證明.本題的定義域可改為全體實(shí)數(shù)也成立.

總之，數(shù)形結(jié)合的確是一個(gè)非常好，也非常實(shí)用而且重要的思想方法，應(yīng)用性強(qiáng).但它又是一把雙刃劍，有誘惑也有陷阱.因此，我們在運(yùn)用時(shí)，要注意利用“數(shù)”的精確性，注意數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，注意圖形的全面性，在直觀的同時(shí)，輔有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[.

你來做做：

1. y=sinx與y=tanx，x∈（-，）的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

2. 方程=2sinx的解的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè)

3.（2013北京卷，理科8）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足x0-2y0=2，求得m的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-） B. （-∞，） C. （-∞，-） D. （-∞，-）

4. 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)不等式（x-1）2

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關(guān)于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

你來做做參考答案：

1. 注意當(dāng)∈（0，）時(shí)，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學(xué)觀察圖像（圖10），得出有7個(gè)交點(diǎn)，實(shí)際上，觀察得不夠仔細(xì)，因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，=2，而當(dāng)x=<8時(shí)，2sinx=2，所以點(diǎn)（x，2）不是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，故在[2，3]上， 兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，而不是一個(gè)交點(diǎn)，因此，方程=2sinx的解的個(gè)數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內(nèi)包含直線y=x-1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設(shè)y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當(dāng)0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時(shí)成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→-∞；當(dāng)時(shí)x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當(dāng)a=或a≤0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

（作者單位：福建省永定縣城關(guān)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關(guān)于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

你來做做參考答案：

1. 注意當(dāng)∈（0，）時(shí)，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學(xué)觀察圖像（圖10），得出有7個(gè)交點(diǎn)，實(shí)際上，觀察得不夠仔細(xì)，因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，=2，而當(dāng)x=<8時(shí)，2sinx=2，所以點(diǎn)（x，2）不是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，故在[2，3]上， 兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，而不是一個(gè)交點(diǎn)，因此，方程=2sinx的解的個(gè)數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內(nèi)包含直線y=x-1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設(shè)y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當(dāng)0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時(shí)成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→-∞；當(dāng)時(shí)x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當(dāng)a=或a≤0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

（作者單位：福建省永定縣城關(guān)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

A. [2，+∞） B. （1，2） C. （1，2] D. （0，1）

5.（2013朝陽一模）函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x）. 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x.若在區(qū)間[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

6. （2013年濱州一模理）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log（x+1），x∈[0，1）1-|x-3|，x∈[1，+∞）則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

7. 若關(guān)于x的方程x2-2kx-3k=0的兩根都在1與3之間，求k的取值范圍？

8. （2013年高考·江蘇卷，理26題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax， g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

你來做做參考答案：

1. 注意當(dāng)∈（0，）時(shí)，有sin<

2. 由于|2sinx|≤2，而||≤2，則-8≤x≤8，因此，只需畫出[-3，3]的圖像即可.

有的同學(xué)觀察圖像（圖10），得出有7個(gè)交點(diǎn)，實(shí)際上，觀察得不夠仔細(xì)，因?yàn)楫?dāng)x=8時(shí)，=2，而當(dāng)x=<8時(shí)，2sinx=2，所以點(diǎn)（x，2）不是兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，故在[2，3]上， 兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，而不是一個(gè)交點(diǎn)，因此，方程=2sinx的解的個(gè)數(shù)為9而不是7.選D.

3. 如圖11，要使可行域存在，必有m<-2m+1，要求可行域內(nèi)包含直線y=x-1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（-m，1-2m）在直線y=x-1上方，且（-m，m）在直線y=x-1下方，解不等式組m<1-2m，1-2m>-m-1m<-m-1，，得m<-.

選C.

4. B.

5. 由f（x+2）=f（x）得函數(shù)的周期是2.由ax+2a-f（x）=0得f（x）=ax+2a，設(shè)y=f（x），y=ax+2a，作出函數(shù)y=f（x），y=ax+2a的圖像，如圖12，要使方程ax+2a-f（x）=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線y=ax+2a=a（x+2）的斜率滿足kAH

6. 作出函數(shù)f（x）的圖像，如圖13，當(dāng)0

7. 令f（x）=x2+2kx-3k，如圖14所示，其圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解，要使兩根都在1，3之間，只需f（1）>0， f（3）>0， f（）=f（-k）<0，1<-k<3同時(shí)成立，解得-3

8.由題意，g′（x）=ex-a≥0對一切x∈（-1，+∞）恒成立，所以a≤（ex）min=.令f（x）=0并分離參數(shù)得a=，令h（x）=，則h′（x）=，易知函數(shù)h（x）在（0，e）單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，在x=e處有極大值h（e）=.又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→-∞；當(dāng)時(shí)x→+∞，h（x）→0，即直線x=0和y=0（即x軸）是函數(shù)g（x）的兩條漸近線，所以g（x）的大致圖像如圖15.觀察圖像即知：當(dāng)a=或a≤0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)0

（作者單位：福建省永定縣城關(guān)中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)