微元法的易錯例析

陳亮

微元法是解決高中物理運動學經常用到的方法，很多老師只在推到基礎公式時使用微元法，而在具體問題中，并不深入討論，因此許多學生感覺難以掌握。下面我們通過兩道運動學問題，弄清楚利用微元法處理圖像問題時的思路，并避免學生們出現由于對微元法的理解不深入而發生的一些錯誤。

問題一：

螞蟻離開洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點處時，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續由A點爬到距穴中心2m的B點需要多長的時間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時需要用到等差數列的求和公式，對學生的數學能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養學生思維的連續性，使其對問題的理解更加深入。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時，將AB段分成n段，每段長為ΔL =

當n取無限大時，ΔL取無限小，可以認為每段的瞬時速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因為n趨近于無窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時對學生將物理模型轉化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡單。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時間，代入數據：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯分析，在利用上述方法處理圖像問題時，橫縱坐標分別用什么來表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問題按如下步驟解決，我們來看一下：

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因為v和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標發生了變化，結果卻不一致，其中一定有錯誤出現，仔細研究后不難發現，圖像法也是利用無限微分的原理來解決問題的，第一個圖像中，將AB之間分成無限份之后累加起來，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說，第二個圖像的橫縱坐標的表示方法是錯誤的，所以第二個圖像所得的結果是錯誤的。

無獨有偶，我們再來求解這樣一個問題，與上述題目非常相似，來看一下：

問題二：

一只蝸牛從地面上開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時間。

這個問題與上面問題的不同之處在于，V與L不再成反比關系，較上個問題解決起來，看似變得更加復雜，我們來看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因為蝸牛的速度是變化的，所以在蝸牛運動中，

v = = ，

dt =

對上兩邊同時積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因為蝸牛運動時間是由每一小段時間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數據得：

t=15s

處理上面問題時，我們可以將v =轉化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關系，如果使用作圖法來處理上述問題，就會發上如問題一出現的情況，使答案中出現不容易發現錯誤。

通過以上兩個題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運動問題的時候，會使問題變得簡單，但是其本質上是用微元法通過面積累加來求解時間，一定要注意，是否可以利用無限微分累加求和的方法來對橫坐標進行求和，若不能，則解出來的答案就會發生這種不容易察覺到的錯誤。

（作者單位：珠海市斗門區第一中學）

責任編校 李平安endprint

微元法是解決高中物理運動學經常用到的方法，很多老師只在推到基礎公式時使用微元法，而在具體問題中，并不深入討論，因此許多學生感覺難以掌握。下面我們通過兩道運動學問題，弄清楚利用微元法處理圖像問題時的思路，并避免學生們出現由于對微元法的理解不深入而發生的一些錯誤。

問題一：

螞蟻離開洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點處時，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續由A點爬到距穴中心2m的B點需要多長的時間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時需要用到等差數列的求和公式，對學生的數學能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養學生思維的連續性，使其對問題的理解更加深入。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時，將AB段分成n段，每段長為ΔL =

當n取無限大時，ΔL取無限小，可以認為每段的瞬時速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因為n趨近于無窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時對學生將物理模型轉化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡單。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時間，代入數據：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯分析，在利用上述方法處理圖像問題時，橫縱坐標分別用什么來表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問題按如下步驟解決，我們來看一下：

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因為v和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標發生了變化，結果卻不一致，其中一定有錯誤出現，仔細研究后不難發現，圖像法也是利用無限微分的原理來解決問題的，第一個圖像中，將AB之間分成無限份之后累加起來，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說，第二個圖像的橫縱坐標的表示方法是錯誤的，所以第二個圖像所得的結果是錯誤的。

無獨有偶，我們再來求解這樣一個問題，與上述題目非常相似，來看一下：

問題二：

一只蝸牛從地面上開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時間。

這個問題與上面問題的不同之處在于，V與L不再成反比關系，較上個問題解決起來，看似變得更加復雜，我們來看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因為蝸牛的速度是變化的，所以在蝸牛運動中，

v = = ，

dt =

對上兩邊同時積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因為蝸牛運動時間是由每一小段時間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數據得：

t=15s

處理上面問題時，我們可以將v =轉化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關系，如果使用作圖法來處理上述問題，就會發上如問題一出現的情況，使答案中出現不容易發現錯誤。

通過以上兩個題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運動問題的時候，會使問題變得簡單，但是其本質上是用微元法通過面積累加來求解時間，一定要注意，是否可以利用無限微分累加求和的方法來對橫坐標進行求和，若不能，則解出來的答案就會發生這種不容易察覺到的錯誤。

（作者單位：珠海市斗門區第一中學）

責任編校 李平安endprint

微元法是解決高中物理運動學經常用到的方法，很多老師只在推到基礎公式時使用微元法，而在具體問題中，并不深入討論，因此許多學生感覺難以掌握。下面我們通過兩道運動學問題，弄清楚利用微元法處理圖像問題時的思路，并避免學生們出現由于對微元法的理解不深入而發生的一些錯誤。

問題一：

螞蟻離開洞穴沿直線爬行，它的速度與到蟻穴中心的距離成反比，當螞蟻爬到距穴中心L1=1m的A點處時，速度是v1=2cm/s.試求螞蟻繼續由A點爬到距穴中心2m的B點需要多長的時間？

第一種解法：微元法，這種方法處理時需要用到等差數列的求和公式，對學生的數學能力提出一定的要求，但是這種解法，能培養學生思維的連續性，使其對問題的理解更加深入。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

螞蟻由A爬到B時，將AB段分成n段，每段長為ΔL =

當n取無限大時，ΔL取無限小，可以認為每段的瞬時速度等于平均速度

在第i段路程，vi =

所以ti == 50ΔL（1+iΔL）

解得t總= Σti = Σ50ΔL（1+iΔL） = 50ΣΔL（1+iΔL）

=

將ΔL = 代入上式，

得t總 =

因為n趨近于無窮大，所以t總 = 75s

第二種解法：圖像法，這種方法處理時對學生將物理模型轉化成圖像的能力有比較高的要求，但是圖像法處理問題更加直觀、有效，題目的處理也變得簡單。

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

可以看到，L和 成正比，以1/v為縱軸，以L為橫軸，作圖1：

圖中陰影部分的面積即為所求的時間，代入數據：

t總 = S ==s = 75s

圖像法易錯分析，在利用上述方法處理圖像問題時，橫縱坐標分別用什么來表示什么物理量非常重要，一定要慎重選擇，若此問題按如下步驟解決，我們來看一下：

解析：因為螞蟻的速度與到蟻穴中心的距離成反比，設比例系數為k，所以v =

代入數據L1=1m， v1=2cm/s得：v =

因為v和成正比，以v為縱軸，以1/L為橫軸，作圖：

如圖2所示，陰影中的面積應為

即= s

解得t = s

我們注意到，同樣是圖像法，只是橫縱坐標發生了變化，結果卻不一致，其中一定有錯誤出現，仔細研究后不難發現，圖像法也是利用無限微分的原理來解決問題的，第一個圖像中，將AB之間分成無限份之后累加起來，即：L1+L2+L3+……+Ln=L，而在第二個圖像中，+++……+≠，即微分法不能成立，也就是說，第二個圖像的橫縱坐標的表示方法是錯誤的，所以第二個圖像所得的結果是錯誤的。

無獨有偶，我們再來求解這樣一個問題，與上述題目非常相似，來看一下：

問題二：

一只蝸牛從地面上開始沿豎直電桿上爬，它上爬的速度與它離地面的高度之間滿足的關系是v = ，其中L=20cm，v0=2cm/s，求它上爬20cm所用時間。

這個問題與上面問題的不同之處在于，V與L不再成反比關系，較上個問題解決起來，看似變得更加復雜，我們來看一下它的解法。

第一種解法：微元法：

解析：因為蝸牛的速度是變化的，所以在蝸牛運動中，

v = = ，

dt =

對上兩邊同時積分得：

T =

將L=20cm，v0=2cm/s，h=20cm代入得

t = 15s

第二種解法：圖像法：

解析：因為蝸牛運動時間是由每一小段時間Δt=Δh/v，累加而成，即t=ΣΔh/v，故可以建立1/v-h圖：

由v = ，得 =

T =

代入數據得：

t=15s

處理上面問題時，我們可以將v =轉化為：= ，可以看到，1/h與v不成反比關系，如果使用作圖法來處理上述問題，就會發上如問題一出現的情況，使答案中出現不容易發現錯誤。

通過以上兩個題目的分析可知，在使用作圖法解決非勻變速直線運動問題的時候，會使問題變得簡單，但是其本質上是用微元法通過面積累加來求解時間，一定要注意，是否可以利用無限微分累加求和的方法來對橫坐標進行求和，若不能，則解出來的答案就會發生這種不容易察覺到的錯誤。

（作者單位：珠海市斗門區第一中學）

責任編校 李平安endprint