洛倫茲變換物理模型的建立與光傳播路徑及超光速探討

李嘉，李琳，張勇軍，李欽豪，明宗峰

（1.華南理工大學學報編輯部；2.華南理工大學輕工與食品學院；3.華南理工大學電力學院；4.華南理工大學數學學院，廣東廣州510640）

洛倫茲變換物理模型的建立與光傳播路徑及超光速探討

李嘉1，李琳2，張勇軍3，李欽豪3，明宗峰4

（1.華南理工大學學報編輯部；2.華南理工大學輕工與食品學院；3.華南理工大學電力學院；4.華南理工大學數學學院，廣東廣州510640）

對體現“真空中光沿各個方向傳播的速率都等同于一個常量c”的洛倫茲變換公式，通過球面參數方程并與阿基米德螺線旋轉面方程比對，分析了洛倫茲變換公式所表達的實質物理模型與物理意義，得出如下結論：（1）當參數方程角度參數與角速度和時間無關時，洛倫茲變換物理模型表現為從原點出發沿x,y,z軸的射線，xz平面內或過y軸并與x軸成一夾角的圓的橫向均勻擴散，圓錐面擴散，球面擴散幾種型式；當參數方程角度參數與角速度和時間相關時，洛倫茲變換物理模型表現為圓錐螺線，阿基米德螺線面和阿基米德螺線旋轉面形式；（2）洛倫茲變換方程本身隱含“時空彎曲”，由洛倫茲變換參數方程物理模型得出光是線、面、體擴散傳播和平面、立體螺線傳播；（3）理論上能找到超光速運動的粒子.

洛倫茲變換；物理模型；阿基米德螺線；光的傳播路徑；超光速

愛因斯坦廣義相對論基于狹義相對論［1-2］，運用高斯四維坐標，將時間作為一個維度，并結合牛頓定律提出來的理論，是牛頓引力定律的相對論推廣.1905年，愛因斯坦提出兩條基本假設，并在此基礎上建立狹義相對論.愛因斯坦兩條基本假設為：（1）狹義相對論的相對性原理，即在所有慣性系中物理定律及其數學表達式都應相同；（2）光速不變原理，即所有慣性系中，真空中光沿各個方向傳播的速率都等同于一個常量c，與光源和觀察者的運動狀態無關［3］.

愛因斯坦根據相對性原理和光速不變原理得到了能同時滿足這兩條準則的變換，一般稱為洛倫茲變換.狹義相對論假設“真空中光沿各個方向傳播的速率都等同于一個常量c”和洛倫茲變換已被寫入教科書［3］，不過目前沒有見到洛倫茲變換物理模型的報道.

筆者對相對論假設之洛倫茲變換推導公式，列出球面參數方程，分析了洛倫茲變換公式所表達的本質物理模型與物理意義，按不同角度參數，得出10種物理模型并以圖示說明洛倫茲變換公式隱涵表達了“時空彎曲”和光的7種傳播路徑型態，通過對運動方程求導，得出理論上粒子能以超光速運動的結論.

1 洛倫茲變換物理模型的建立

1.1 洛倫茲變換的簡單推導

洛倫茲變換的簡單推導眾所周知，參照文獻［2］首先考察位于x軸上的事件.這樣一個事件相對于坐標系K由橫坐標x和時間t給出，相對于坐標系K′則由橫坐標x′和時間t′給出.

沿正x軸前進的一個光信號的傳播遵循方程

由于同一光信號相對于K′以速度c傳播，因此相對于K′的傳播將由類似的公式

來描述.滿足（1）的那些空時點（事件）必須也滿足（2）.這顯然是成立的，只要關系

被滿足，其中λ是一個常數；因為根據（3），x-ct等于零時，x′-ct′必然也為零.

在文獻［2］中，將方程（3）和（4）相加和相減，經過一系列推導，得到對于x軸上事件的洛倫茲變換，

它滿足條件

或者兩邊取平方，遵循方程

光的傳播定律結合相對性公設要求，信號傳播（從K′判斷）應遵循相應的公式r′=ct′或

為使方程（9）能由方程（8）推出，必須有

由于方程（6）對于x軸上的點必須成立，因此必須有σ=1.不難看出，對于σ=1，洛倫茲變換確定滿足（10）；因為（10）可由（6）和（7）推出，因此也可由（5）和（7）推出.這樣就導出了洛倫茲變換.

由（5）和（7）表示的洛倫茲變換還需要加以推廣.是否要把K′的軸選得與K的軸在空間中平行顯然是無關緊要的.K′相對于K的平移速度是否沿x軸方向也是無關緊要的.我們可以用數學方向對這種推廣的洛倫茲變換作以下描述：

并被恒等地滿足.

1.2 洛倫茲變換參數方程

建立如圖1所示坐標系.

為把這個結果推廣到x軸之外發生的事件，只要補充關系式

這樣一來，無論對于坐標系K還是坐標系K′，我們都滿足了任意方向的光線在真空中速度恒定的公設.這一點可以證明如下.

設時間t=0，從坐標系K的原點發出一個光信號.其傳播遵循方程

根據洛倫茲變換公式(8)和式(9),建立球面參數方程如下：

式中，a為坐標系K中點（x,y,z）在xy平面投影與y軸的夾角，b為點（x,y,z）在xz平面投影與x軸的夾角；a′、b′在坐標系K′內，意義類推.

顯而易見，公式（12），（13）滿足公式(8)和式(9).

1.3 阿基米德螺線旋轉面的構建

以x軸為水平坐標軸，以xy平面為水平面，以z軸為縱軸建立坐標系.先構建xz平面的阿基米德螺線（14），圖線如圖2所示.

圖1 洛倫茲變換參數方程坐標系K

圖2 方程（14）的阿基米德螺線圖

由式（14）可知，

將圖線（15）繞x軸旋轉，即得到阿基米德螺線旋轉面為

式中，12π/180表示旋轉線速度.

1.4 洛倫茲變換物理模型與阿基米德螺線旋轉面比對及討論

比對公式(8)，(12)和(16)可知，式(12)為式(8)的參數方程.式(8)與式(16)的區別在于線速度不同，將式(16)中的換為c,即可得到洛倫茲變換式.因此當參數角度與時間、與角速度相關時，洛倫茲變換物理模型可以是阿基米德螺線旋轉面.下面分幾種情況討論洛倫茲變換物理模型.

1.4.1 角度參數a,b與角速度和時間無關

（1）當a=k1π(k1=0,1,2,…)時.

模型1：當a=k1π(k1=0,1,2,…)時，sin a=0,cos a=±1,此時，式（12）變為

物理模型為y軸上隨時間勻速運動的一條射線，如圖3(a)所示.

圖3 角度參數a,b與角速度和時間無關時的洛倫茲變換物理模型

（2）當a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)時，sin a=±1,cos a=0,此時，式（12）變為

模型2：當a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b=k2π(k2=0,1,2,…)時，式（18）變為

物理模型為x軸上隨時間勻速運動的一條射線.

模型3：當a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b=π/2+k2π(k2=0,1,2,…)時，式（18）變為

物理模型為z軸上隨時間勻速運動的一條射線.

模型4：若a=π/2+k1π(k1=0,1,2,…)，b≠π/2+k2π，k2π，模型（18）為一個以原心為起點，向四周均勻擴散的圓平面，如圖3(b)所示.物理模型為向四周均勻擴散的圓平面.

（3）當a為常數，且a≠π/2+k1π，k1π.

模型5：當a為常數，且a≠π/2+k1π，k1π，式（12）表示從原點開始，沿y軸均勻擴散的圓錐面，如圖3(c)所示.物理模型為向四周均勻擴散的圓錐面.

（4）當b為常數.

模型6：當b為常數時，物理模型表示含極徑的平面均勻擴散，式（12）表示的物理模型如圖3(d)所示.過y軸并與x軸成一夾角b角的圓平面.

（5）當a≠π/2+k1π，k1π，b≠π/2+k2π，k2π，a、b均不為常數時.

模型7：若a≠π/2+k1π，k1π，b≠π/2+k2π，k2π，a、b均不為常數時，式（12）表示的物理模型是從圓心向四周均勻擴散的球面.如圖3(e)所示.

1.4.2 角度參數a,b與角速度和時間相關

(1)當a=ω1t,b=ω2t時.

模型8：當a=ω1t,b=ω2t時，式（12）變為

圖4 式（16）阿基米德螺線旋轉面(t=［0,60］)

(2)當a與ω、t無關時,b=ω2t時.

模型9：當a與ω、t無關時,b=ω2t時，式（12）變為

圖5 阿基米德螺線沿圓錐面旋轉的圓錐螺線(t=［0,60］)

(3)當a=ω1t,b與ω、t無關時.

模型10：當a=ω1t,b與ω、t無關時,式（12）變為

物理模型為過y軸并與x軸成一夾角b角的阿基米德螺線面.將c換成設ω1=2π,b=π/6,阿基米德螺線面三維計算機模擬圖如圖6所示.

圖6 與x軸成一夾角b角的阿基米德螺線面(t=［0,60］)

綜上所述，當角度參數變化時，洛倫茲變換物理模型能呈現10種形態.由于洛倫茲變換式（8）基于“真空中光沿各個方向傳播的速率都等同于一個常量c”的假設.由此，洛倫茲變換物理模型實際體現的是10種光的傳播路徑.按形狀分，光的傳播路徑可以歸納為射線型、圓平面橫向擴散圓型、圓平面縱向擴散圓錐型、擴散球型、圓錐螺線型、阿基米德螺線面型和阿基米德螺線旋轉面型7種.

2 光的傳播路徑新探討

2.1 洛倫茲變換方程本身隱含“時空彎曲”

洛倫茲變換首先從x=ct出發進行推導，擴展到三維直角坐標x2+y2+z2=c2t2，而由第1.4.1節的分析可知，x=ct是洛倫茲變換物理模型y=0,z=0時的特例，而x2+y2+z2=c2t2實際上表現的是光線與時空相關的立體曲線傳播.

2.2基本假設與光的傳播路徑多樣性

由第1節的分析可知，由體現基本假設的洛倫茲變換參數方程物理模型得出光是線、面、體擴散傳播和平面、立體螺線傳播.

3 理論上粒子的超光速運動探討

當角度參數a,b與ω，t無關時，將式（12）對t求導，經計算得到粒子按模型1-7運動時的速度v1-v7，

當角度參數a,b與ω，t有關時，將式（12）對t求導，并對式（21）、（22）、（23）3式分別取特殊參數①ω1=ω2=2π，②a=π/6,ω2=2π，③ω1=2π,b=π/6(特殊參數與圖4,5,6取值對應)，得到粒子按模型8,9,10運動時的特殊速度：

因此，從理論上能找到超光速運動的粒子.

4 結論

筆者對體現真空中光沿各個方向傳播的速率都等同于一個常量c的洛倫茲變換公式，列出球面參數方程，并與阿基米德螺線旋轉面方程比對，分析了洛倫茲變換公式所表達的實質物理模型與物理意義，得出如下結論：（1）當參數方程角度參數與角速度和時間無關時，洛倫茲變換物理模型表現為從原點出發沿x,y,z軸的射線，xz平面內或過y軸并與x軸成一夾角的圓的橫向均勻擴散，圓錐面擴散，球面擴散幾種型式；當參數方程角度參數與角速度和時間相關時，洛倫茲變換物理模型表現為圓錐螺線，阿基米德螺線面和阿基米德螺線旋轉面型式；（2）洛倫茲變換方程本身隱含“時空彎曲”，由洛倫茲變換參數方程物理模型得出光是線、面、體擴散傳播和平面、立體螺線傳播；（3）理論上能找到超光速運動的粒子.

致謝：感謝華南理工大學物理系文德華教授參與討論.

［1］阿爾伯特.愛因斯坦.相對論［M］.南京：江蘇人民出版社，2013.

［2］阿爾伯特.愛因斯坦.狹義與廣義相對論淺說［M］.北京：商務印書館，2013.

［3］萬雄，余達祥.大學物理：上冊［M］.北京：科學出版社，2012.

On the establishment of Lorentz transformation model and the light propagation path and superluminal

LI Jia1，LI Lin2，ZHANG Yong-jun3，Li Qing-hao3，Ming Zong-feng4
（1.Editorial Department,Journal of South China University of Technology,2.School of Light Zndustry and Food Sciences,South China University of Teehnology;3.School of Electricity,South China University of Technology;4.Department of Mathematics,South China University of Technology, Guangzhou 510640,Guangdong,China)

The thesis will explain Lorentz transformation formula that the speed of light in all directions equals to a constant c in vacuum,display spherical parameter equation and contrast it with Archimedean spiral equation of surface of revolution,and then analyze the essential physical model and physical significance in Lorentz transformation equation.The main findings are as follows:a)when the angle parameter of parametric equation has no concern with angular speed and time,Lorentz transformation model manifests itself as half-line which starts from the origin and is along x,y,z axis,or other types like transverse homogeneous diffusion of a circle,which are in xz plane,or across y axis and makes an angle with x axis，diffusion of a circular conical surface and a spherical surface;and when the angle parameter of parametric equation is concerned with angular speed and time,Lorentz transformation model manifests itself as circular conical spiral，Archimedean spiral plane and Archimedean revolution surface;b)Lorentz transformation equation implies“curved space-time”, thus the parametric equation model results in that light is linear,plane,stereo and spiral spread;c)We can find superluminal movement of the particles.

Lorentz transformation;physical model;Archimedean spiral;light propagation path;superluminal

O412.1;O431

：A

：1007-5348（2014）10-0023-06

（責任編輯：李婉）

2014-05-21

李嘉（1974-），女，湖北荊州人，華南理工大學學報編輯部副編審，主要從事物理學和編輯學研究.