一類行程問題的解法

張青

【中圖分類號】O1

1 提出的問題

設一條狗與主人在岸邊隔河相對，河水以常速流動。狗在靜水中每小時2千米的速度向對岸游去，在全部游程中狗一直朝著主人的方向流動，如果狗游到河寬三分之二的地方才停止向下游漂流， 又狗游過河的時間比靜水中過河多用5分鐘， 問河寬為多少？

2 問題的分析

首先建立坐標系，設法求出狗游動曲線的方程；其次，方程與河水流速有關，利用“游到河寬三分之二處停止向下游漂流”應該可以確定河水的流速；最后，利用積分可求出狗實際過河的所用時間，考慮到“多用5分鐘”及狗在靜水中的游速，河寬則不難得出.。下面分三步求解。

3 問題的解法

取狗的最初位置為原點，從狗引向主人的直線作軸，沿河向下游的方向為軸正向，建立坐標系，設河寬為，河水流速為u，狗的游動曲線為y=f（），并記曲線上點（，y）到點（，0）的直線與ox軸所夾的銳角.

首先，求y=f（x）的方程?？紤]狗游動時在沿x軸和y軸方向的分速度，有

（1）

令由（1）可得

（2）

在= 兩邊對求導，得

.

將（2）代入上式，整理可得

.

分離變量后兩邊積分得

即有

因為x=0時=0，從而代入上式知所以有

（3）

又 （4）

由得： ，

將代入公式，整理的狗流動曲線方程

. （5）

再求，河水的流速u. 由于狗在河寬三分之一處停止下漂，即（5）式的當

時有最大值，所以應有將（5）式對求導并令導數為零，有

，

將上式整理化簡得

.

將代入上式可求出或，舍去知河水流速為每小時1千米.

最后，求河寬，由（1）有

， .

將 （ 3 ） 與 （ 4 ） 相加的結果代入上式， 并注意到就有

.

對上式兩邊積分，得

.

將，代入知，所以

.

將代入上式得狗游過河所用的時間為. 因為比狗在靜水中過河的時間多5分鐘，即有

， （千米），

此時（小時），所以，河水流速為每小時1千米，狗20分鐘可游過河，河寬

為0.5千米。

參考文獻

[1] 同濟大學主編，高等數學（下冊）. 北京：高等教育出版社，第六版。

[2] 陳紀修主編，數學分析. 北京：高等教育出版社，第二版。