巧設主元另辟蹊徑

肖復興

摘要： 在高中數學學習中，對于一些代數式、函數、等式和不等式的問題中往往不止含有一個變量，如果按照常規方法，一般難以解決.很多學生對這種問題的處理感到陌生，難以有對策或解題過程比較復雜，學生懶于去操作.因此在數學教學中，教師若能適時地引導學生抓住問題的實質，靈活選取主元，把其中一個設為主元，其余各量視為“常量”，常能另辟蹊徑，事半功倍.

關鍵詞： 主元 ； 常量 ；動與靜

本文通過舉例就如何巧設主元，另辟蹊徑，談談自己的一些粗淺的看法：

一、用于解決一些與高次方程根有關的問題

例1.已知關于x的方x3-ax2-2ax+a2=0程有且只有一個實根，求a實數的取值范圍

分析：若以x為主元，則次數較高不易入手，現試以a為主元.

解：原方程可變形為a2-（x2+2x）a+x3-1=0

即[a-（x-1）][a-（x+x+1）]=0 ∴a=x-1或a=x2+x+1

∵方程有且只有一個實根∴a=x2+x+1即x2+x+1-a=0必須無實根

∴△=1-4（1-a）<0即a<〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗，即實數a的取值范圍a<〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗

變式：解關于x的方程2x4-7x3-3ax2+4ax+a2+3x2=0（a≥-〖SX（〗1〖〗8〖SX）〗）

分析：x的最高次數為4，直接入手不易求解，但常量a的最高次數是2，所以可以考慮以a為主元.

解：以a為主元，整理得a2+（4x-3x2）a+（2x4-7x3-3x2）=0

解之得a=x2-3x或a=2x2-x再解關于的方程，

得 ，x1，2=〖SX（〗3±〖KF（〗4a+9〖KF）〗〖〗2〖SX）〗，x3，4=〖SX（〗1±〖KF（〗8a+1〖KF）〗〖〗a〖SX）〗

二、證明不等式、等式方面的應用

例2.已知|a|<1，|b|<1，|c|<1求證：ab+bc+ac>-1

分析：若以a為主元，b，c看成一個常量，則可看成一個一次式，構造函數解題.

證明：令g（a）=（b+c）a+bc+1可以視g（a）為一個以自變量的一次函數

因此，要證ab+bc+ac>-1，只需要證明函數g（a）=（b+c）a+bc+1>0對a∈（-1，1）恒成立即可.

∵g（-1）=（b+c）×（-1）+bc+1=bc+1-b-c（1-b）（1-c）>0

同理可證得g（1）>0，由一次函數的特殊性知：g（a）在（-1，1）上恒有g（a）>0

即|a|<1時，有g（a）=（b+c）a+bc+1>0，則ab+bc+ac>-1命題得證.

例3.已知4sina-2cosβ﹣tanθ=0，cos2β

求證：4sina+tanθ=0

分析：若考慮已知兩式中消去cosβ，再化簡較為繁瑣.

由4=22，故可以構造一個二次方程.

證明：令x=2則4=x2 ∴4sina-2cosβ﹣tanθ=0可以變為x2sina-xcosβ﹣tanθ=0

（下面分類討論：）

若sina=0，則有cosβ=0，∴4sina+tanθ=0；

若sina≠0，則有△=cosβ+4sina·tanθ=0

則x1=x2=〖SX（〗cosβ〖〗2sina〖SX）〗=2，即cosβ=4sina，代入等式4sina-2sina-tanθ=0

即有4sina·tanθ=0 綜上，該命題4sina+tanθ=0成立.

三、求最值問題

例4.已知x，y∈R，求x2-xy+y2-2x+y的最小值

解：以x為主元

原式=[x2-（y+2x）+（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2+y2+y

=[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]+〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1

∵x，y∈R∴[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]≥0且〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1≥﹣1

∴[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]+〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1≥﹣1

即x2-xy+y2-2x+y的最小值為﹣1

四、求參數的取值范圍

例5.已知為正整數，當且僅當取什么值時，方程kx2-2（1-2k）x+4k-7=0的根中至少有一個為整數？

分析：按常規思路，先求出方程的根x=〖SX（〗1-2k±〖KF（〗1+3k〖KF）〗〖〗k〖SX）〗再對參數k分情況討論，找出滿足條件k的值.但由于搜索范圍很大，討論十分繁瑣.如果對換原方程中的x和k的地位，把k視為“主元”，用x來表示k，可簡化討論.

解：由原方程整理得（x+2）2k=2x+7，因為x=-2不適合原方程k=〖SX（〗2x+7〖〗（x+2）2〖SX）〗…………（1）

由于為正整數，有〖SX（〗2x+7〖〗（x+2）2〖SX）〗≥1即x2+2x-3≤0.解得-3≤x≤1

由此知x的整數值只可能是-3，-1，0，1.

故由（1）式只要討論四種情況：當x=-3時，k=1；當x=-1時，k=5；

當x=0時，k=〖SX（〗7〖〗4〖SX）〗；當x=1時，k=1.

因此，符合題意的k值是1或5

例6.設函數f（x）=x2+ax+〖SX（〗1〖〗x2〖SX）〗+〖SX（〗a〖〗x〖SX）〗+b（x≠0）， 若方程f（x）=0（a，b為實數）有實根，

試求a2+b2的最小值.

分析： 觀察可知， f（x）=x2+ax+〖SX（〗1〖〗x2〖SX）〗+〖SX（〗a〖〗x〖SX）〗+b=（x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗）2+a（x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗）+b-2

通過換元可將函數變形. 令t=x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗（|t|≥2），于是f（x）=g（t）=t2+at+b-2（|t|≥2）.

則方程f（x）=0（a，b為實數）有實根等價于方程g（t）=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有實根.

此時， 若直接以t為主元，函數g（t）=t2+at+b-2是二次函數，要求a2+b2的最小值，難以入手，于是a，b以為主元， 方程g（t）=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有實根，說明點A（a，b）在直線l：tx+y+t2-2=0（|t|≥2）上運動. 而a2+b2的幾何意義可以看作時直線l：tx+y+t2-2=0（|t|≥2）上點A（a，b）到原點O（0，0）的距離的平方，由|AO|≥do-l可得：〖KF（〗a2+b2〖KF）〗≥〖SX（〗t2-2〖〗〖KF（〗t2+1〖KF）〗〖SX）〗=〖KF（〗t2+1〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗 t2+1〖KF）〗〖SX）〗（|t|≥2），又h（t）=〖KF（〗t2+1〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗 t2+1〖KF）〗〖SX）〗在t2∈[4，∞]上遞增，

則〖KF（〗a2+b2〖KF）〗≥h（t）min=〖KF（〗5〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗5〖KF）〗〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗〖KF（〗5〖KF）〗〖SX）〗，故a2+b2的最小值為（〖SX（〗2〖〗〖KF（〗5〖KF）〗）〖SX）〗2.此時OA⊥l，且t=±2

綜上所述，適當地巧設主元是高中數學學習的一種常用的解題方法，這其實是化歸轉化思想的體現，與哲學中的“主要矛盾與次要矛盾”、“動與靜”的觀點相吻合.

參考文獻：

[1]《數學方法論與解題研究》 張雄 李得虎 編著高等教育出版社2003年8月

[2]《數學數學原理與方法》 柳柏濂 吳康編著廣東高等教育出版社 2002年7月

（作者單位：江西省于都中學 342300）