Privalov 定理的一個推廣

畢文姍，劉 華

(天津職業技術師范大學理學院，天津 300222)

Privalov 定理是幾何函數理論尤其是解析函數邊值問題研究方向的奠基性工作.經典的Privalov 定理［1］指對光滑簡單曲線Γ 上的H?lder指數為0 ＜μ ＜1 的連續函數f(t)，其Cauchy 積分

在Γ 上的正負邊值F+(t)、F－(t)均存在且屬于H?lder 空間Hμ(Γ).同時f(t)的奇異積分

也屬于Hμ(Γ)，或者換句話說，Hμ(Γ)是奇異積分算子的不變子空間.這在奇異積分方程理論的研究中是至關重要的.

現代數學和工程技術的發展，使得在研究解析函數邊值問題和奇異積分方程時需要擺脫H?lder 條件的束縛.如電磁場的邊界就可能很復雜［3］，即使在經典的材料力學的應用上，由于分子水平材料技術的興起，連續的邊界值理論已不夠用［4］.另外，奇異積分方程的擾動理論也不可避免地要用到非連續數據［5］.

本文就針對這些應用，嘗試把Privolov 理論推廣到不連續情況.實際上，Privalov 定理可以推廣到L2空間中［2］，但這個空間太大，在實際應用中不夠精細，力學中最重要的奇性分析就得不到.因此，作者需要尋找一類合適的空間來討論.

1 預備知識

記復平面的單位圓盤為D，其邊界?D 以逆時針為正方向，對f(t)∈Lp(?D)，其對應的分區解析函數和奇異積分變換如(1)、(2)所示.

帶權Besov 解析函數Bps空間是滿足

的D 上的解析函數的集合，其中1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜ 1.后文中用dAP，S(z)=(1－，即

對于f(t)∈LP(?D)，如果

則稱f ∈LP(?D)，其范數定義為

可以證明LPS(?D)是一個Banach 空間［6］.

LPS(?D)空間可以看作是H?lder 空間的某種完備化.實際上，設f(t )(?D)，S' ＜S，則

這里C 代表某個常數.這個記號在后文中用到的時候也是如此，即不同的常數都用C 表示而不作區分.

2 主要定理

先給出兩個引理:

引理1 設1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，F ∈A1(D)，limF(reiθ)對eiθ∈?D 幾乎處處存在.如果，則f ∈LPS.

由文獻［7］中的引理4.1 得證.

因為Besov 空間是Hardy 空間的子空間，所以Besov 函數在邊界的極限總是存在的，故引理1 指出Besov 空間BPS中函數的邊界值在空間LPS中.實際上，下面引理說明它反過來也是對的，即對任一個f ∈LP(?D)，存在ˉf ∈BPS，使得f 是ˉf的非切向邊值.

引理2 設1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，且f ∈LP(?D)，f ∈LPS，則

證明 設z=reiμ，則由文獻［1］引理1.3.2證明(即里面的zL=eiμ)有

由H?lder 不等式

再由(5)式得

由文獻［7］中(4.4)式

故(6)式和(7)式聯合給出

證畢.

本文的主要定理如下:

定理3 設1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，且f(t)∈LP(?D)∩LPS(?D)則F+(t)、F－(t)和SF(t)均在LP(?D)∩LPS(?D)中.

證明 由文獻［2］LP情形下的Privalov 定理，F+(t)、F－(t)及 SF(t)均 屬 于 空 間LP(D).又由引理2 知

再由引理1 得知F(z)的正邊值F+(t)∈LPS(D).

最后，由Plemelj 公式［2］有

都在空間LPS(?D)中.

3 結論

本文證明了在單位圓圈上作為H?lder 函數空間的某些推廣空間LPS是奇異積分算子的不變子空間.這樣的結論在常用的LP(R)空間以及Hilbert變換是不對的(那里只是兩個非平凡的無窮維不變子空間).本文的工作是把經典的解析函數邊值問題和奇異積分方程理論推廣到現代函數空間的準備.

［1］ 路見可.解析函數邊值問題教程［M］.武漢：武漢大學出版社，2009.

［2］ Mikhlin S G，Prossdorf S.Singular integral operators［M］.Berlin：Springer-verlag，1986.

［3］ Li X，Long Y Y，Shi P P.The thermal effect of antiplane crack in a functi-onally graded piezoelectric strip under electric shock［R］.The 13th International Conference on Fracture，June 16 -21，2013，Beijing.

［4］ Slobdrain R J，Rioux C，Piche M.A review of metallic fractal aggregates［J］.Open Journal of Metal，2011(1) ：17 -24.

［5］ Lin J，Du J Y.Stability of displacement to the second fundamental problem in plane elasticity［J］.Acta Math Sci，2014(34) ：125 -240.

［6］ EM.Singular integrals and differentiability properties of functions［M］.Princeton：Princeton University Press，1971.

［7］ Arcoggin N，Blasi D，Pau J.Interpolating sequences on analytic Basov type spaces［J］.Indiana Unvi Math J，2009，58(3) ：1281 -1317.