拓展型Horava 引力的解

陳希明，李樹晨

最近，一種Power －counting 可重整的紫外完整的引力理論被Horava 提出［1－4］.盡管該理論具有紅外固定點，即廣義相對論，然而在紫外波段該理論的固定點在時空中具有各向異性:xi→lxi，t →lzt，這里l，z，xi和t 分別是縮放因子、動力學的臨界指數、空間坐標和時間坐標.然而，最新的進展表明了由Horava 給出的作用量不具有一個良好的紅外行為.由于該理論違反全時空的微分同胚不變性，故在紅外時理論具有會產生一個額外的不穩定標量模，并會引起強耦合問題.根據Blas 等人的觀點［5］，這個數學模型的一些項似乎需要被修改從而來避免強耦合問題、不穩定問題、動力學不自洽問題和非物理的額外模.他們從低能角度出發討論了Horava 模型的自洽性.他們發現，額外的標量自由度明顯破壞了廣義協變性及其他相關特性.這個新模型的一個反常特征就是它滿足動力學方程的一階關系(對時間求導).在線性近似下這個額外的自由度只表現在非靜態空間下的不均勻背景中.他們發現了兩個跟這個模型相聯系的嚴重問題:首先，這個模型在短距離內表現出它的指數不穩定性的增長;其次，它在一個極端的低臨界尺度下變為強耦合.

最近，文獻［6］提出了一個新的Horava 引力的拓展理論，它是基于以下的3 個條件:(Ⅰ)紫外完備;(Ⅱ)良好的紅外行為，以及(Ⅲ)量子化后具有穩定的真空狀態.這個拓展的理論具有Power－counting 可重整性并且可以避免強耦合問題.

在文獻［8］中Lu 等人推導出了Horava 引力的動力學方程的完整形式，并且他們同時得到了靜態的球對稱的解.那么在現在的這篇論文中，我們希望從這個新版本的Horava －Lifshitz 引力的框架下得到靜態的球對稱解.

1 Horava 引力的整體框架

我們從文獻［6］中給出的作用量開始求解.

這里Kij和Eij分別用以下形式給出:

而

其中

而μi(i=1，2)是標度量綱為［μi］s=i - 1 和［ΛW］s=2 的耦合常數.在公式(1)中的3 維矢量εi是以這樣的形式給出的:

作用量(1)可以被重寫為

其中

而且

這里μ，ω 和ΛW是常值參數，而對稱張量Zij=是由Ricci 張量和Cotton 量Cij構成的，其中Cij被定義為

2 場方程

我們來考慮作用量(5)的動力學方程.這個由變化的N，Ni得到的動力學方程分別由以下形式給出:

由δgij的變形體而得到的動力學方程被如下公式給出:

當α3=0 時，這些動力學方程就減少到文獻［7 －8］中的幾個原始的場方程.

3 靜態的球對稱解

我們假設理論具有以下形式的靜態球對稱解:

文獻［8］表明在α3=0 情況下的場方程的系統具有(A)dS Schwarzschild 黑洞.作為在舊版本的Horava 引力下的一個常用的方法，在α3≠0 的情況下得到完整拉格朗日量的解的最容易的方式就是把這個度規擬設替換進作用量，然后對函數N 和f 變分.這是一個有效的程序，因為這個擬設包括了所有允許存在的與在S2上的SO(3)作用量相容的單線態粒子.由此產生的縮減的拉格朗日量，相當于一個完整的度量常數，它被如下給出:

A.精確解:第1 類

第一個解按如下給出:

這是一個AdS2× S2時空的表示，這里時間坐標被重調為該解有一個Ricci標量奇點位于:

這個解漸漸地接近AdS4.若固定:

則可以看出該奇點位于r=0，它是一個坐標奇點而非裸奇點.此時度規變為:

圖1 ln隨徑向坐標x 的變化

牛頓勢gtt=- N(x)2有一個最大值落在(x=0，gtt=1.253 41)，這意味著我們也許會有一個從原點而來的最大紅移.這就使我們有必要去探究引力紅移的行為.運用通常的紅移公式，我們發現:

我們把紅移的變化作為x 的一個函數進行作圖，如圖2所示.圖中所示的位于點x=1.246 附近的紅移發散行為可以被認為是由于視界的存在所引起的引力紅移.

圖2 從x=0 的原點處發出的光子的紅移隨x 的變化

B.當λ=1 的情況

探究λ=1 這個解是特別有趣的，在此情況下，f 和N 的函數具有如下形式:

這個解是漸進平坦的，它有一個在r=h 的視界，這里h 是f 的根，其值為

顯然，視界處具有零溫.在這種情況中的精確解可以被重新寫為:

正如我們注意到的那樣，這個解是漸進平坦的.那么，用在漸進平坦時空中的引力紅移的常規公式我們就有

這里x=c2r.這個奇點落在x=c1處.要使r →∞時時空是回到Minkowski 時空，我們有:c2= 1.未定的參數c1=a 可以看作是這個時空的質量.在下文中，我們把紅移作為坐標x 的函數針對于a 的一些典型值做了圖像.圖中顯示了該紅移在a 取不同值的情況下相對于坐標x 的變化行為.

圖3 從原點發出光子的紅移對視界值a 的關系

正如我們所觀察到的那樣，對于a 的這些不同取值該紅移產生了數次極大值

C.當ΛW=0 的情況

在這種情形f 和N 都是確定的，由下式給出:

這里β 是一個積分常數.為了使這個解有意義，我們要求λ ＞1.這個解對于一般的λ，當r=0時有一個曲率奇點，這與早先的解有類似的規律［8］.當β ＞0 時，這個解在x=∞處也有一個曲率奇點.此時精確解可以寫成:

對于一些β 和γ±的值，當γ±=- β 時這個解(28)就轉換成一個共型穩態解:

這里

圖4 牛頓勢eU(ξ)

圖5 牛頓勢eK(ξ)

4 結論

原始形式的Horava 引力必須被修改才能給出正確的預測.在舊版本的Horava 理論中的重要問題之一就是它的Lapse 函數不是動力學的.這個問題可以通過在作用量中插入一個新的輔助場然后探究它的動力學行為來解決.在本文中，以文獻［6］中所提出的理論新版本為出發點，我們研究了這個新版本下的球對稱解.我們得到了3 種不同類型的解.它們的作圖分析表明這些解可以被當作是黑洞的解.部分關于這些解的奇點結構的標志也被探討.

致謝:非常感謝南昌大學物理系舒富文教授在本論文創作過程中給予的有益討論和支持及指正.

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［5］ Blas D，Pujolas O，Sibiryakov S.On the extra mode and inconsistency of Hoˇrava gravity［J］.JHEP，2009(10)：29.

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