隨機激勵下用分形維數曲率差概率法定位損傷＊

安永輝， 歐進萍

（大連理工大學建設工程學部 大連，116023）

引 言

基于振動的結構損傷識別主要研究如何從監測數據識別損傷，反演結構的健康狀況，它是結構健康監測的熱點子課題，也是其最核心、最關鍵的問題之一［1］。基于振動的結構損傷識別的基本原理是損傷會帶來結構動力響應的改變，可以通過追蹤結構動態特征參數的變化對結構損傷進行識別［2］。在眾多損傷識別方法中，以模態參數作為直接或間接指標的研究較多，但目前在工程中基于模態參數的損傷識別還不能得到較好的應用［3］。值得注意的是，直接基于振動響應的時域識別方法利用結構響應時程信號構建損傷指標，并根據對指標變化的分析來實現損傷識別，避免了模態參數識別或其他估計過程中的誤差，取得了較好的效果。這類方法中常見的有小波分析［4］、時間序列模型方法［5］等。

筆者介紹的方法直接基于結構加速度響應進行損傷識別，首先，基于分形理論提取結構振動響應信號的特征值；其次，引入以往在模態振型上使用的曲率差法對分形特征值進行處理；最后，使用多次識別的概率統計值作為損傷判斷和定位依據。在基于振動的損傷識別研究中，很多學者注意到有限元模型精確性和噪聲的影響。楊海峰等［6］提到初始有限元模型由于各種誤差會對結構評估、健康監測等造成誤判。姜紹飛［7］對結構健康監測進行研究展望時指出了幾個需要進一步研究的問題，其中前兩個主要問題就是測量噪聲與模型誤差。本研究方法直接以結構損傷前后的加速度為研究對象，集合了以上3個基礎方法或數學工具，大大降低了噪聲和有限元模型誤差帶來的影響。下面介紹一下這3個方法及它們的研究現狀。

為了描述不規則的幾何對象，Mandelbrot［8］提出了分形維數的概念。幾十年來，分形理論快速發展成為一個有力的非線性科學研究工具。在損傷識別領域，由于不同狀態下結構振動響應的分形維數不同，分形維數常被用來識別信號狀態的特征量進而識別損傷［7，9］。雖然基于分形理論的損傷識別研究相比其應用于巖石和混凝土材料的研究還很不成熟，但近10年來涌現了越來越多基于分形理論的損傷識別研究工作。姜紹飛等［10］較全面地總結了分形理論在土木工程材料、巖土工程、地震工程、損傷識別等具體領域的應用。Carpinteri等［11］提出基于分形的應力應變定位技術。王步宇［9，12］對簡支梁和框架結構不同損傷情況下振動信號的分形維數進行了研究，并結合分形和其他方法提出了新的損傷識別技術。Cao等［13］提出基于分形理論對鋼筋混凝土結構進行無損評估；Qiao等［14］提出基于振型和分形理論的損傷識別技術。Li等［15］基于Katz分形維數研究了簡支梁結構的損傷識別。Bai等［16］基于高階振型的分形維數分析對梁結構進行損傷識別。Li等［17］基于分形維數對剪切型樓房結構進行了地震損傷識別研究。然而，較少的研究直接使用損傷前后加速度響應的分形維數去構建損傷指標。曲率模態法由Pandey等［18］于1991年提出，之后研究者基于該法做了模型試驗及實橋試驗的研究。但目前該法仍面臨著受振型識別精度影響大等困擾，離實際應用還有一段距離。實際工程中，噪聲干擾、測量誤差、模型誤差、環境因素等給損傷識別帶來了各種不確定性，并可能導致結果錯誤［1］。Beck等［19］基于一個簡單的6層剪切型樓模型的模擬數據闡述了如何計算每層的損傷概率，并提出用統計方法來處理測試噪聲、模型誤差等不確定性。Housner等［20］指出，為了更好地解決監測數據存在的不確定性問題，很有必要研究基于概率統計分析的方法。為了降低這些不確定性帶來的干擾，筆者采用多組數據計算結果的統計分析值（即損傷概率）作為最終損傷識別結果。

集合以上3個方法的優點，筆者在早期工作［21］中提出了脈沖或階躍激勵下基于分形維數波形曲率差概率的損傷定位方法，并以簡支梁為研究對象進行了數值模擬和試驗研究。考慮到實際工程中很多結構和系統在服役中基底常承受來自各種振動源的隨機激勵，且工程中脈沖或階躍激勵存在可操作性差的缺點，筆者著重研究結構基底隨機激勵下所提出方法的適用性。為此，選取最基本的結構（質量－彈簧－阻尼系統）作為研究對象，對基底白噪聲激勵下的單損傷工況及多損傷工況進行系統的數值模擬研究，并在 University of Illinois at Urbana－Champaign設計、建造了一個6層剪切型集中質量框架模型，基于該模型進行了振動臺試驗驗證，得出了一些有益的結論。

1 分形維數波形曲率差概率法

1.1 方法的理論基礎

1.1.1 分形維數

分形維數是分形理論的核心概念，用來量化圖形的不規則度。其值越大，所描述對象越復雜和詳細。它有很多定義和計算方法，最常用的是盒維數。王步宇［9］指出，針對數字化離散空間信號點集，若采得的振動時域信號為x1，x2，…，xn，則其分形盒維數可按如下近似公式計算

其中：n為信號的點數；Δt為采樣時間間隔。

損傷前后用于計算的加速度響應要有相同的點數。每個測點的加速度分形維數計算出來后，連接這些分形維數就得到了分形維數波形。結構不同狀態下的振動響應（尤其損傷位置的振動響應）不同，分形維數可以量化結構響應信號的不規則程度，所以不同狀態的響應有不同的分形維數。對結構不同位置振動響應的分形維數波形變化進行處理可以獲得結構損傷信息。

1.1.2 曲率

與無損狀態相比，結構損傷后損傷位置的振動響應發生變化，其分形維數也發生變化，由各測點分形維數連成的分形維數波形在損傷位置處就會發生變化。但是由于損傷前后的激勵水平不同，分形維數大小又與激勵水平相關，無法直接比較分形維數波形來獲得損傷。曲率表示一個波形偏離直線的程度，可以衡量波形的不平坦度。某一點的曲率越大，該波形在該點的偏離程度就越大。所以引入曲率來衡量結構損傷前后分形維數波形的變化，進而識別損傷位置。

對一個轉角較小的梁來說，其曲率k［18］為

其中：v″為模態位移v的二階倒數。

對位移模態進行中心差分法后得到振型的曲率［18］為

其中：h為數值模型中的單元長度。

類似地，筆者定義分形維數波形的曲率如下

其中：Ci為分形維數波形在節點i處的曲率；Di為i處的分形維數。

1.2 方法及步驟

損傷前后分形維數波形曲率差Cd通過下式定義

其中：Cb和Ca分別為損傷前后的分形維數波形曲率。

根據式（4）計算，步驟如下。

1）所有的曲率差負值應被剔除，原因是損傷后i點的加速度信號的分形維數比未損傷情況下的值變大了，根據式（4）曲率Ci比無損狀態時變小了，所以根據式（5），損傷處的曲率差應該是正值。

2）剔除負值后剩余的曲率差正值被歸一化，記作。歸一化后的曲率差值中小于闕值δ的被剔除，最后損傷的單元集DE為

其中：δ為閾值。

不同的結構該閾值可能不同，應結合待測結構無損工況的識別結果來確定δ，提出方法不需要有限元模型，節約了大量的建模和模型修正工作量。

3）由于噪聲等不確定性，基于一組數據的損傷嫌疑單元集識別結果中可能會出現誤識別單元。然而，多次識別中，損傷單元出現在損傷嫌疑單元集中的次數會遠遠高于無損單元出現在損傷嫌疑單元集中的次數。為了統計這種不確定性，用多組數據的計算結果來確定損傷單元，最終的損傷單元是那些在多次（建議10次以上）識別結果中出現概率（筆者稱其為損傷概率）不小于ρ的單元，ρ為損傷概率閾值。若某工況的多次識別結果中每個單元的損傷概率都小于ρ，則此工況為無損工況。

2 基于質量－彈簧－阻尼系統的數值驗證

2.1 數值模型

為了檢驗所提方法在基底隨機激勵下是否有效，選擇最基本也是概念最清晰的質量-彈簧－阻尼多自由度系統（見圖1）作為研究對象進行數值模擬驗證。多自由度系統的基本運動方程為

其中：Ms，Cs，Ks分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

圖1 質量彈簧阻尼系統Fig.1 The mass－spring－damper system

假設一個20自由度的質量－彈簧－阻尼系統，ki＝500kN／m，mi＝600kg，i＝1，2，…，20，阻尼比ξ＝0.02，獲得剛度矩陣Ks和質量矩陣Ms后，則Rayleigh阻尼矩陣Cs為

系統的狀態方程為

其中：u為系統的輸入；y為系統的輸出；x為系統的狀態；A為系統矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為直接傳遞矩陣。

基底激勵下該系統的狀態空間矩陣A，B，C，D可用下式表示

建立該系統的SIMULINK模型，輸入為Bandlimited white noise模塊。需要指出的是，損傷前后獲得每組加速度數據時使用的白噪聲激勵的seed均不同（即在獲得加速度的每次模擬中，輸入模塊里的參數seed均不同，這樣每次輸入的白噪聲均不同），白噪聲的頻帶寬度也不同。為了較好地模擬白噪聲激勵，頻帶寬度上限不小于所關心的結構頻率上限的10倍。系統的SIMULINK模型如圖2所示，據此可獲得損傷前后各測點的加速度響應，并加入5%～15%的噪聲模擬測試誤差及環境噪聲。圖3所示為無損時該20自由度系統在基底隨機激勵下某測點的加速度響應時程。

2.2 損傷工況及結果

2.2.1 損傷工況

表1為基于該20自由度系統的4種模擬損傷工況，其中損傷工況1和2是單損傷工況，損傷工況3和4為多損傷工況。

2.2.2 識別結果

基于不同噪聲水平下無損工況的平均歸一化曲率差結果確定閾值δ和ρ。δ應是一個比無損工況的各個單元平均歸一化曲率差結果略大的值來避免誤識別單元的出現，最終確定δ為0.30。確定了δ后，基于無損工況的損傷概率結果確定閾值ρ為60%。以損傷工況1為例介紹基于分形維數波形曲率差概率法進行損傷定位的過程。如圖4所示，圖4（a）為5%噪聲水平下20個測點（布置在20個質量點上）損傷前后的分形維數波形，各10條，紅色為損傷后，并假設損傷前后激勵的能量（即白噪聲的功率譜密度）不同，圖中所示為損傷后大于損傷前；圖4（b）為圖4（a）的分形維數波形的曲率，從中可知損傷后節點8處的曲率明顯變小，同時可以看出，雖然圖4（a）中損傷前后白噪聲激勵大小不同，但曲率只反映波形的相對變化，與波形值的絕對大小無關，所以損傷前后激勵的大小不同不影響損傷定位結果；圖4（c）為圖4（b）中損傷前后曲率的差，從中可知，10組不同數據下節點8的曲率差總是為正并且最大，其他位置的曲率差時正時負并且歸一化后大都在閾值以下（見圖5第1行第1列的結果，該結果是最終統計的損傷工況1的10次識別中各節點曲率差大于閾值的個數所占比值，此比值即為損傷概率）。從圖5的這個結果可知，節點8處的損傷概率為100%。由于損傷工況1中預設的損傷為k9，可知，若剛度Kx損傷，結果中損傷概率較大的情況將出現在節點（x－1）。

表1 數值損傷工況Tab.1 Numerical damage cases

圖2 系統的SIMULINK模型Fig.2 The SIMULINK model of the system

圖3 無損時基底隨機激勵下某測點的加速度響應Fig.3 The acceleration at a measured node of the undamaged system with stochastic excitation on the base

圖4 5%噪聲下損傷工況1的損傷定位過程（紅色波形為損傷后）Fig.4 The process of damage localization of damage case 1with 5%noise level（the red waweforms are based on data from the damaged structure）

圖5所示為損傷工況1至損傷工況4在噪聲水平分別為5%，10%及15%下的損傷定位結果匯總。由圖5可知，所有結果均符合當剛度kx損傷時，結果顯示為節點（x－1）處損傷概率大于60%。至此，無論單損傷還是多損傷，所有損傷工況的數值模擬結果均成功定位了預設損傷，說明基底隨機激勵下提出方法的識別效果良好。

3 基于集中質量框架模型的試驗驗證

為了進一步試驗驗證該方法在基底隨機激勵下的有效性，筆者在美國University of Illinois at Urbana－Champaign的智能結構技術實驗室里設計、建造了一個6層剪切型集中質量框架模型，如圖7（a）所示。該模型層高為210mm，寬度為260mm，每層的彈簧鋼柱子的尺寸為50mm×1.27mm，每層的集中質量（包括塑料梁、鋼塊、螺釘）為2.17kg。經過模態試驗測試，該模型的前6階固有頻率依次為1.72，5.16，8.34，11.06，13.19和14.59Hz。損傷識別試驗前，首先基于損傷前結構的試驗數據確定閾值δ。大致步驟如下：取一組無損結構的加速度振動響應作為基礎信號，把該信號近似當做無噪聲信號，將不同水平的噪聲添加到這組基礎信號中。這樣由于噪聲是隨機的，可得到不同噪聲水平下的多組無損狀態下的響應信號?；谶@些信號的多次識別可得到平均歸一化曲率差結果，從中可以確定閾值δ為0.30。確定了閾值δ后，另一個概率閾值ρ確定為60%。預備幾個厚度較小、其余尺寸不變的柱子作為損傷柱，試驗中通過將某層的柱子更換為損傷柱來模擬該層剛度的降低。

圖5 數值模擬時損傷定位結果Fig.5 Numerical damage localization results

3.1 試驗設備

圖6 試驗裝置Fig.6 The experimental setup

圖6所示為試驗所用各儀器之間的連接示意圖，圖7為試驗模型及設備。隨機信號從VIBPILOT（圖7（b））發射出來后通過控制器（圖7（c））輸送給振動臺（圖7（a）），進而在模型的基底輸入隨機激勵，模型振動的側向加速度再通過加速度傳感器把信號傳遞給VIBPILOT的信號采集模塊進行采集。試驗中采用Butter低通濾波對數據進行處理，截止頻率為15Hz，加速度傳感器的靈敏度大約為100mV／g。

3.2 試驗工況及結果

如表2所示，3種試驗工況用來進一步驗證提出的方法在基底隨機激勵下的損傷定位效果。在獲得多組損傷前后各層側向加速度數據后，基于前述方法對每個損傷工況進行多次識別（文中進行20次識別）并計算出最終的損傷概率。試驗結果如圖8所示，當第x層損傷時識別結果為（x－1）層，此試驗結果與數值模擬結果所呈現的規律一致，由此可成功定位出損傷層，再次驗證了所提出的損傷定位方法在基底隨機激勵下可以準確地對損傷進行定位。

表2 試驗損傷工況描述Tab.2 Experimental damage cases

圖7 試驗模型及設備Fig.7 Experimental model and equipments

圖8 3種試驗損傷工況的損傷定位結果Fig.8 Damage localization results of 3experimental damage cases

4 結 論

1）模擬及試驗結果均表明，基底隨機激勵下分形波形曲率差概率法能準確地對損傷進行定位，可較好地運用在基底承受隨機振動的結構及系統的健康監測中。

2）所提出的方法具有以下優點：a.抗噪聲能力強（15%甚至更高的噪聲下仍然可以得到滿意的結果）；b.該法不需要結構有限元模型，避免了復雜的有限元建模及模型修正工作；c.該法使用易于準確、快捷測量得到的加速度響應構建損傷指標，避免了一系列的參數識別等估算過程，大大降低了中間誤差，同時提高了計算效率，適用于對結構進行在線實時監測。

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