一種新型橡膠襯套理論模型及其參數識別＊

左曙光， 李 凱， 吳旭東， 郭學良， 李程祎

（同濟大學新能源汽車工程中心 上海，201804）

引 言

橡膠材料作為一種常用的工程減振材料，廣泛應用于汽車各種減振系統中，如懸架襯套、發動機和變速箱懸置、排氣系統吊耳等［1］。橡膠元件作為隔振元件，其動態性能對系統的振動控制和隔振設計起主要作用。目前，國內外對橡膠元件的研究中，靜態特性的研究較多而且已經比較成熟，但對其動態特性的研究還不全面，原因是橡膠減振元件動態特性復雜，隨頻率、振幅而變化，具有非常強的非線性。針對橡膠材料動態特性，國內外學者提出了多種材料本構模型。復常數模量模型［2］簡單根據應力－應變滯回曲線確定材料的復常數模量，其基本特征是非頻變，與實際材料黏彈模量的頻變特性并不相符。Kelvin－Voigt模型［3］由一線性彈簧和一阻尼器并聯，能夠明顯地表現出材料的頻率相關性，但在高頻時高估了阻尼的貢獻。三參數Maxwell模型將Kelvin模型中的阻尼器用一個由彈簧和阻尼器串聯組成的Maxwell單元代替，能更準確地描述橡膠材料的動剛度特性，但對阻尼系數的描述不夠準確。Wiechert模型將三參數Maxwell模型進行擴展，用多個Maxwell單元與之并聯，從而能夠在較寬的頻率范圍內對橡膠材料的動態特性進行較好的描述，但需要使用較多的參數才能保證模型的準確性，使得模型復雜且模型參數沒有明確的物理意義［4］。描述振幅相關性的雙線性模型、Bouc－Wen模型及Berg摩擦模型等［5-7］也存在精度不高、參數識別效率低等問題。

首先，筆者進行了橡膠襯套軸向的靜、動態特性試驗，根據試驗結果對襯套動態特性的頻率相關性和振幅相關性進行分析，提出一種基于彈性單元、摩擦單元和若干黏彈單元疊加的新型橡膠襯套模型；然后，根據具體的試驗結果，提出黏彈單元個數的確定方法和一種新的參數識別方法；最后，通過與試驗結果對比，模型能更為準確的描述襯套軸向的動態特性。

1 橡膠襯套靜動態特性試驗與分析

研究的對象是簡單圓柱形橡膠襯套，橡膠襯套實物如圖1所示。襯套由內外鋼圈和中間的橡膠材料組成，圖2為襯套的剖視圖。首先，通過試驗對襯套軸向的靜動態特性進行了研究［8］，試驗夾具如圖2所示。使用中通過固定外圈、激勵內圈的方式，獲得襯套軸向靜動態特性。

1.1 橡膠襯套軸向靜態特性試驗

靜態加載下，加載位移見表1，試驗結果見圖3。根據試驗結果可以發現，襯套軸向力和位移的關系基本符合線性關系，說明襯套軸向在靜態加載下具有線性的彈性特性。

圖1 橡膠襯套實物圖Fig.1 The picture of rubber bushing

圖2 襯套軸向加載試驗夾具Fig.2 The clamp for rubber axial－load test

表1 襯套軸向靜態加載位移Tab.1 The static axial－load displacement of rubber

圖3 襯套軸向靜態加載力與位移的關系Fig.3 The axial static loaded force versus displacement curve for bushing

1.2 橡膠襯套軸向動態特性試驗

試驗裝置、夾具與靜態加載時一致。通過高頻液壓油缸對橡膠襯套軸向施加不同頻率和振幅的正弦位移激勵，得到激勵位移和響應力信號，進而獲得兩者的振動幅值。在5個頻率下分別進行了6種振幅的試驗，共計30個工況，具體頻率和幅值見表2。襯套軸向的動態特性主要指襯套軸向動剛度及響應力與激勵位移的滯后角。響應力幅值除以對應工況下激勵位移的幅值表示襯套軸向的動態剛度特性。用激勵位移和響應力信號的互功率譜得到兩者的相位角差值，即滯后角。滯后角的正弦就是阻尼系數。試驗結果如圖4所示。

由上述試驗結果得到以下結論。

1）頻率一定，動剛度隨振幅變化規律如圖4（a）所示，阻尼系數隨振幅變化規律如圖4（c）所示。襯套軸向動剛度（阻尼系數）隨振幅的增加而迅速降低，振幅對襯套動剛度（阻尼系數）的影響非常大。

表2 低頻試驗時激勵振幅和頻率的值Tab.2 The amplitude and frequency of excitation in low－frequency test

2）振幅一定，動剛度隨頻率的變化關系如圖4（b）所示，阻尼系數隨頻率變化規律如圖4（d）所示。動剛度（阻尼系數）幾乎不隨頻率的變化而變化，同一振幅下，激勵頻率幾乎不對襯套軸向動剛度（阻尼系數）產生影響。相比之下，阻尼系數受頻率的影響要比動剛度大。

綜上所述，在激勵頻率較低的情況下（20Hz以內），激勵振幅是動態特性的決定性因素，激勵頻率幾乎不對動態特性產生影響。

2 新型橡膠襯套軸向動態模型

上述試驗結果反映出的動態特性與大部分研究中采用的動態模型表現出不同的特性，如將彈性單元和液體黏壺并聯的K－V模型（圖5）、將Maxwell單元與彈簧并聯的Maxwell模型（圖6）。這些模型的特點是動態特性隨頻率有明顯的變化，但不隨振幅而變化。

因此，筆者提出一種將體現彈性特性的彈性單元、體現振幅相關性的摩擦單元和體現頻率相關性的若干黏彈單元并聯的新型模型，來描述襯套軸向在激勵頻率較低時的動態特性。

圖4 低頻試驗動態特性Fig.4 The dynamic characteristics in low－frequency test

圖5 K－V模型示意圖Fig.5 K－V model

圖6 Maxwell模型示意圖Fig.6 Maxwell model

2.1 模型組成

2.1.1 彈性單元

根據試驗結果發現，襯套軸向彈性特性符合胡克定律，因此用胡克定律的形式表示襯套軸向的彈性特性

彈性單元在一個正弦激勵周期中，不損耗能量，即Ee（x）＝0。當激勵振幅為x0時，響應力的振幅為F0＝Kex0。

2.1.2 摩擦單元

摩擦單元是指一種類似摩擦力特性的激勵位移和響應力的關系，主要用于描述動態特性的振幅相關性。由于Berg模型參數識別簡單，且能比較準確地描述橡膠元件的振幅相關性，得到了比較廣泛的應用［9-11］。因此，筆者采用Berg摩擦模型描述橡膠材料的振幅相關性。Berg模型的摩擦力Ff取決于摩擦單元兩端的相對位移，同時也與摩擦力位移曲線上的參考點（xs，Ffs）有關，其具體表達形式如下。

當x＝xs時

當x＞xs，或x增加時

當x＜xs，或x減小時

本模型中，摩擦單元在一個周期中，力的幅值Ff0為

其中：x0為激勵位移的幅值。

一個周期中損耗的能量Ef為

其中：α0＝Ff0／Ffmax。

2.1.3 黏彈單元

Maxwell單元是指將一個線性彈簧與一個液體黏壺串聯來表示橡膠材料力學特性的模型。筆者建立的黏彈模型是利用多個Maxwell模型并聯的形式，如圖7所示來表示橡膠材料的黏彈特性。Maxwell單元的個數需要根據部分試驗數據進行確定。

圖7 黏彈單元示意圖Fig.7 The visco－elastic elements

第i個黏彈單元的動態剛度復數形式為

其中：w為激勵圓頻率；Ei和ηi分別為第i個Maxwell單元彈簧的剛度值和黏壺的阻尼值。

第i個Maxwell單元整體表現出的阻尼為

其中：在簡諧激勵的條件下，Wi和A0分別為每個循環工況所損耗的能量和激勵的幅值為復剛度的模；δi為阻尼角。

對i個分量進行矢量疊加，可得到總的黏彈單元的動剛度和阻尼值

其中：Kdyn為黏彈單元總的動剛度；δ為黏彈單元的滯后角；d（w）為黏彈單元的阻尼系數。

當Ei＝Kv，ηi＝C時，一個黏彈單元在振幅為x0的簡諧激勵中，響應力的幅值為

響應力實部的值為

響應力虛部的值為

一個周期損耗的能量為

黏彈單元整體表現出的響應力為各Maxwell單元相加

其中：n為 Maxwell單元的個數；Fvi（x）為第i個Maxwell單元的響應力。

2.1.4 模型疊加

將彈性單元、摩擦單元與黏彈單元疊加，得到響應力和激勵位移的關系為

其中：Fe（x）為彈性單元的力；Ff（x）為摩擦單元的力；Fv（x）為黏彈單元的力，為各黏彈單元響應力之和。

整體模型響應力的振幅為

一個循環中整體模型能量消耗為

對簡諧振動而言，襯套軸向動剛度和阻尼系數可以通過下式確定

2.2 參數識別

2.2.1 彈性單元和摩擦單元參數識別

作激勵力隨激勵位移的變化曲線，即滯回曲線，并確保滯回曲線的中心在零點位置，如圖8所示。在位移接近極限位移時，曲線的斜率就近似表示該試件彈性單元的值，即其靜態剛度值Ke。

延長接近極限位移處曲線的兩條切線，由激勵位移的對稱性可知，兩條切線平行，兩條切線間的豎直距離就近似等于兩倍的摩擦力的最大值。由此，確定摩擦單元的參數Ffmax。

根據試驗結果，得到曲線的最大斜率值Kmax，見圖8。摩擦單元的第2個參數x2由下式求得

圖8 低頻簡諧激勵下激勵位移與響應力的關系Fig.8 The response force versus displacement of lowfrequency harmonic excitation

參數識別工況采用低頻率大振幅工況，低頻率是為了進一步減小頻率的影響，大振幅是為了保證摩擦單元能夠發揮出最大摩擦力。最終選擇的參數識別工況為激勵頻率為4Hz，激勵振幅為1.5mm，根據前面所述識別方法，識別結果如表3所示。

表3 彈性單元和摩擦單元參數識別結果Tab.3 The fitted parameters of elastic element and friction element

2.2.2 黏彈單元參數識別

在黏彈單元參數識別以前，首先要分析試驗結果，確定將使用的黏彈單元的個數。根據試驗結果，頻率對阻尼系數的影響比對動剛度的影響要大些，所以將根據阻尼系數的變化規律，確定使用的黏彈單元的個數。阻尼系數試驗結果如圖4（c）所示。

可以發現，試驗結果表現出兩種變化規律：4Hz為一種；8，12，16，20Hz為另一種。這表明可以用兩個黏彈單元來表示襯套模型的頻率相關性。因此，將4Hz作為第1個黏彈單元的識別工況，將12Hz作為第2個黏彈單元的識別工況。識別方法是利用試驗結果和仿真結果的相對誤差最小化。使用Matlab中的優化函數fmincon求目標函數的最小值，目標函數如下

其中：n為試驗工況的個數；Kmodel和Dmodel分別表示根據動態模型求得的在對應試驗工況下的動剛度值和阻尼值；Ktest和Dtest表示試驗得到的動剛度值和阻尼值。

黏彈單元參數識別結果見表4。

表4 黏彈單元參數識別結果Tab.4 The fitted parameters of visco－elastic elements

最終的新型襯套動態模型總共有7個待識別參數，分別是：彈性單元的剛度值Ke；兩個黏彈單元的剛度值E1，E2；阻尼系數η1，η2；摩擦單元的最大摩擦力Ffmax及達到最大摩擦力一半時的位移x2。其示意圖如圖9所示。

圖9 襯套軸向動態模型示意圖Fig.9 The axial dynamic model of bushing

2.3 誤差分析

模型仿真結果和試驗結果比較如圖10所示，試驗結果和仿真結果的最大誤差如表5所示。由試驗結果和仿真結果的對比可知，試驗結果和動態模型的仿真結果變化規律一致，誤差也較小。動剛度的最大誤差控制在6%以內，阻尼系數的最大誤差控制在8%以內，精度較高。由此說明了此種建模方法和參數識別方法的合理性。

表5 同工況下動態特性最大誤差值Tab.5 The maximum error of dynamic characteristics in same conditions

3 結 論

1）通過襯套試驗，得到襯套軸向的靜、動態特性。發現在低頻段，橡膠襯套動剛度和阻尼系數隨著振幅增大迅速降低，而隨頻率變化不明顯。

圖10 模型動態特性仿真與試驗結果對比Fig.10 The dynamic characteristics comparison of simulation and test

2）提出一種將彈性單元、摩擦單元和若干黏彈單元疊加的新型橡膠襯套模型，該模型結構簡單，物理意義明確。

3）根據試驗結果和模型仿真結果的對比，該新型襯套模型可以準確描述襯套軸向的頻率相關性和振幅相關性。證明筆者所提出的襯套軸向動態模型建立方法和參數識別方法正確可行。

4）該模型可通過用戶子程序的形式應用到Adams等多體動力學軟件的動力學仿真中，具有較高的實用價值。

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