剛度對轉子系統隨機響應的影響＊

王正浩， 席慶泰， 熊興榮， 孟慶欣， 楊興濤

（沈陽建筑大學交通與機械工程學院 沈陽，110168）

引 言

隨著旋轉機械向著高性能、高效率方向發展，近年來國內外學者針對旋轉機械從不同角度開展了廣泛研究［1-9］。在抗震設計中，研究發電機轉子等在地震激勵下的振動特性是一個非常重要的問題，對復雜轉子系統進行隨機響應分析是系統安全可靠運行的重要保證，但由于問題的困難和復雜性，這方面的研究較少，數值計算也不多見［10-11］。轉子系統隨機響應分析的方法有蒙特卡羅法和功率譜算法等，但由于其計算過程過于復雜，計算量非常大，往往使工程人員望而卻步。林家浩等提出的虛擬激勵法是對線性隨機振動系統進行譜分析的有效工具［12］，該方法將平穩隨機激勵轉化為穩態簡諧激勵，將非平穩隨機激勵轉化為瞬態確定性激勵，具有簡單、高效、精確等優點。考慮到現代機械的高速、高精度化，筆者針對計及機匣彈性、陀螺力矩并同時考慮機匣與定子間的彈性聯接的懸臂雙盤轉子系統，應用虛擬激勵法，分析了系統在軸承回轉隨機動力激勵、轉子不平衡隨機激勵和地面平穩隨機地震激勵下的隨機響應，并討論了系統剛度變化對隨機響應的影響，為轉子系統工作參數的合理選擇和隨機振動控制提供依據。

1 軸承回轉隨機動力激勵

在航空燃氣渦輪發動機等旋轉機械中，由于制造誤差等原因，滾動球軸承的內外圈與滾動體之間實際上存在有微小間隙。如果滾動體直徑不相同，則在大的滾動體插入方向上，如圖1所示，徑向間隙變小，剛度增大Δk，而在其垂直方向上徑向間隙變大，剛度減小Δk，即在相互垂直的方向上存在軸承剛度差。這種軸承剛度差隨轉動坐標系Ox′y′按滾動體的公轉角速度ω′旋轉，激發轉子系統振動。在y′和x′方向上軸承的彈性恢復力大小分別為

圖1 軸承剛度差Fig.1 Model of the bearings stiffness difference

根據坐標變換，得到

其中：φ為在［0～2π］上均勻分布的隨機變量。

在y和x方向上的彈性恢復力大小分別為

將式（2）代入式（3）得

其中：ΔFy和ΔFx分別為由于軸承回轉隨機動力激勵引起的y和x方向上彈性恢復力大小的改變量。

轉動坐標系Ox′y′旋轉角速度ω′＝αω，其中：α＝D／［2（D＋d）］，D和d分別為軸承內圈直徑和滾動體直徑；ω為軸旋轉角速度。軸承剛度差Δk＝εk，其中：ε為軸承回轉隨機動力激勵參數；k為軸承剛度。

2 系統力學模型與隨機運動微分方程

轉子系統力學模型如圖2所示。設機匣為具有線性徑向接觸剛度的彈性圓環，在隨機激振力作用下，系統隨機運動微分方程為

圖2 轉子系統力學模型Fig.2 Model of rotor system

位移列陣、隨機激振力列陣、質量矩陣、陀螺矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為

其中：

隨機激振力列陣F＝F1＋F2，其中隨機激振力列陣F1中的元素包括重力、轉子不平衡隨機激振力和軸承回轉隨機動力激勵，隨機激振力列陣F2為地面隨機地震激勵，F1和F2分別為

φ，φ1，φ2為在［0～2π］上均勻分布的隨機變量。

分析表明，水平方向地震時轉子系統的隨機響應相對比較強烈，故取慣性力指示向量為

其中：

其中：

其中：

C123456為8行8列對稱矩陣，主對角線上的元素為

第1行第5列元素為－C3x，第2行第6列元素為－C3y，第3行第7列元素為－C4x，第4行第8列元素為－C4y，其余元素為零。

其中：Kr1和Kr2由轉子柔度矩陣確定；K1和K2為交叉剛 度 矩 陣；K3＝diag（k3x，k3y，k4x，k4y）；K4＝diag（k3x＋k5x＋kj1x，k3y＋k5y＋kj1y，k4x＋k6x＋kj2x＋kj3x，k4y＋k6y＋kj2y＋kj3y）；K5＝diag（k7x＋kj3x，k7y＋kj3y，k8x＋kj1x＋kj2x，k8y＋kj1y＋kj2y）。

3 系統隨機響應的虛擬激勵分析

按虛擬激勵法的基本原理［11-12］，應構造虛擬激勵，由系統隨機運動微分方程式（6），得到系統虛擬振動微分方程

求解虛擬振動微分方程式（8），可得虛擬響應為

其中：

進而可得到位移隨機響應的功率譜矩陣

其中：上標“＊”代表取復共軛。

4 系統隨機響應數值計算

在隨機響應數值計算中采用的計算數值為：軸材料密度ρ＝7.8×103kg／m3；彈性模量E＝210×109N／m2；三段軸直徑均為di＝30mm（i＝1，2，3）；三段軸截面慣性矩Ii＝π／64（i＝1，2，3）；三段軸長度分別為l1＝210mm，l2＝330mm和l3＝240 mm；軸頸質量m3＝3kg，m4＝3kg；圓盤質量mii＝24.335 3kg（i＝1，2）；圓盤等效質量分別為m1＝25.900 9kg，m2＝24.725 1kg；半徑Ri＝120mm（i＝1，2）；厚度Bi＝69mm（i＝1，2）；極轉動慣量JPi＝mii／2（i＝1，2）；直徑轉動慣量Jdi＝Jpi／2；機匣質量mi＝2m1（i＝5，6，7，8）；滾動軸承阻尼Cix＝Ciy＝0（i＝3，4）；滾動軸承為深溝球軸承6304，α＝0.36；機匣阻尼Cix＝Ciy＝20Ns／m（i＝5，6，7，8）；材料內阻尼Cc＝20Ns／m，外阻尼Cei＝Ce＝350Ns／m（i＝1，2）；地震方向為水平方向；平穩白噪聲地震激勵譜密度SO＝1.35×10－1m2／s3；圓盤偏心矩e1＝e2＝e＝0.02mm；軸承回轉隨機動力激勵參數ε＝0.006；轉速n＝8kr／min。

4.1 機匣剛度kjx對隨機響應的影響

取機匣之間的彈性聯接剛度kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖3為機匣剛度分別為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝107N／m（曲線1），kjx＝108N／m（曲線2），kjx＝109N／m（曲線3）和kjx＝2×109N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機響應功率譜密度。由圖3可知：機匣剛度對隨機響應的影響較大，特別是對軸承的隨機響應影響更大；當機匣剛度大于108N／m以后，機匣剛度對隨機響應的影響基本穩定；機匣剛度的選取原則上應該大于108N／m。

4.2 機匣聯接剛度kj對隨機響應的影響

取機匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，滾動軸承剛度kix＝kiy＝k（i＝3，4）＝6×107N／m。圖4為機匣聯接剛度分別為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝0（曲線1），kj＝106N／m（曲線2），kj＝108N／m（曲線3）和kj＝1010N／m（曲線4）時圓盤和軸承的隨機響應功率譜密度。由圖4可知：機匣聯接剛度對軸承隨機響應的影響明顯，而對圓盤隨機響應的影響不大；機匣聯接剛度大于108N／m比較合適。

4.3 軸承剛度k對隨機響應的影響

取機匣剛度為kix＝kiy＝kjx（i＝5，6，7，8）＝108N／m，機匣聯接剛度為kjix＝kjiy＝kj（i＝1，2，3）＝107N／m。圖5為軸承剛度分別為k＝1.5×107N／m（曲線1），k＝2×107N／m（曲線2），k＝1 0×107N／m（曲線3）時圓盤和軸承的隨機響應功率譜密度。由圖5可知：軸承剛度越小，隨機響應（特別是低頻隨機響應）越強烈；軸承剛度取值大于2×107N／m為宜。

圖3 機匣剛度對隨機響應的影響Fig.3 The influence of casing stiffness on random responses

圖4 機匣聯接剛度對隨機響應的影響Fig.4 The influence of casing connection stiffness on random responses

圖5 軸承剛度對隨機響應的影響Fig.5 The influence of bearing stiffness on random responses

5 結束語

應用虛擬激勵法，分析復雜轉子系統在多參數耦合隨機激勵－軸承回轉隨機動力激勵、轉子不平衡隨機激勵和地面平穩隨機地震激勵作用下的隨機響應是適宜的。通過數值模擬得到的主要結論是：機匣剛度、機匣聯接剛度和軸承剛度的變化對隨機響應都有較大影響；比較合適的系統剛度數值為機匣剛度和機匣聯接剛度應大于108N／m，軸承剛度應大于2×107N／m。

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