Duffing振子與響應靈敏度結合的結構損傷檢測方法＊

劉 鎏， 閆云聚， 常曉通， 襲著有，2

（1.西北工業大學力學與土木建筑學院 西安，710072） （2.遼寧工業大學理學院 錦州，121000）

引 言

混沌系統用于強噪聲背景下的弱信號檢測已成為當今科學研究的一大熱點，近年來混沌理論已被廣泛應用于各類分析信號的處理，取得了較好的效果。Hu等［1］將Duffing振子用于旋轉機械故障檢測，成功識別出了強噪聲背景下的轉子碰摩故障信息。Wu等［2］將Duffing振子應用于分析化學方面的研究，實現了強噪聲背景下對于X－射線衍射和拉曼光譜微弱信號的提取。Li等［3］針對嚙合頻率組件對檢測振蕩器的影響提出了基于Duffing振子的逆向方法進行機械故障診斷。賴志慧等［4］提出的基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測方法通過一組固定的參數實現了任意頻率、任意相位特征信號的檢測。現有的關于混沌理論信號檢測的研究并未涉及到實際的工程結構損傷檢測，因為還存在一個損傷精確定位的問題，如何從噪聲環境下提取出信號信息到實現損傷的精確定位是當前面臨的主要問題。

筆者將混沌理論用于強噪聲背景下工程結構損傷檢測，提出了基于Duffing振子與響應靈敏度結合的結構損傷檢測方法，系統闡述了Holmes型Duffing方程的混沌特性用于強噪聲背景下弱信號檢測的機理。首先，引入時域響應靈敏度的概念并建立了三自由度橋梁結構模型的有限元動力學方程，利用直接積分法計算結構在外激勵下的動態響應并附加強噪聲干擾；然后，將混合信號輸入至特定的Holmes型Duffing系統對特征信號進行細化處理；最后，將結構的局部損傷模擬為單元彈性模量的減少，求得響應信息對單元彈性模量的靈敏度，以此來對結構單元抗拉剛度進行修正，從而實現強背景噪聲環境下結構的損傷定位問題。

1 Holmes型Duffing振子的混沌檢測特性

含噪情況下Holmes型Duffing振子系統具有以下表達形式

其中：V（x）為Duffing系統的勢函數；η為阻尼因子；f（t）＝Acost，表示外場周期驅動力；s（t）為待測信號；n（t）表示均值為0、方差為1的高斯白噪聲。

式（1）表示存在噪聲和激勵情況下雙穩勢阱中布朗粒子的過阻尼運動。對于常見的雙穩系統，其對應的勢函數為

其中：a和b均為正常數，一般取a＝b＝1。

式（1）與式（2）綜合后有

當外界對于系統的輸入為0時，勢函數有兩個相同的勢阱，阱底位于±xm，xm＝（a／b）（1／2），勢壘高度ΔV＝a2／（4b），布朗粒子將停留在兩勢阱中的任意一個，此時系統處于穩定狀態。圖1表示系統輸入為0時勢函數V（x）和x的關系。

圖1 雙勢阱系統勢圖Fig.1 Double－well potential diagram system

當外界對于系統的輸入不為0時，整個系統的平衡會被打破，勢阱會在x的驅動下發生傾斜，即勢阱高度會相應地升高或降低。當輸入達到適當值時，勢壘高度ΔV就會達到最小值，同時弱信號在噪聲的幫助下很容易在兩穩定點間轉換位置，從而系統由混沌狀態轉換為大尺度周期狀態，這時，從噪聲背景下檢測弱信號就變得可能。

形象地說，混沌系統的特點在于系統參數的微小擾動會導致系統狀態發生改變，這種狀態改變的同時伴隨著系統對于噪聲背景的強免疫力。因此，Duffing系統的狀態轉換由各參數條件共同決定，這些參數包括阻尼因子η、外加周期驅動信號的頻率ω及幅值A、所選算法及初值。以往研究表明，混沌系統由混沌狀態向大尺度周期狀態發生轉換時存在一個系統臨界幅值Ac，只有當系統外加周期驅動幅值達到臨界值時混沌系統才能由混沌狀態向大尺度周期狀態發生轉換。例如，在式（3）中取定參數η＝0.5，初值x（0）＝x＇（0）＝0，s（t）＝0.01sint，采用四階Runge－Kutta算法進行計算。無外在噪聲干擾下，當驅動幅值A＝0.825時，系統處于混沌狀態，如圖2（a）所示；當A＝0.826時，系統處于大尺度周期狀態，如圖2（b）所示；保持其他參數不變，取A＝0.826，考慮噪聲強度為0.05的高斯白噪聲n（t），系統仍處于大尺度周期狀態，如圖2（c）所示。

由此可見，當選定以上參數時，系統的臨界幅值Ac＝0.826，此時無論存在噪聲與否，都能從相軌跡圖中識別出待測信號s（t），這就是基于Holmes型Duffing振子的混沌檢測機理。

圖2 相軌跡圖Fig.2 Phase trajectories

2 基于響應靈敏度的結構損傷檢測法

靈敏度分析法就是利用測量參數（響應）對結構參數（剛度、質量等）的偏導數來計算物理參數的變化，從而進行模型修正的方法。筆者主要采用基于時域響應的靈敏度方法［5-6］。對于一般的線彈性時不變結構的有限元模型，其動力方程可表示如下

其中：M，C，K分別為結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；d為位移向量；F（t）為節點激振力向量。

本研究采用瑞利阻尼模型［7］，即C＝a1M＋a2K，其中：a1，a2為常數，由給定的兩個不等的模態頻率ωi，ωj與相應的阻尼比ξi，ξj來確定。

2.1 響應靈敏度矩陣

基于響應靈敏度的結構損傷檢測的關鍵在于靈敏度矩陣的獲得，筆者以結構響應對于單元彈性模量的偏導數作為靈敏度指標。首先，通過Newmark直接積分法計算結構的動態響應；然后，將式（4）的兩邊對第i個單元的彈性模量求偏導數，C＝a1M＋a2K，且K為彈性模量的函數。移項整理后有

其中：N為有限元模型單元數。

由于結構的動態響應已經計算得出，將此響應代入式（5）再由Newmark法進一步得出響應靈敏度矩陣。響應靈敏度具有以下形式

對于單自由度結構體系，?Ri（th）／?El表示th時刻第i個單元的響應對于第l單元彈性模量的偏導數，i＝1，2，…，N，l＝1，2，…，N，N為劃分的有限單元數。對于多自由度結構體系，?Ri（th）／?El則表示th時刻第i個單元的某一響應分量對于第l單元彈性模量的偏導數。

2.2 結構損傷參數的識別

結構損傷識別問題可以表達為：尋找彈性模量向量E，使得計算出來的假設損傷結構響應（本研究使用加速度響應）與測量的實際損傷結構響應的殘差最小化，即

其中：R為模擬的測量響應（實際損傷結構響應）；Rcal為假設損傷結構的計算響應。

結構損傷的識別方程可以表示為

其中：S為靈敏度矩陣。

彈性模量增量向量δE由Tikhonov正則化方法［8］獲得，對于離散不適定性問題，一般形式的Tikhonov正則化后就得到了正則極小化問題

式（9）等價于如下最小二乘問題

式（10）的法方程為

直接得到正則化解的顯式表達式為

修正后的彈性模量為

其中：E0為無損結構彈性模量向量。

3 基于Duffing振子和響應靈敏度方法結合的結構損傷定位方法

鑒于Duffing振子的混沌檢測特性在強噪聲背景下檢測信號信息的能力以及響應靈敏度方法在結構損傷定位方面的優勢，筆者提出了基于Duffing振子和響應靈敏度方法相結合的結構損傷定位方法。

由于工程中的信號往往是大信號，傳統的Duffing振子系統只適用于小參數信號，這里采用基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測［4］來實現強噪聲下大參數信號檢測。變尺度就是保持前文中Duffing系統參數不變，引入變尺度系數P，使待測信號s（t）在其時間軸上放大P倍，即t′＝Pt。然后令P＝ω，ω為待測信號頻率，則待測信號轉換為s（t′）＝asin（ωt）＝asin（ωt′／P）＝asint′，將此信號輸入至Duffing系統就能檢測出s（t′）的頻率成分，這里通過對數值計算的步長進行尺度變換來實現頻率的尺度變換。

基于Duffing振子和響應靈敏度方法相結合的結構損傷定位方法的具體步驟如下：

1）由式（4）計算給定外激勵作用下實際損傷結構的動態響應，并在響應中添加一定水平的隨機噪聲，作為模擬的測量響應；

2）選定變尺度系數P等于外激振力頻率，其余系統參數不變，將測量響應經尺度變換后輸入至Duffing系統，經由四階 Runge－Kutta算法求解Duffing方程，此時系統即處于大尺度周期狀態，可以得到與之相對應的系統輸出；

3）將此輸出的頻率進行尺度還原，采用余弦擬合的隨機共振反演技術［9］對信號時域信息進行反演，將此時域響應作為真正的測量響應；

4）由式（4）計算給定外激勵作用下假設損傷結構的動態響應，并進一步由式（5）計算動態響應對單元彈性模量的靈敏度，形成靈敏度矩陣；

5）通過式（8）計算測量響應與計算響應的差值δR；

6）由式（12）計算彈性模量參數的增量δE，并利用式（13）計算修正后的彈性模量參數E；

7）重復步驟4～6，直到前后兩步的彈性模量的相對誤差達到一個很小的容許值，即

其中：k為迭代步數；T取為10－6。

基于Duffing振子和響應靈敏度方法相結合的結構損傷定位方法的具體流程如圖3所示。

圖3 Duffing振子和響應靈敏度法相結合的方法流程圖Fig.3 Float chart of the combining method based on Duffing oscillator and response sensitivity method

4 算例分析

算例為一座兩跨鋼筋混凝土橋梁［10］，如圖4所示。橋梁總長為18.28m，上部橋面結構寬為2.28m，高為0.38m，截面積為0.866 4m2，下部結構排架墩高分別為1.83，2.24，1.52m，材料彈性模量E＝2.0×1010Pa，密度ρ＝2 500kg／m3。排架墩采用固結方式，橋面板兩端附加質量塊，用于模擬模型中未考慮的上部結構和兩端橋墩的慣性力。

采用集中質量法，用剛架單元建立有限元模型，共劃分為15個單元，考慮每個結點上x，y，θ三個方向的振動位移。單元、節點編號如圖5所示。

圖4 橋梁模型示意圖（單位：m）Fig.4 Schematic bridge model（unit：m）

圖5 橋梁有限元模型Fig.5 Finite element model of the bridge

在節點4處施加一個橫向簡諧荷載f（t）作為激勵力，f（t）＝50sin（20t），作用時間為10s，響應步長dt＝0.001s。響應信號取為加速度信號，模擬噪聲采用符合高斯分布的白噪聲［11］，各測點加入噪聲后的加速度響應如下

其中：aj和azj分別為加噪聲前后的加速度響應；S為均值為0、方差為1的高斯白噪聲；N為噪聲信號強度水平。

工況1 50%噪聲水平下單一局部小損傷識別。首先研究強噪聲環境下單一局部小損傷問題，在原始響應中添加50%水平的強噪聲干擾，并假定模型的第5號單元的彈性模量減少5%來模擬局部損傷。損傷結構的第4號單元在激勵作用下水平方向加速度響應（無噪聲干擾和50%水平噪聲）如圖6所示。

由圖6（a）可知，結構在簡諧激勵下其加速度響應亦為一簡諧曲線，幅值為0.003m／s2，周期為0.314s。然而在50%水平噪聲環境下單元響應則完全淹沒于噪聲環境中，如圖6（b）所示，阻礙了后續的結構損傷定位。下面將含噪響應輸入至Duffing系統處理。Duffing系統參數選擇同上：阻尼因子η＝0.5，驅動力幅值A＝0.826，初值x（0）＝x＇（0）＝0，原始采樣頻率fs＝1kHz，計算步長dt＝0.001s，引入變尺度系數P＝ω＝20，即變尺度后數值計算步長dt′＝（ω／fs）＝0.02s。采用四階 Runge－Kutta算法對式（3）進行計算，其中用含噪響應代替s（t）＋n（t）項，計算結果如圖7所示。

圖7（a）所示為系統輸出的相軌跡圖，可見此時系統處于大尺度周期狀態。由圖7（b）可知，輸出明顯存在頻率f＝0.067Hz的信號成分，尺度還原有f0＝（f×fs）／P＝3.183Hz，對應周期T＝1／f＝0.314s，這正是原始信號需要檢測出的頻率成分。由于雙穩態系統布朗粒子越過勢壘的能量積累需要時間，這樣輸出就不能很好地跟上信號的變化，從而會產生嚴重的波形失真［12］，這里運用余弦擬合的隨機共振反演技術［9］來對輸出信號進行反演。因為經過Duffing系統處理后的輸出響應具有較高的信噪比，以f0來設計余弦曲線對系統輸出進行擬合，得到時域響應如圖8所示。

圖6 加噪前后單元4加速度響應Fig.6 Acceleration response of element 4without and with noise

圖7 相軌圖和輸出響應頻域圖Fig.7 Phase trajectories and frequency domain of output

圖8 擬合后Duffing系統輸出加速度響應Fig.8 Acceleration response after fitting

對比圖6和圖8可以發現，含噪輸出響應經過Duffing系統處理后，其外部強噪聲得到了較好的去除，這為進一步運用響應靈敏度方法進行損傷定位打下了良好的基礎。

下面進行響應靈敏度分析，按照文中所提的算法步驟，取4號單元的橫向加速度響應來進行損傷檢測，經過19次迭代計算后結果如圖9所示。由圖9可以看出，單元5上的局部損傷得到了很好的識別，其他單元上沒有出現誤判的情況，說明系統響應經過Duffing振子去噪處理后運用響應靈敏度方法能夠很好地識別出強噪聲環境下的結構局部損傷。

圖9 單一損傷識別（50%水平噪聲）Fig.9 Single damage identification（50%noise level）

工況2 50%噪聲干擾下多損傷的識別。此工況下進行強噪聲環境的多損傷識別。在原始響應中添加50%水平的強噪聲干擾，假定桿的第4，6號單元的彈性模量分別減少10%，5%來模擬局部損傷。取4號單元的橫向加速度響應來進行損傷檢測，同樣將含噪輸出響應經過Duffing系統處理，然后進行響應靈敏度計算，經過21次迭代后，識別結果如圖10所示。圖10結果表明，第4，6號單元上存在的局部損傷得到了很好的識別，所存在的識別誤差均比較小，最大誤差不超過0.5%。

圖10 多損傷識別（50%水平噪聲）Fig.10 Multiple damage identification（50%noise level）

5 結 論

1）筆者提出了基于Duffing振子和響應靈敏度相結合的結構損傷檢測方法用于強噪聲背景下的結構損傷定位，該方法避開了傳統的Duffing振子參數選擇的繁瑣性，僅用一組特定的參數實現了噪聲背景下信號的提取，通過尺度變換，隨機共振反演技術以及響應靈敏度分析實現了強噪聲背景下工程結構損傷定位。

2）采用三維橋梁結構模型作為算例，避免了單自由度體系與實際工程結構的脫節性，表明了此方法用于工程結構損傷檢測的適用性。

3）傳統的基于時域響應靈敏度方法僅討論了無外在噪聲干擾和10%噪聲水平干擾下的結構損傷定位問題，筆者通過運用基于Duffing振子和時域響應靈敏度相結合的方法實現了50%噪聲水平下的結構損傷定位，數值算例表明該方法能夠適用于更強的噪聲背景，且同等噪聲環境下運用Duffing振子系統處理后所需計算的迭代次數相應減少，節約了計算時間。

［1］ Hu Niaoqing，Wen Xisen.The application of Duffing oscillator in characteristic signal detection of early fault［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，268：91－93.

［2］ Wu Xiaojing，Guo Weiming，Cai Wensheng，et al.A method based on stochastic resonance for the detection of weak analytical signal.［J］.Talanta，2003，61：863－869.

［3］ Li Chongsheng，Qu Liangsheng.Applications of chaotic oscillator in machinery fault diagnosis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21：257－269.

［4］ 賴志慧，冷永剛，孫建橋，等.基于Duffing振子的變尺度微弱特征信號檢測方法研究［J］.物理學報，2012，61（5）：1－9.

Lai Zhihui，Leng Yonggang，Sun Jianqiao，et al.Weak characteristic signal detection based on scale transformation of Duffing oscillator［J］.Acta Physica Sinica，2012，61（5）：1－9.（in Chinese）

［5］ LüZhongrong，Law S S.Features of dynamic response sensitivity and its application in damage detection［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，303：305－329.

［6］ 楊秋偉，梁超鋒.環境激勵下檢測結構損傷的柔度靈敏度方法［J］.振動、測試與診斷，2011，31（3）：305－308.

Yang Weiqiu，Liang Chaofeng.A flexibility－based sensitivity approach for structural damage detection under ambient vibration［J］.Journal of Vibration，Mesurement﹠ Diagnosis，2011，31（3）：305－308.（in Chinese）

［7］ Bathe K J.Finite element procedures in engineering analysis［M］.New Jersey：Prentice Hall，1982：36－38.

［8］ Tikhonov A M.On the solution of ill－posed problems and the method of regularization［J］.Soviet Mathematics，1963，4：1035－1038.

［9］ 譚繼勇，陳雪峰，何正嘉.采用余弦擬合的隨機共振反演技術研究［J］.西安交通大學學報，2010，44（1）：41－45.

Tang Jiyong，Chen Xuefeng，He Zhengjia.Study of stochastic resonance recovery based on cosine fitting［J］.Journal of Xi＇an Jiaotong University，2010，44（1）：41－45.（in Chinese）

［10］Soyoz S.Health monitoring of existing structure［D］.Irvine：University of California，2007.

［11］曹暉，林秀萍.結構損傷識別中的噪聲模擬［J］.振動與沖擊，2010，29（5）：106－109.

Cao Hui，Lin Xiuping.Noise simulation in structural damage identification［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（5）：106－109.（in Chinese）

［12］李華鋒，徐博侯.隨機共振系統輸出的一種新的反演方法［J］.力學學報，2003，35（2）：194－198.

Li Huafeng，Xu Bohou.A new method to recover the signals obtained by stochastic resonance［J］.Acta Mechanica Sinica，2003，35（2）：194－198.（in Chinese）