局部損傷滾動軸承建模與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動仿真＊

曹宏瑞， 李亞敏， 成 瑋，

（西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室 西安，710049）

引 言

滾動軸承具有較高的旋轉(zhuǎn)精度、承載能力及轉(zhuǎn)速范圍，廣泛應用于機床、航空發(fā)動機、高速列車等機械設(shè)備中。軸承通常是影響機器可靠運行和安全保障的薄弱環(huán)節(jié)。由于非線性Hertz接觸變形關(guān)系、時變剛度以及潤滑效果等因素，在運行過程中滾動軸承表現(xiàn)出很強的非線性特征和時變特征。Sopanen等［1］建立了深溝球軸承的6自由度動力學非線性模型，分別考慮了局部損傷和分布式損傷。Sawalhi等［2-3］基于Hertzian接觸理論建立滾動軸承模型，分別仿真了軸承內(nèi)圈、外圈和滾球局部剝落及粗糙表面的影響。Rafsanjani等［4］建立了解析模型，研究不同表面損傷下滾動軸承的非線性動力學行為。文獻［5］仿真了滾珠進入、離開剝落區(qū)域時的加速度響應信號，可以定量仿真損傷尺寸。關(guān)貞珍等［6］建立了滾動軸承局部損傷動力學模型，仿真分析了軸承存在內(nèi)外圈損傷以及滾子損傷時的動力學特征。

旋轉(zhuǎn)機械中的滾動軸承與其他機械結(jié)構(gòu)（如轉(zhuǎn)子、軸承座）緊密耦合，然而，由故障而產(chǎn)生的瞬態(tài)信號常被干擾信號和環(huán)境噪聲所淹沒。當軸承損傷（如點蝕、剝落）發(fā)生時，產(chǎn)生的沖擊可能會引起不同結(jié)構(gòu)發(fā)生很多不同頻率的振動響應。然而，多數(shù)現(xiàn)有軸承故障模型沒有考慮軸承以外其他部件的影響。

基于Jones軸承理論，建立滾動軸承擬靜力學模型。將滾動軸承模型與轉(zhuǎn)子有限元模型進行集成，建立轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)動力學模型。利用該模型對軸承外圈局部損傷的振動信號進行數(shù)值仿真，并進行了試驗驗證。

1 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)動力學模型

1.1 非線性軸承模型

當軸承在徑向載荷和軸向載荷的作用下高速旋轉(zhuǎn)時，內(nèi)、外圈和滾球的相對位置發(fā)生改變。基于Jones軸承模型，可用圖1來表示軸承內(nèi)部幾何關(guān)系的變化。

圖1 軸承內(nèi)、外圈與滾動體的幾何關(guān)系Fig.1 Geometrical relationship between ball and raceway

根據(jù)勾股定理可得

其中：Xik＝Lsinθ＋ΔXik；Yik＝Lcosθ＋ΔYik；δik和δok分別為滾球和內(nèi)圈、外圈之間的彈性變形量；fi和fo分別為內(nèi)圈、外圈的曲率半徑常數(shù)；D為滾球直徑；下標k為第k個滾球。

在軸承軸線與滾球中心構(gòu)成的平面上對第k個滾球進行受力分析，如圖2所示。第k個滾球在水平方向和垂直方向上的受力平衡方程為

聯(lián)立式（1）和式（2），利用 Newton－Raphson法對未知變量Xbk，Ybk，δik及δok進行求解，進而可利用圖2的幾何關(guān)系計算出接觸角θ。滾球和內(nèi)、外圈間的Hertz接觸力Qik和Qok按式（3）計算

其中：Ki和Ko分別為內(nèi)圈、外圈的接觸力常數(shù)。

將所有滾球與內(nèi)圈、外圈之間的接觸力進行疊加，可得到軸承內(nèi)圈、外圈所承受的合力Fi和Fo。

將力對位移求導即可得到軸承的剛度矩陣

圖2 滾球受力分析Fig.2 Force analysis of ball

1.2 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的有限元模型

轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的有限元模型如圖3所示。圓點代表節(jié)點，用Timoshenko梁單元建立轉(zhuǎn)子和軸承座有限元模型。與轉(zhuǎn)子／軸承座模型類似，用軸承單元來表示軸承，每一個軸承單元包含1個內(nèi)圈節(jié)點和1個外圈節(jié)點。

圖3 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)有限元模型Fig.3 Finite element model of rotor－bearing system

分別將轉(zhuǎn)子和軸承方程集成，得到整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程為

其中：M，C，K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；xt＋Δt，˙xt＋Δt，¨xt＋Δt分別為t＋Δt時刻的位移、速度和加速度向量；Ft＋Δt為外力。

剛度矩陣可以表示為

其中：KR為轉(zhuǎn)子剛度矩陣；KB為軸承剛度矩陣。

矩陣（M，C，K）的詳細描述可參考文獻［7］。假設(shè)t（t≥0）時刻的位移、速度和加速度向量已知，利用Newmark－β時域積分法計算轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的振動響應。

2 軸承局部損傷建模與仿真

2.1 軸承局部損傷建模

當軸承組件含有局部損傷（如裂紋、點蝕、剝落），運轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生瞬時沖擊力。與錘擊產(chǎn)生的沖擊力類似，用三角波模擬軸承損傷產(chǎn)生的沖擊力，如圖4所示。當然，實際中的沖擊力形式要復雜得多。

當含損傷的軸承在運行時，產(chǎn)生一系列近似等距的沖擊力脈沖。力脈沖的重復率等于軸承的特征頻率。對于外圈損傷、內(nèi)圈損傷和滾動體損傷，分別對應滾珠通過外圈頻率、滾珠通過內(nèi)圈頻率和滾珠自轉(zhuǎn)頻率的2倍。

以某軸承（GMN HYKH61914）外圈單點損傷為例解釋軸承局部損傷的建模過程。利用文獻［6］中的公式，計算得到滾珠通過外圈的頻率為298Hz。將載荷施加在徑向，承載區(qū)有一點蝕，如圖5所示。假設(shè)點蝕區(qū)域的面積非常小，并且每次只有1個滾珠通過損傷區(qū)域。當滾珠通過點蝕區(qū)時，產(chǎn)生一系列的振動沖擊響應。

圖4 沖擊脈沖序列Fig.4 Impulse train

圖5 滾動軸承局部損傷Fig.5 Rolling bearing with locolized defect

在工程實際中，測量信號包含有大量的噪聲。為了讓仿真更加逼近實際數(shù)據(jù)，在仿真的沖擊響應信號中添加了正態(tài)分布白噪聲N（0，1）。當外圈發(fā)生損傷，利用Newmark－β積分法仿真的加速度振動響應信號如圖6所示。

圖6 仿真的加速度振動響應信號Fig.6 Acceleration vibration response of simulation

利用Hilbert變換，得到仿真信號的包絡(luò)譜，如圖7所示。從圖中可以看出，軸承外圈損傷特征頻率（fo＝298Hz）和其倍頻可以清晰地提取出來。

2.2 試驗數(shù)據(jù)驗證

圖7 加速度振動響應信號包絡(luò)譜Fig.7 Envelope sepctrum of acceleration vibration response

利用美國 Case Western Reserve University［8］的軸承故障數(shù)據(jù)來驗證局部損傷軸承模型，其試驗臺如圖8所示。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為1 750r／min，軸承外圈損傷的特征頻率是104Hz。

圖8 軸承損傷模擬試驗臺Fig.8 Bearing defect simulation experimental rig

測量的振動信號數(shù)據(jù)和包絡(luò)譜如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)，仿真的振動信號與試驗數(shù)據(jù)有類似的時域波形，每兩個脈沖之間的間隔都等于滾珠通過外圈的周期。圖6（b）中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)外圈損傷頻率成分和其倍頻。在時域和頻域，仿真與試驗均能夠匹配良好，從而驗證了理論模型的正確性。

圖9 振動信號試驗數(shù)據(jù)Fig.9 Experimental data of vibration response

3 結(jié)束語

針對轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)，建立了一個動力學模型仿真軸承表面發(fā)生損傷時的振動響應，并利用試驗對該模型進行驗證。通過將損傷產(chǎn)生的激勵輸入軸承模型，對故障軸承的振動響應進行了數(shù)值仿真，提取出了軸承內(nèi)部發(fā)生局部損傷時的特征頻率，可以為轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的故障機理分析和診斷提供依據(jù)。

［1］ Sopanen J，Mikkola A.Dynamic model of a deepgroove ball bearing including localized and distributed defects—part 1：theory［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part K：Journal of Multi－body Dynamics，2003，217：201－211.

［2］ Sawalhi N，Randall R B.Simulating gear and bearing interactions in the presence of faults－part I：the combined gear bearing dynamic model and the simulation of localized bearing faults［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22：1924－1951.

［3］ Sawalhi N，Randall R B.Simulating gear and bearing interactions in the presence of faults－part II：simulation of the vibrations produced by extended bearing faults［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22：1952－1966.

［4］ Rafsanjani A，Abbasian S，F(xiàn)arshidianfar A，et al.Nonlinear dynamic modeling of surface defects in rolling element bearing systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，319：1150－1174.

［5］ Sawalhi N，Randall R B.Vibration response of spalled rolling element bearings：observations，simulations and signal processing techniques to track the spall size［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25：846－870.

［6］ 關(guān)貞珍，鄭海起，王彥剛，等.滾動軸承局部損傷故障動力學建模及仿真［J］.振動、測試與診斷，2012，32（6）：950－955.

Guan Zhenzhen，Zheng Haiqi，Wang Yangang，et al.Fault dynamic modeling and simulating of rolling bearing with localized defect［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2012，32（6）：950－955.（in Chinese）

［7］ 曹宏瑞.高速機床主軸數(shù)字建模理論及其應用研究［D］.西安：西安交通大學，2010.

［8］ Loparo K A.Bearing vibration data set，case western reserve university ［DB／OL］.［2013－08－10］.http：／／www.eecs.cwru.edu／laboratory／bearing／download.htm.