兩端固定輸流管道的參數(shù)共振實(shí)驗(yàn)＊

陳 兵， 鄧明樂(lè)， 張 靜， 尹忠俊

（北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 北京，100083）

引 言

早在19世紀(jì)末期，就有學(xué)者觀察到流體引起的管道振動(dòng)現(xiàn)象。Paidoussis［1］指出輸流直管存在發(fā)散失穩(wěn)和顫振失穩(wěn)這兩類(lèi)重要失穩(wěn)。在實(shí)際工程中，有壓輸流管道由于控制操作會(huì)在管道中形成脈動(dòng)流，并通過(guò)流體和固體間的耦合作用誘發(fā)管道非線性振動(dòng)，此時(shí)兩端支承輸流管道的動(dòng)力學(xué)特性會(huì)發(fā)生很大變化，可能因參數(shù)共振而動(dòng)態(tài)失穩(wěn)。在國(guó)外，Paidoussis等［2］利用實(shí)驗(yàn)方法證實(shí)了輸流管參數(shù)振動(dòng)的存在。Namachchivaya等［3-4］分別用平均法和多尺度法研究了脈動(dòng)內(nèi)流作用下兩端支承輸流管道諧波參數(shù)共振和組合參數(shù)共振，詳細(xì)闡述了系統(tǒng)發(fā)生參數(shù)共振的機(jī)理。在國(guó)內(nèi)，Jin等［5］同樣利用平均法分析了脈動(dòng)流作用下輸流管道相關(guān)的參數(shù)共振問(wèn)題，并結(jié)合數(shù)值仿真方法研究了在共振區(qū)域內(nèi)幾種典型的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。梁峰等［6］利用傳統(tǒng)接觸式的黏貼應(yīng)變片的方法獲取管道振動(dòng)信息，進(jìn)行了兩端支承管道的參數(shù)共振實(shí)驗(yàn)。筆者在此基礎(chǔ)上，利用該實(shí)驗(yàn)原理，重新搭建并優(yōu)化振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，利用非接觸式激光測(cè)振方法，對(duì)兩端支承輸流管道參數(shù)共振進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，得到的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與平均法算得的理論結(jié)果定性一致。

1 輸流管道參數(shù)共振臨界條件的計(jì)算

兩端固定且豎直放置的輸流管道簡(jiǎn)化模型如圖1所示，其中：V為管道內(nèi)部流體的流速；x和y分別為管道的縱向和橫向位移。

在考慮管道材料的耗散系數(shù)以及重力影響因素的前提下，利用牛頓法，可得到兩端固定輸流管道無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程［5，7］為

圖1 兩端固定管道模型Fig.1 Model of clamped－clamped pipe conveying fluid

考慮脈動(dòng)流的情況，假定流速具有如下的無(wú)量綱表達(dá)形式

其中：u0，μ和ω分別為無(wú)量綱的脈動(dòng)流平均流速、幅值（為小量）和圓頻率。

ω根據(jù)式（3）進(jìn)行無(wú)量綱化處理

其中：f對(duì)應(yīng)為實(shí)驗(yàn)中的有量綱的激勵(lì)頻率。

用如下2階的Galerkin展開(kāi)式［7］對(duì)式（1）進(jìn)行離散

其中：ξ為廣義坐標(biāo)；φr（ξ） 為兩端固定梁的振型函數(shù)。

利用振型函數(shù)正交性［7］，可以獲得離散后的2階微分方程組，經(jīng)適當(dāng)數(shù)學(xué)變換，可以獲得輸流管道振動(dòng)的1階狀態(tài)方程組［5］為

因篇幅所限，此處不給出S，B1，B2，B3和Q的表達(dá)式。根據(jù)文獻(xiàn)［5］中使用的平均法可以得到兩端支承管到第一振型1／2次諧波共振臨界條件

其具體表達(dá)式和計(jì)算過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［5］。

通過(guò)臨界條件式（6），可以計(jì)算出管道因發(fā)生第1階振型1／2次亞諧波共振的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的區(qū)域。

2 輸流管道參數(shù)共振實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要構(gòu)成

根據(jù)參數(shù)共振發(fā)生的參數(shù)要求，搭建了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，主要由動(dòng)力部分、調(diào)控部分、實(shí)驗(yàn)臺(tái)體和信號(hào)采集分析系統(tǒng)4個(gè)部分組成，主要構(gòu)成及空間位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 輸流管道振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Sketch of vibration experiment system of pipe conveying fluid

動(dòng)力部分由離心泵、脈動(dòng)泵和穩(wěn)壓罐組成。離心泵為實(shí)驗(yàn)管道提供循環(huán)水，穩(wěn)壓罐接入離心泵的出口用來(lái)消除離心泵工作時(shí)造成流體擾動(dòng)。脈動(dòng)泵由一個(gè)三相電機(jī)和一個(gè)可調(diào)幅值的活塞組成，電機(jī)驅(qū)動(dòng)連桿機(jī)構(gòu)，繼而帶動(dòng)活塞往復(fù)運(yùn)動(dòng)，形成規(guī)則的輸流管道流體擾動(dòng)，活塞行程通過(guò)電機(jī)主軸處的偏心軸偏心量e的大小來(lái)控制，進(jìn)而改變輸流管內(nèi)流體擾動(dòng)的幅值。

調(diào)控部分由兩個(gè)變頻器組成，分別用來(lái)控制離心泵和脈動(dòng)泵轉(zhuǎn)速，從而控制實(shí)驗(yàn)管路水流流速和脈動(dòng)泵脈動(dòng)頻率。

實(shí)驗(yàn)臺(tái)體主要由實(shí)驗(yàn)管道支架、循環(huán)管道支架、壓力傳感器、水箱、隔振墊片等組成。實(shí)驗(yàn)管道支架用來(lái)支承固定實(shí)驗(yàn)測(cè)試管道，上面布置有滑槽用以固定不同長(zhǎng)度的管道；循環(huán)管道支架用以布置和固定循環(huán)管道，兩個(gè)支架間通過(guò)軟管連接。壓力傳感器固定在循環(huán)管道支架上，用于監(jiān)測(cè)和采集實(shí)驗(yàn)管道入口處壓力信號(hào)。臺(tái)架之間用彈性墊片隔振，盡量減小循環(huán)管道支架部分對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)試管道的擾動(dòng)。

信號(hào)采集分析系統(tǒng)由32通道的LMS SCADAS數(shù)據(jù)采集分析系統(tǒng)和Ploytec OFV－505激光測(cè)振儀組成。LMS數(shù)采系統(tǒng)主要是分析處理管道振動(dòng)信號(hào)，并實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)管道振動(dòng)狀態(tài)。Ploytec OFV－505激光測(cè)振儀的主要優(yōu)點(diǎn)是測(cè)試精度高（位移測(cè)試精度可達(dá)2pm）和非接觸式，前者可以更好地獲取管道參數(shù)振動(dòng)發(fā)生和結(jié)束時(shí)的頻率信息，后者則避免了傳統(tǒng)測(cè)試方法（在管道上布置傳感器或應(yīng)變片）對(duì)管道固有特性的影響，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加精確。圖3是利用激光測(cè)振儀對(duì)實(shí)驗(yàn)管道進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試的現(xiàn)場(chǎng)畫(huà)面。

圖3 輸流管道實(shí)驗(yàn)中的激光振動(dòng)測(cè)試Fig.3 Laser vibration measurement in the experiment of pipe conveying fluid

2.2 實(shí)驗(yàn)主要參數(shù)的測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)測(cè)試部分選用的是兩種尺寸一樣但剛度不同的尼龍管。該類(lèi)管道剛度適中，但直線度較差，需要進(jìn)行矯直處理。筆者將該管在兩端有適當(dāng)預(yù)緊力作用下置于溫度低于其最大工作溫度的高低溫實(shí)驗(yàn)箱中保溫一段時(shí)間，取出后其直線度能滿足實(shí)驗(yàn)要求。然后對(duì)管道外形尺寸進(jìn)行測(cè)量，并利用材料力學(xué)中常用的“懸臂梁撓度測(cè)量原理”測(cè)試實(shí)驗(yàn)管道抗彎剛度。筆者通過(guò)采集管道自由衰減信號(hào)，利用統(tǒng)計(jì)能量分析法獲取管道的無(wú)量綱的黏彈性系數(shù)α。經(jīng)測(cè)量和計(jì)算得到的管道主要參數(shù)如表1所示。

對(duì)管道內(nèi)流平均流速V0和流體脈動(dòng)幅值μ的測(cè)量也是實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵步驟。因?yàn)楣艿纼?nèi)部流體流速與管道入口處的壓力成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故可以通過(guò)測(cè)量在固定壓力值下，某段時(shí)間內(nèi)流經(jīng)管道的水的質(zhì)量來(lái)計(jì)算得到該壓力下的管道內(nèi)流平均流速。進(jìn)行多組不同壓力下的流速測(cè)試，可以擬合出壓力－流速對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)脈動(dòng)泵工作時(shí)，壓力出現(xiàn)波動(dòng)，通過(guò)壓力傳感器和信號(hào)采集系統(tǒng)可以獲得壓力峰值，并通過(guò)壓力－流速關(guān)系找出此時(shí)的流速峰值Vm，再根據(jù)式（7），計(jì)算出該種偏心軸偏心量e對(duì)應(yīng)的脈動(dòng)幅值μ

更換不同偏心量的偏心軸，按上述方法可以找出不同偏心量e與脈動(dòng)幅值μ的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表2所示。

表1 實(shí)驗(yàn)管道主要參數(shù)Tab.1 Key parameters of pipes used in experiment

表2 e與μ的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.2 Relationship between e andμ

2.3 主要實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

測(cè)試前，使管道通水自然伸展，再進(jìn)行固定，即假設(shè)此時(shí)管道預(yù)緊力T為0。在偏心量e一定時(shí)，由小到大增加脈動(dòng)頻率，通過(guò)LMS數(shù)采系統(tǒng)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，觀察管道振動(dòng)的頻譜圖變化。以2號(hào)管在e＝12，V0＝5.6m／s時(shí)的頻譜變化圖為例，進(jìn)行管道第1階振型1／2次諧波參數(shù)共振現(xiàn)象的說(shuō)明，圖4所示為該種條件下LMS數(shù)采系統(tǒng)實(shí)時(shí)采集數(shù)據(jù)所得的頻譜圖。

如圖4所示，當(dāng)激勵(lì)頻率（脈動(dòng)頻率）f＝12.5Hz，頻譜圖中的響應(yīng)頻率只有1個(gè)，即1個(gè)1倍頻f1，且與f基本相等。分析可知，f1為脈動(dòng)泵工作引起實(shí)驗(yàn)管道支架微小振動(dòng)，進(jìn)而致使實(shí)驗(yàn)管道出現(xiàn)強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)頻率。當(dāng)f＝14.2Hz時(shí)，頻譜圖中出現(xiàn)了f的1／2倍頻f1／2，該頻率即為管道出現(xiàn)第1階振型1／2次諧波參數(shù)共振時(shí)的響應(yīng)頻率。繼續(xù)增加激勵(lì)頻率，當(dāng)f＝15.3Hz時(shí)，f1／2的幅值超過(guò)了f1，此時(shí)參數(shù)共振現(xiàn)象較為明顯，管道振動(dòng)的幅值也最大（大約管道1／2半徑值）。當(dāng)f增加到16.6Hz時(shí)，f1／2的幅值又小于f1，管道參數(shù)共振減弱，管道振動(dòng)幅值減小。繼續(xù)增加f時(shí)，f1／2將完全消失，管道經(jīng)歷了一個(gè)完整的參數(shù)共振從開(kāi)始到結(jié)束的過(guò)程。本實(shí)驗(yàn)就是要通過(guò)尋找和記錄管道在不同脈動(dòng)幅值μ下開(kāi)始發(fā)生參數(shù)共振的激勵(lì)頻率fs和結(jié)束參數(shù)共振的激勵(lì)頻率fe，從而在ω－μ平面上擬合出管道第1階振型1／2次諧波參數(shù)共振區(qū)域（結(jié)合式（3）可獲得fs和fe對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱圓頻率ωs和ωe）。

圖4 2號(hào)管在不同激勵(lì)頻率下的頻譜圖Fig.4 Spectrum maps of pipe No.2under different excitations

表3所示數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)中1號(hào)管在一種流速下的記錄結(jié)果和2號(hào)管在兩種不同流速下的記錄結(jié)果。

表3 1號(hào)管和2號(hào)管的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental results of pipe No.1and pipe No.2

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果的對(duì)比

圖5 1號(hào)管在V1時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比Fig.5 Results comparison between experiment and theory for pipe No.1under V1

圖6 2號(hào)管在V1和V2時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果對(duì)比Fig.6 Results comparison between experiment and theory for pipe No.2under V1and V2

根據(jù)表3中的結(jié)果可以在ω－μ平面上擬合出管道第1階振型1／2次諧波參數(shù)共振區(qū)域，并與式（6）計(jì)算獲得的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖5，6所示。在圖中“U”型區(qū)域內(nèi)側(cè)均為兩端固定管道因?yàn)榘l(fā)生第1階振型1／2參數(shù)共振而動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的區(qū)域，“U”型區(qū)域外側(cè)為動(dòng)態(tài)穩(wěn)定區(qū)域。根據(jù)圖5中1號(hào)管在流速V1時(shí)的結(jié)果以及圖6中2號(hào)管在流速V1和V2時(shí)的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果雖存在一定的誤差，但是在定性結(jié)果上是一致的，即失穩(wěn)區(qū)域的形狀是基本一樣的。同時(shí)從圖6中2號(hào)管在兩種流速（V1＞V2）下的理論結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流速減小時(shí)，失穩(wěn)區(qū)域會(huì)向右側(cè)移動(dòng)，而對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也能體現(xiàn)這一變化。以上這些均可以說(shuō)明本實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論規(guī)律是相符的。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差分析

由圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的失穩(wěn)區(qū)域相對(duì)于理論結(jié)果都向右移動(dòng)了，即在脈動(dòng)幅值一定時(shí)，實(shí)驗(yàn)中發(fā)生參數(shù)共振的頻率要高于理論計(jì)算結(jié)果。經(jīng)分析，造成這種誤差的原因主要有：a.管道經(jīng)矯直處理后可能仍存在幾何缺陷，如管道在實(shí)驗(yàn)中可能存在微小幅度的正弦或拋物線形狀的彎曲，這些都會(huì)使管道第1階固有頻率比理想中管道絕對(duì)筆直的理論計(jì)算結(jié)果要大，且這種微小幅度值越大，所造成的誤差就會(huì)越大［8］；b.對(duì)管道兩端進(jìn)行固定時(shí)，管道實(shí)際處于受拉伸的狀態(tài)，即一定幅值的預(yù)緊力不可避免，也使得參數(shù)共振區(qū)域向右移動(dòng)［5］，與理論計(jì)算中認(rèn)為預(yù)緊力為0不同；c.筆者用兩端固定梁的振型函數(shù)替代了兩端固定輸流管的振型函數(shù)，且利用Galerkin法時(shí)存在模態(tài)截?cái)嗾`差；d.實(shí)驗(yàn)物理參數(shù)，如流速、管道抗彎剛度等存在測(cè)量誤差。

同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果獲得的失穩(wěn)區(qū)域要比理論計(jì)算獲得的失穩(wěn)區(qū)域大，這與筆者采用平均法來(lái)求解參數(shù)共振區(qū)域有一定關(guān)系。因?yàn)槠骄ㄗ鳛闈u進(jìn)法的一種只能獲得共振點(diǎn)附近的信息，而在稍微遠(yuǎn)離共振點(diǎn)的地方仍有可能發(fā)生參數(shù)共振［5］。另外，激光測(cè)振高精度的特點(diǎn)使管道第1階模態(tài)1／2次亞諧波共振現(xiàn)象發(fā)生和結(jié)束時(shí)非常微小的現(xiàn)象也被觀測(cè)和記錄下來(lái)，由此得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能更準(zhǔn)確和全面地反映出管道參數(shù)共振范圍，所以在這兩種條件的共同影響下，使得實(shí)驗(yàn)共振區(qū)域最終大于理論共振區(qū)域。

最后，綜合分析主要的實(shí)驗(yàn)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)：管道的筆直度是一個(gè)難以進(jìn)行精確分析且不能忽略的因素；激光測(cè)振的高精度對(duì)微小振動(dòng)的敏感性使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果較容易受到外部因素的干擾。

5 結(jié) 論

1）兩端固定輸流管道在脈動(dòng)流作用下實(shí)際發(fā)生參數(shù)共振的區(qū)域與平均法的計(jì)算結(jié)果有一定差別，這與平均法只能計(jì)算共振點(diǎn)附近的參數(shù)共振有關(guān)，也與流體平均流速的測(cè)量有關(guān)。

2）在允許一些誤差存在的前提下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果是一致的，這在一定程度上證明了管道參數(shù)共振規(guī)律的正確性和本實(shí)驗(yàn)方案的可行性。

3）輸流管道的參數(shù)共振實(shí)驗(yàn)作為非線性振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的一種，涉及到眾多物理參數(shù)（如流體參數(shù)）的測(cè)量，具有復(fù)雜程度高、結(jié)果影響因素的特點(diǎn)，因此對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行合理規(guī)化和先進(jìn)技術(shù)的應(yīng)用十分必要。

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