基于多屬性決策靈敏度分析的供彈機壓彈機構優化設計

楊麗，孫志禮，印明昂，王宇寧

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧 沈陽110819;2.沈陽理工大學 裝備工程學院，遼寧 沈陽110159)

0 引言

多屬性決策是現代決策科學的重要組成部分，其理論和方法被廣泛應用于社會、經濟、管理和軍事等多個領域［1-5］。近年來機械設計領域也廣泛應用這種方法。決策就是為了實現一定的目標，提出實現目標的各種可行性方案，依據評定準則和標準，在多種備選方案中，選出一個方案的過程。在多屬性決策分析中，決策者需要知道決策結果的穩定性，即決策屬性的變化對決策結果，也就是方案排序結果的影響程度。若決策屬性的靈敏度高，則方案排序結果不穩定;若決策屬性的靈敏度低，則方案排序結果穩定。因此，靈敏度分析成為了多屬性決策問題的一個重要研究分支，能夠有效地揭示屬性值以及屬性權重與決策結果的內在變化規律。

國內外眾多學者對多屬性決策的靈敏度分析進行了研究。Starr［6］和Evans［7］研究了方案排序結果不變情況下屬性權重的最大變化區域問題;French等［8］采用最小距離法確定當前最優方案的潛在競爭者;Traintaphyllou 等［9］從最靈敏方案的角度對屬性值和屬性權重的靈敏度進行了研究;Armacost等［10］對基于層次分析法的多屬性決策靈敏度分析進行了研究;國內學者吳超等［11］對區間數的多屬性決策中的權重靈敏度進行了分析;樊治平等［12］提出了基于OWA 算子的群決策方法的靈敏度分析。

多屬性靈敏度分析的研究中大部分都存在這樣一個缺點:更多考慮一個屬性值或者逐一考慮屬性權重變化對決策結果的影響。但是在實際應用中，只對屬性值逐個分析是片面的，由于決策問題中某些屬性之間具有一定的相關性，一個屬性值的變化必然會引起另外一些屬性值的變化。另外，所有屬性權重之和為1，一個屬性權重的變化將引起其他所有屬性權重的變化。針對上述問題，探討了多個相關屬性值或屬性權重同時發生變化時，保持方案排序結果不變的屬性及屬性權重的臨界值或穩定區間。

1 多屬性決策基本理論

1.1 原始決策矩陣

在多屬性決策問題中，P={P1，P2，…，Pm}表示m 個方案的集合，每個方案有n 個屬性，I ={I1，I2，…，In}表示屬性的集合。第i 個方案的第j 個屬性值用aij(i =1，2，…，m;j =1，2，…，n)表示，則A =(aij)m×n為原始決策矩陣。行號表示方案，列號表示屬性。

1.2 規范化決策矩陣

原始決策矩陣規范化的方法常用有線性比例變換法、極差變換法和比重變換法等［13］，考慮到屬性中的某個極值視為常數，將其他屬性值進行規范化處理時，以便進行靈敏度分析。故采用比重變換法來對原始決策矩陣進行規范化處理:

當Ij為效益型屬性時，

當Ij為成本型屬性時，

由(1)式和(2)式得到規范化的決策矩陣X =(xij)m×n.

1.3 方案綜合評價值

屬性集合I={I1，I2，…，In}所對應的屬性權重向量為W = (w1，w2，…，wn)，其中0≤wj≤1(j=1，2，…，n). 則方案i 的綜合評價值為

根據yi的大小，便可得到方案排序的結果，如果則方案優劣順序為?P'm.

1.4 靈敏度分析

將規范化決策矩陣X =(xij)m×n中每個方案所對應的行向量根據方案優劣順序調整為矩陣S=(sij)m×n:

S=(sij)m×n中的第一行行向量所對應的方案即最優方案，依此類推，最后一排行向量對應的方案即最劣方案稱S =(sij)m×n為決策結果排序矩陣。

為了輔助進行屬性值和屬性權重的靈敏度分析，由S=(sij)m×n得到如下形式的矩陣:

由方案的排序即優劣順序可知，R=(rij)(m-1)×n顯然滿足R·(w1，w2，…，wn)T＞0.

當某一方案的某一屬性值或權重向量發生改變時，使R·(w1，w2，…，wn)T這個列向量中的某個元素等于0 或小于0，等于0 時所對應的屬性值或屬性權重值是屬性(或權重)臨界值，基于此建立屬性或屬性權重的靈敏度分析模型。

2 屬性值靈敏度分析

2.1 單一屬性值靈敏度分析

當Ij為效益型屬性時，

當Ij為成本型屬性時，

根據S=(sij)m×n的變化對矩陣R =(rij)(m-1)×n做相應的處理。為了保證在方案的屬性Ij(j=1，2，…，n)對應的屬性值發生變動的情況下，原決策排序結果保持不變，建立如下的線性規劃模型:

2.2 相關屬性值靈敏度分析

上述分析未考慮屬性之間的相關性，但實際多屬性決策問題中的某些屬性之間存在一定的關聯性。對此應用上述分析是片面或者錯誤的，屬性之間的相關性可分為如下3 種情況:

1)某一屬性的增長(或減小)會引起其他若干屬性的增長(或減小);

2)某一屬性的增長(或減小)會引起其他若干屬性的減小(或增長);

3)某一屬性的增長會引起其他若干屬性的增長，同時，也會引起其他若干屬性的減小。

為了分析方便，假設相關屬性是以同樣的變動幅度δ 增長或者減小的。假設方案(i =1，2，…，m)的屬性Ij(j=1，2，…，n)對應的屬性值a'ij的變動幅度為δij，則改變后的屬性值為(1 +δij)，與屬性Ij(j=1，2，…，n)同向變化的屬性Ip(p≠j)對應的屬性值為與屬性Ij(j =1，2，…，n)反向變化的屬性Iq(q≠j;q≠p)對應的屬性值為a'iq(1-δij).

針對屬性相關的3 種情況，對決策結果排序矩陣S=(sij)m×n的處理為:將矩陣S =(sij)m×n中屬性Ij(j=1，2，…，n)、Ip(p≠j)和Iq(q≠j;q≠p)所對應的列向量按(6)式(屬性為效益型)或(7)式(屬性為成本型)進行調整，其他列不變。

然后根據S = (sij)m×n的變化對矩陣R =(rij)(m-1)×n做相應的處理，依據模型(8)式和(9)式便可求出任一方案相關屬性值的變動幅度，同時可得到保持原決策排序結果不變的相關屬性臨界值。

3 改進屬性權重靈敏度分析

與屬性值靈敏度分析不同的是，屬性權重向量W=(w1，w2，…，wn)要滿足:j=1，2，…，n.

3.1 單一屬性權重靈敏度分析

屬性Ij(j =1，2，…，n)對應的屬性權重wj的變化量為σj，則改變后的屬性權重為wj+σj. 為了分析方便，保證屬性權重之和為1，本文以其他n -1個屬性權重平均減少σj的方式來得到調整后的屬性權重向量:

因只探討的是屬性權重變化，故不需要對矩陣S=(sij)m×n和R=(rij)(m-1)×n進行調整。為保證權重向量的改變不會影響原決策排序結果，建立如下的線性規劃模型:

根據模型(11)式和(12)式便可求出任一屬性權重的變化量。進一步可得保持原決策排序結果不變的屬性權重臨界值。

3.2 相關屬性權重靈敏度分析

假設相關的屬性權重為前k(1 ＜k ＜n)個屬性權重，k(1 ＜k ＜n)個相關屬性權重的總變化量為σ，則每個相關屬性權重的變化量為σ/k，以其他n -k個屬性權重平均減少σ 的方式來得到調整后的屬性權重向量:

同樣不需要對矩陣S = (sij)m×n和 R =(rij)(m-1)×n進行調整。為保證權重向量的改變不會影響原決策排序結果，建立如下線性規劃模型:

根據模型(14)式和(15)式求出相關屬性權重的變化量。進一步可得保持原決策排序結果不變的相關屬性權重臨界值。

4 實例分析

武器裝備結構優化常用方法是對已有的幾個方案進行有限元結構分析，按其分析結果擇優選其一，或者是結合實際，建立設計變量、目標函數、約束條件，利用數學求極值方法求解，有限元法選擇方案有限，數學微分求極值常遇到數學上的難題。實際表明本文方法在工程應用上很有效，如20 ～40 mm 小口徑火炮射速高，多聯并裝，瞬間形成密集彈幕，是近程防空反導有效武器，其單管射速可達2 500 發/分鐘以上。這對供彈機設計提出了非常高的要求，強度高，運動行程短，動作敏捷，故障率低，不卡殼，必須精心設計才能滿足要求。

供彈機構供彈過程的協調和默契配合是一個相當復雜的循環機械運動［14］。壓彈蓋板在“上彈—擠彈—下彈”過程中起到很重要的作用，其中任一環節出現問題，都會導致整個供彈系統出現故障。故壓彈蓋板材料性能的優劣顯得尤其重要。壓彈蓋板三維模型如圖1 所示。

圖1 壓彈蓋板模型簡圖Fig.1 The model of projectile pressing plate

為了檢驗上述屬性值和屬性權重靈敏度分析的有效性，以供彈機壓彈蓋板材料的綜合質量評價為例，現有5 批材料作為方案集，即P ={P1，P2，P3，P4，P5}，對每個方案分別考慮表面質量、厚度偏差絕對值(mm)、寬度偏差(mm)、屈服強度(MPa)、抗拉強度(MPa)、伸長率(%)、塑性應變比和應變強化指數共8 個影響材料綜合質量的屬性，即I ={I1，I2，I3，I4，I5，I6，I7，I8}，其中，除厚度偏差絕對值和寬度偏差為成本型屬性外，其余均為效益型屬性。表面質量由專家或檢驗人員根據國家標準及其經驗給出，其余7 個屬性值通過試驗或者儀器檢測的方式給出［15］。該質量評價問題的原始決策矩陣為

應用(1)式和(2)式對原始決策矩陣進行規范化處理得到的規范化矩陣為

由專家根據經驗賦予的屬性權重向量為W =(0.200，0.100，0.080，0.180，0.160，0.150，0.065，0.065). 由(3)式計算每個方案的綜合評價值分別為y1= 0.209，y2= 0.172，y3= 0.234，y4= 0.192，y5=0.193，因此y3＞y1＞y5＞y4＞y2，方案排序為P3?P1?P5?P4?P2.

依據方案排序便可得到決策結果排序矩陣S =(sij)m×n，由(5)式得到R 如下:

4.1 屬性值靈敏度分析

對實例中的壓彈蓋板質量評價問題進行屬性值靈敏度分析，在8 個屬性中，其屈服強度和抗拉強度有一定的相關性，其屈服強度越大，抗拉強度也越大。因此對這兩個屬性應用相關屬性值靈敏度分析的方法進行分析，其余6 個屬性應用單一屬性值靈敏度分析的方法進行分析，且針對屬性為效益型和成本型分別對矩陣S=(sij)m×n和R=(rij)(m-1)×n進行調整，由模型(8)式和(9)式求得的每批壓彈蓋板材料的每個屬性的屬性值變動幅度如表1 所示。

表1 屬性值變動幅度Tab.1 Changes in attribute values

根據表1 中的屬性值變動幅度，同時考慮到屬性值允許取值范圍的上限或下限，屬性值允許范圍參考GB/T5213—2008［16］，得到保持方案排序不變的屬性靈敏度臨界值如表2 所示。

表2 屬性值靈敏度臨界值Tab.2 Attribute value sensitivity criterion

對表2 中的數據進行分析可知，在維持原排序結果不變的前提下:壓彈蓋板2 的表面質量、厚度偏差絕對值以及抗拉強度3 個屬性無論如何變化(在實際允許范圍內)均對原排序無任何影響，可見其綜合質量很差，不能靠這3 個屬性的優化而提升其綜合質量;對于屈服強度屬性，5 批蓋板材料均可取到實際允許的最大值210 MPa，這說明對于排在后面的蓋板要想提升綜合質量，單靠提高屈服強度的措施是做不到的;同時，還可根據每批蓋板材料屬性的屬性值變動幅度大小來得到其最靈敏屬性，屬性值的變動幅度越小，說明該屬性越靈敏，其細微的變化都可能引起排序結果的改變，因此需對該類屬性格外關注，反之，則說明屬性不靈敏，其屬性值的變化對該批壓彈蓋板材料綜合質量的改變沒有太大的影響。

4.2 屬性權重靈敏度分析

對實例中的壓彈蓋板材料質量評價問題進行屬性權重靈敏度分析，與屬性值靈敏度分析類似，對屈服強度和抗拉強度這兩個屬性權重應用相關屬性權重靈敏度分析的方法進行分析，其余6 個屬性權重應用單一屬性權重靈敏度分析的方法進行分析。由模型(11)式和(12)式、(14)式和(15)式求得每個屬性的屬性權重變化量如表3 所示。

根據表3 中的權重變化量，可得到屬性權重的靈敏度臨界值和穩定區間的大小，如表4 和表5 所示。

表3 屬性權重變化Tab.3 Changes in attribute weights

表4 屬性權重靈敏度臨界值Tab.4 Attribute weight sensitivity criterion

表5 屬性權重穩定區間Tab.5 Attribute weight stable interval

對表5 中的數據進行分析可知:在維持原排序結果不變的前提下，塑性應變比、表面質量以及伸長率的權重變化范圍較大，說明這3 個屬性權重相對于原方案排序是不靈敏的;而剩下的5 個屬性權重變化范圍相對較小，說明其對原方案排序靈敏，5 個參數按靈敏度排序為寬度偏差＞應變強化指數＞厚度偏差＞屈服強度=抗拉強度。對于靈敏的屬性權重，說明其對應的屬性值的細微變化很容易引起排序結果的改變，因此在選取時對于靈敏的屬性權重謹慎一些，確保原排序結果不變。

5 結論

多屬性決策靈敏度分析，大多數是逐一對指標的屬性進行分析，當相關屬性權重改變，要對相應的屬性權重向量進行平均修正，并求出權重改變量的極值，對決策矩陣進行了修正，完成了多屬性決策靈敏度分析。

壓彈蓋板設計中取8 個設計參數，作為指標進行相關多屬性靈敏度分析，其中塑形應變比、表面質量和伸長率3 個參數不靈敏，即可以按實際需求在較大范圍內取值，對壓彈蓋板性能影響不大;而其余5 個參數按靈敏度排序:寬度偏差＞應變強化指數＞厚度偏差＞屈服強度=抗拉強度。這為結構設計和選用材料提供有益參考。

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