數學思維品質培養的案例教學

任俊紅

（安徽省合肥市巢湖第一中學，安徽 合肥 238000）

數學思維品質培養的案例教學

任俊紅

（安徽省合肥市巢湖第一中學，安徽 合肥 238000）

思維與數學學習關系密切，因此培養學生的數學思維能力是提高數學效益的關鍵。良好的數學思維平直有利于減輕當下中國中學生學習數學的負擔，提高其學習數學的效率，因而具有重要的意義。本文就如何對數學思維品質的培養進行研究并結合課堂實踐給出了案例分析。

思維品質；深刻性；廣闊性；創新性；批判性

數學教育的主要任務就在于使學生形成完善的思維結構，并借助于這種結構掌握數學知識，提高數學能力。數學思維的教學功能也被越來越多的教師重視，新的數學教學大綱把數學思想方法納入基礎的知識范疇是落實數學素質教育的重大舉措。在數學教學中向學生展示獲取知識、技能及解決問題的思維品質之目的，創造了“客觀”基礎，提供了可能，才能使學生終身受益。本文試舉幾例說明，以供參考。

一、挖掘數學表達式的內涵，發掘思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平以及思維活動的深度。它集中的表現為能透過表面現象和外部聯系，深刻地理解概念，抓住概念定理的核心及內在聯系，準確地掌握概的內涵及使用條件和范圍。揭示問題規律的一個由感性到理性的思維過程。從特殊到一般進行聯想，是培養這一深刻的一個重要方面。

所以z2/y+y2/z+z2/x≥x+y+z（當x=y=z時取等號）

在證出后，可引導學生探索一般的規律，對多個正數是否也有（1）成立呢？

事實上，按證（1）的方法以，同理可證（2），還可進一步思考：對（2）式我們發現左邊各項的分線具有一種特殊的順序。此時可問，分母不具備這種順序是否也有同樣的結論？

引申2：設y1·y2…yn＞0，x1·x2…xn＞0且x1+x2+…+xn=y1+y2+…+yn

這樣使問題層層深入，思維不斷深化。數學思維的深刻性表現在：善于洞察數學對象的本質屬性與相互聯系，能捕捉矛盾的特殊性，從研究材料中發現最有價值的因素。能迅速確定解題策略和各種方法，模式等。在教學中抓住以下幾個過程：（1）對各種數學材料整理的概括過程。（2）對有關數學概念背景，內涵，外延認識的深化過程。（3）對具體數量關系與空間形式的抽象過程。（4）對基本數學觀點與方法的總結過程。

二、多角度思考、探索，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動作用的廣泛和全面的程度，它集中表現為思路寬廣，能從眾多的知識領域和多方面的知識出發，全面的考察問題，作出廣泛的聯想，多角度、多層次、多方位的觀察與思考。在廣泛的范圍內尋求解法，是思路開闊而全面的思維品質。在數學學習中，應要求學生既把握數學問題的整體，抓住它的基本特征，又要求不忽略重要的細節和特殊的因素，放開思路進行思考，解決問題。

分析：觀察待證不等式的結構，抓住其形式特征。

多向地進行聯想，從不同的角度溝通，聯系就得：

聯想1：不等式左邊看成動點p（x，y）到兩定點A（8，3）.B（2，-5）的距離之和.由=10。

聯想2：以動點到兩點距離之和為線索，聯想到橢圓的定義，視長軸2a可變，即2a為參數。令=10且橢圓中2a＞2c故結論成立。

聯想3：向量模的形式與題給不等式左邊有相似性，故想到可用向量不等式證明，即令有

但紅江橙的發展之路卻并不平坦。陳樹華為我們回憶了幾代紅江橙園的命途多舛：“1993年，黃龍病蔓延，兩萬多畝橙樹全部毀滅。1997年種了300多畝，2003、2004年又開始不行了……紅江人不死心啊，從來沒有放棄過！”

聯想4：由聯想3易想到可用復數去證明。可令：

z1=（x-8）+（y-3）i，z2=（x-2）+（y+5）i。則|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|-6-8i|=10這幾種聯想證明既簡潔，又具有獨到之處，如果經常這樣訓練，對開闊學生思路，活躍學生思維大有裨益。另在數學教學中，為了培養學生思維的廣闊性，還可以建構觀，形象的心智圖像，使抽象問題具體化，隱性問題顯性化。

例3.已知△ABC中，角A.B.C的對邊分別是a，b，c。且B=2C求證：b2=c（a+c）。

這是我在教學過程中遇到的一道習題，利用解三角形的知識可以證明，接著利用直觀，形象的心智圖像。有如下解法：

方法1（圖1）：如果把b2=c（a+c）看成b/c=（a=c）/b，則會出現“相似三角形”的形象。

方法2（圖2）：如果把b2=c（a+c）看成b·b=（a+c）·c，則會出現“相交弦定理”的心智圖像。

方法3（圖3）：如果把b2=c（a+c）的特點，也會聯想到“圓的切割線定理”。

從以上幾個方面進行分析，學生當時大為感嘆！不但提高學生的聽課興趣，而且能使初高中的數學知識得以銜接。

數學思維的廣闊性主要體現在：一題多解，一題的多種解釋，加強變式訓練。選擇典型問題，或從條件入手，或從結論入手進行變遷，得到一系列結構相互聯系，解題思路逐步深入的題組。所以教師在教學過程中對學生思維廣闊性的培養應注重在“一題多變”上進行，這樣既開拓了學生的思路，鞏固了學生的知識，還可以激發學生學習的積極性，提高了他們學習數學的興趣。

圖一

圖二

圖三

三、廣泛聯想，發揮想象力，活躍數學創新思維

在數學教學中，應重視對學生聯想思維的訓練，能將定議或屬性相距甚遠的兩個事物聯想起來思考，打開思維的通道，突破思維的定式。教會學生分析、觀察、類比，引導學生學會轉化，掌握聯想法則，把學生思維的變式、發展、求異等優秀的思想品質在解題中落到實處。培養學生大膽猜想，勇于探索，嚴謹求實的創新思維。

在高中數學教材p16，有這樣的不等式：

例4.求證：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）。

再介紹運用比較法，分析法，綜合法后，引導學生進一步思考。

思考1：如果把不等式兩邊乘以4，與判別式b2≤4ac類似，由此可構造二次函數f（x）=（a2+b2）x-2（ac+bd）x+（c2+d2）=（ax-c）2+（bx-d）2≥0

從而Δ≤0即證。

思考2：如果把不等式兩邊同開方，可想到向量的模。

在中學，思維的創新性更多表現在發生矛盾以后，把知識融會貫通，以進攻的姿態，突破矛盾，最終解決問題。在平面向量的教學中，學生向我求解這樣一道習題。

例5.求證：sin0+sin（2π/n）+sin（4π/n）+sin（6π/n）+…+sin（2n-2）π/n=0。

分析：該題純從三角去考慮，是較煩瑣的。如果想到單

位圓上的點A（kcos2kπ/n·sin2kπ/n）。而點Ak又對應著向量命題轉化為即可。又向量可視為力fk進而想到大小一樣終端分布在正n邊行的n個頂點上的共點于正n邊行中心的力系其合力為零。故所以sin0+sin（2π/n）+sin（4π/n） +sin（6π/n）+…+sin（2n-2）π/n=0且cos0+cos（2π/n）+cos（4π/n）+…+cos（2n-2）π/n=0證明（略）用數學方法解決物理總是似乎理所當然，但反過來用物理方法去解決數學問題是不太被人們重視，但對有些問題這樣去做不僅解法新穎，具有創新性，而且強化了各科之間的相互聯系、相互滲透，這無疑是為培養思維創新性的優良品質提供鍛煉機會。

四、培養思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程。在數學教學中，學生思維的批判性表現為愿意進行各種方式的檢驗和反思。對已有的數學表述或論證能提出自己的看法，不是一味盲從，思想上完全接受了東西，也要謀求改善提出新的想法和見解可從這幾方面入手：（1）培養學生解題后的反思習慣，就是培養學生對解題活動進行回顧，思考，總結，評價，調節也就是對經驗和教訓的反思。（2）教學中經常進行改錯訓練，教學中教師經常出一些改錯題，讓學生討論改正，有助于學生形成思維的批判性。（3）教學中經常提倡學生不要迷信書本，不要迷信老師，要有自己的獨立思考，敢于提出不同的見解。總之，思維品質的培養是一個長期的過程，不能立竿見一蹴而就，它艱巨而復雜。在教學中引導學生對問題的直覺感悟、探索、猜想、證明，培養學生的科學精神，創新能力，形成良好的數學思維習慣和用數學的意識，感受數學創造的樂趣，增進學好數學的信心，獲得對數學較為全面的體驗和理解，為培養學生綜合運用知識，解決問題提供機會。

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G633.6

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1674-9324（2014）04-0113-03

任俊紅（1977-），男，安徽無為人，中學教師。