重視高中數學課堂例題教學培養學生創新思維

杜亞強

一、困惑

在例題講授時，學生的表現幾乎都是在等老師的“幫助”和所謂的啟發講授；在知識點小結概括時，學生在等老師的歸納、記老師的板書。當教師提出一個相關的探索問題后，學生們不是積極地思考、主動地舉手發言，而是怕被提問到的模樣，這樣就缺少了學生積極主動思維的參與的課堂，教學效果大打折扣。

二、反思

出現上述情況涉及方方面面，但例題教學本身值得反思，數學的例題是知識由產生到應用的關鍵一步，即所謂“拋磚引玉”，然而很多時候只是例題繼例題，缺少整合，解后并沒有引導學生進行反思、追問，因而學生的學習也就停留在例題表層，形成不了觸類旁通的遷移能力，出現上述情況也就不足為奇怪。例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內容。下面筆者就對蘇教版必修5第1章《解三角形》的教學談一些自己的想法。

三、對策

（1）在方法規律處反思。“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發展思維的目的。善于做解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步做一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的。

例1：△ABC中，A、B的對邊分別是a、b且A=600、a=■、b=2，求角B。

解法一：由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■或1350。

因為B=1350與三角形內角和為1800相矛盾，所以B=450。

點評：這種解法是直接法，利用三角形內角和進行判斷取舍，這樣符合思維習慣，但忽視“三角形內角和”這個隱含條件很容易出錯。

解法二：因為a>b？圯A>B，所以B必為銳角。

由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■。

點評：這種解法需熟悉幾何關系，先判斷解的個數，再求解，這樣便于很好地突破難點，正是所謂“謀定而后動”。

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數量關系，用不同解法求得相同結果的思維過程。教學中適當的一題多解，可以激發學生去發現和去創造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，發展學生的創新思維。

變式1：△ABC中，A、B的對邊分別是a、b且A=300、a=■、b=3，求角B。

（這是一道類比題，讓學生加強對題目條件的審視比較）

變式2：△ABC中，A、B的對邊分別是a、b且A=450、a=x、b=2，若解三角形時有兩解，求x的取值范圍。

（與前面相比，要求又提高了，將特殊問題轉化為一般問題，使數學知識得到了濃縮和升華）

變式就是創新，恰當地變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法，通過多問、多思、多用、辯錯等，能激發學生思維的積極性和獨創性。

（2）在學生易錯處反思。錯誤是學生在學習過程中自然存在的一種現象。在教學中企圖讓學生完全避免錯誤是不可能的，也是不現實的。事實上，錯誤一方面可以充分暴露學生思維的薄弱環節，有利于對癥下藥；另一方面，錯誤里也有價值，是正確的先導，錯誤在許多時候比正確更有教育價值。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果。

例2：△ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c且A=600、a=7、cosC=■，求邊b。

錯解：cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA？圯b2-8c+15=0得b=3或b=5。

點評：這個解法看上去無懈可擊，而且與其他解法相比這個解法是較為簡捷的。

其實這題細細品味就不難發現問題了，由題意三角形兩角（即三角）和一邊已知，所以三角形就確定了，因此本題只有一解。

錯因分析：解題中所用的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，條件為兩邊及一邊對角，由上例的解法可知可能有兩解。然而大多數學生忽視了角C也為已知角這個條件，解三角形因而受到進一步限制。

對癥下藥：方案一，可利用角進行驗證。方案二，已知兩角求出cosB，兩邊及夾角直接用余弦定理求出邊b。

正解：（方案一）當a=7、b=3、c=8時，cosC=■=-■（舍去）；當a=7、b=5、c=8時，cosC=■=-■，則b=5。

（方案二）cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

所以，cosB=-cos（A+C）=■，b2=a2+c2-2accosB=25，則b=5。

在實際教學中我們經常會碰到這樣的現象：針對錯題，教師講解很詳細，效果卻不一定好，遇到類似情況，錯誤又會“濤聲依舊”。學生表面上懂了，實質上沒有真正理解數學知識的本質含義，沒有把顯性的解題技巧內化為默會的隱性能力。

（3）在情感體驗處反思。因為整個的解題過程并非僅僅只是一個知識運用、技能訓練的過程，是學生整個內心世界的參與過程。他可能是獨立思考所得，也有可能是通過合作協同解決，既體現了個人努力的價值，又無不折射出集體智慧的光芒。

四、結論

學習反思是學生以自己的學習活動為思考對象，主動自覺地對自己的學習行為、決策以及由此產生的結果進行審視和調控。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力?！薄陡咧行抡n程標準》強調反思“有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和作出判斷”。學習反思，猶如一面鏡子，能幫助學生清晰地認識自己、理解自己，并在此基礎上實現自我更新和重建，培養他們的創新思維，從而提升他們的數學學習水平和解決數學問題的能力。

（江蘇省宜興市第一中學）