例談換元法在高中數學中的應用

鞏誠德

摘 要：換元法是高中數學學習中重要的解題方法之一，利用換元法可以將數學中的難題化繁為簡，提高數學解題的效率。教師要研究幾種換元法在高中數學試題中的應用實例，以期能夠起到拋磚引玉的作用。

關鍵詞：高中數學；換元法；應用

數學思想和方法的考查是對數學知識在更高層次上抽象和概括的考查，考查時要與數學知識相結合，通過數學知識的考查，反映考生對數學思想和方法的理解。本文通過幾種類型的數學試題分析數學換元法的實際應用，以培養數學教與學過程中的換元思想，提高數學教與學的效益，真正地實施有效教學。

一、換元法概念

在解決數學問題時，依據所需要求解問題的特征，把某個式子作為一個整體，用一個變量去代替它，這就是換元思想，其解題的方法我們稱之為換元法。換元的實質是通過映射轉移、通過構造元和設元，進行等量代換，將問題轉移到新對象的知識背景中去研究，把分散條件聯系起來、隱含條件顯示出來，或者把生疏的形式變換成熟悉的形式，把非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，并可使超越式轉化為有理式、高次式轉化為低次式，從而實現變未知為已知、化繁為簡、化難為易、便于理解，提高解題的效率。

二、換元法在高中數學解題中的應用

換元理念滲透到高中數學中，即是體現數學解題中的換元思想。下面，本文就通過換元思想來解決高中數學中的部分具體問題，闡述換元思想方法的方法論意義，表明其對培養與提高學生解題能力的重要作用，以供參考。

例1 三角換元與均值換元的應用。

實數x、y滿足4x2-5xy+4y2=5 （ ①式） ，設S=x2+y2，求■+■的值。（1993年全國高中數學聯賽題）

【分析】 由S=x2+y2聯想到cos2α+sin2α=1，于是進行三角換元，設x=■cosay=■sina，代入①式求S■和S■的值。

【解】設x=■cosay=■sina代入①式得：4S-5S·sinαcosα=5， 解得 S=■。

∵-1≤sin2α≤1， ∴3≤8-5sin2α≤13。∴■≤■≤■。

∴■+■=■+■=■=■。

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α=■的有界性而求，即解不等式：|■|≤1。這種方法是求函數值域時經常用到的“有界法”。

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x2+y2與三角公式cos2α+sin2α=1的聯系而聯想和發現用三角換元，將代數問題轉化為三角函數值域問題。

例2 換元法在方程和方程組中的應用。

換元法在解高次方程、分式方程、無理方程的過程中都可以應用，其要點是把方程中的一些表達形式相同的部分看成一個整體并設新的字母表示，從而達到化簡方程并把原方程化歸為已經會解的一元一次或一元二次方程的目的。

注意：換元的關鍵是善于發現或構造方程中表達形式相同的部分作為換元的對象。在解方程的過程中換元的方法常常不是唯一的，解高次方程時，只要能達到降次目的的換元法都可以用。

解方程（x2+2x）2-14（x2+2x）-15=0。

解：設x2+2x=y，則原方程就變成y2-14y-15=0， ∴（y+1）（y-15）=0？圯y1=-1，y2=15。

當y=-1時， x2+2x=-1？圯x2+2x+1=0？圯（x+1）2=0？圯x1=x2=-1；

當y=15時，x2+2x=15？圯x2+2x-15=0？圯（x+5）（x-3）=0？圯x3=3，x4=-5。

即原方程的解為x1=x2=-1，x3=3，x4=-5。

說明：在這個例題中用換元法把高次方程化為低次方程，解方程就容易多了。

三、換元法給我們的啟示

換元法作為高中數學中解題的重要方法之一，通過換元方法可以讓一些非標準化的問題變得標準化，讓復雜的問題變得簡單化，對于解題可以起到很好的效果。同時，學生學會通過換元法考慮數學問題，可以有效地提升他們的數學解題效率，培養他們的解題能力，提高解題速度。

參考文獻：

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（甘肅省通渭縣馬營中學）