馬特拉算法在遙測數據短期預測中的應用

任國恒，朱 變，朱 海

(周口師范學院計算機科學與技術學院，河南 周口 466001)

0 引 言

遙測數據直接反映了衛星在軌運行的狀態.衛星的遙測數據具有非平穩變化的特點，而具有非平穩性的遙測數據的各階常用統計量(如均值、自相關函數等)經常隨時間的變化而改變[1]，這給遙測數據的預測帶來了很大的困難.傳統的預測方法，如自回歸模型(Auto-Regressive model，簡稱AR)、自動回歸移動平均模型(Auto-Regressive and Moving Average model，簡稱ARMA)等常用預測模型，適合處理平穩的數據[2]，對于非平穩的數據不能滿足預測需要.

筆者通過對衛星歷史遙測數據分析研究建立適用于非平穩時間序列的預測模型，對遙測參數的未來趨勢進行短期預測，通過預測遙測數據序列潛在的故障趨勢，為指導故障發生前的正確決策提供重要支持[3]，降低衛星潛在的風險，提高衛星運行可靠性.

筆者以衛星運行期間太陽翼的輸出功率數據為研究對象.太陽翼的輸出功率序列具有隨機性和一定的周期性，這是不同頻率分量的疊加結果.遙測數據的不同頻率分量可分兩部分，即慢變和快變，其中慢變部分反映了序列主體，快變部分體現了序列的細節[4].對遙測數據進行短期的預測要求能夠捕捉到在時域上表現瞬時、隨機的分量.由于遙測數據的趨勢中心隨時間變化，傳統的時域分析方法不能準確分析瞬時、隨機的分量變化規律，而小波分析可對遙測數據信號中的頻率分量進行粗細分離.

1 小波變換相關工作

采用多分辨率分析思想用小波變換對遙測數據序列進行分解，得到反映序列主體變化的低頻分量和代表序列細節的高頻部分[5].遙測數據原始序列根據所選擇的小波基函數和適宜的分解尺度被分解為頻率不同的分量，各分量在長度上與原序列保持一致[6].低頻分量代表原始序列中基本不變的主體部分[7]，即太陽翼基本輸出功率；高頻分量表示原序列中的瞬時、隨機的分量，即太陽翼隨機輸出功率.

1.1 小波基選擇

在工程應用中小波函數除了要滿足容許條件和正則性條件，還要滿足以下3個條件：良好的緊支撐性；Ψ(t)具有消失矩；滿足正交性.常用的小波函數，如Morlet、Mexican小波函數不存在尺度函數，即不滿足正交性；Haar小波在時域上不是連續的，不適合做小波基.筆者選擇dbN(Daubechies小波)小波函數做小波基，dbN小波是具有高階消失矩的緊支集正交小波函數，階數N的具體取值通過小波變換對實際序列分解的結果判定.

圖1是某同步衛星太陽翼輸出功率序列采用dbN小波在N取1、2、3時進行分解后，近似部分與原序列的比較結果.N為3時，較好的體現了序列的變化趨勢，且趨勢中的突出點被保留下來；N為1、2時，序列的平滑度不利于分量預測模型的建立.所以，選擇db3小波作為小波基對原序列進行分解.

圖1 dbN小波分解結果Fig.1 Decomposition result based on dbN

1.2 分解尺度研究

遙測數據的變化是緩變和快變結合，與之對應的是長度周期嵌套.這是時間序列的能量集中分布在一些頻率帶上的結果[8].因此，將不同的頻率分量分開，使其變化規律更加直觀.

對遙測序列進行分解結果是將原序列分解為幾個細節部分和一個近似部分.分解尺度偏大，序列的采樣密度會變稀，序列的主體曲線會越來越平滑，導致獲得的近似序列失真；分解尺度若偏小，序列的主體變化趨勢又不太明顯，不易觀察到各分量的變化規律[9].

圖2是經db3小波分解后的近似部分aN在不同尺度下的分解結果.分析圖2發現分解尺度

圖2 不同分解尺度下近似部分比較Fig.2 Comparation of aN with different scale

為2時，近似部分的曲線a2已經足夠光滑，同時保持了原曲線的形狀；而a3、a4隨著分解次數的增加，采樣點減少，所得曲線過分平滑，序列的變化趨勢已失真，因此本文選擇的分解尺度為2.

2 基于小波變換的預測模型構建

2.1 周期自回歸模型

若有一時間序列X，表達式為

Xt=a0t+a1tXt-1+…+aptXt-p+εt

(1)

滿足以下條件：

XKT+T=a0T+a1TXKT+T-1+…+

apTXKT+T-p+εKT+T

(2)

a01+a11Xn+…+ap1Xn-p-1

(3)

(4)

對于遙測數據分解序列建立一小時預測模型，選取周期的長度為60，即p=T=60.負荷序列的PAR模型如式(5)：

(5)

遙測數據短期預測模型共有未知參數(p+1)T個，記為

a(i)=(a0,i,a1,i,…,a60,i)

(6)

式(5)中的未知參數可由式(6)確定.已知ai擬合式(5)的殘差平方和定義為

St=

[Xn+k-a0,kXt(k-1)-…-a60,kXt(k-60)]2

(7)

j=0,1,2,…,p

(8)

2.2 遙測數據短期預測模型

利用馬特拉(Mallat)小波變換算法和db3小波基對太陽翼輸出功率數據序列進行2尺度的分解，圖3是對4小時內的輸出功率負荷的原始序列和進行分解后的小波分量結果.

圖3 太陽翼輸出功率數據分解結果Fig.3 Decomposition result of solar panel output power

從圖3可以看出對數據進行2尺度分解后，得到的低頻數據a2具有較強的周期性，這是因為低頻數據反映原序列的主體信息，變化規律較強；高頻數據d1、d2體現原序列的細節，是待分解序列中變化較快的部分.

由于分量d1、d2和a2的曲線變化特征不同，應根據不同分量的特點構建預測模型.筆者對各個子序列作如下區別對待：

(1)主體信息a2周期性顯著，變化相對平緩，對分解得到的15個點進行周期自回歸預測；

(2)高頻分量d1、d2隨機性較強，為提高預測的實時性，高頻部分采用二次指數平滑法進行預測.

指數平滑法由R.G.Brown提出，該算法的優點是預測模型構建過程中只需少量的歷史數據，計算量小，便于實時預測.模型建立過程中是利用算法對原始時間序列的不規則性進行平滑，獲得原序列的變化規律和趨勢，對未來某時刻的數據進行預測，更多的考慮數據的更新.指數平滑法計算公式如式(9)：

Yt=yt=axt -1+(1-a)yt -1

(9)

式(9)中:xt -1、yt -1分別是t-1時刻的實際值和預測值；yt為t時刻的平滑值；Yt為t時刻的預測值；a為平滑系數，取值范圍為0

Yt=yt=

axt+(1-a)[yt -1+(yt -1-yt -2)]

(10)

式(10)中:xt為t時刻的實際值；yt為t時刻的二次指數平滑預測值；yt -1、yt -2為t-1時刻的一次指數平滑值；一次指數平滑與二次指數平滑區別是二次指數平滑利用一次指數平滑得到的預測值來建立預測模型.二次指數平滑的預測模型為：

(11)

指數平滑法對高頻數據預測時平滑系數a根據時間序列的情況在0～1之間選擇.由圖3可以看出高頻數據的變化的隨機性很大，筆者在實際計算中將a的取值范圍定在了0.6～0.8，對平滑參數a取不同值時高頻序列d1、d2進行預測后的均方根誤差分析發現，序列d1、d2在a=0.8時，均方根誤差最小，因此，筆者在進行實際計算中取平滑參數a值為0.8.

針對太陽翼輸出功率所建立的基于Mallat算法的時間序列預測模型框圖如圖4所示.

圖4 基于Mallat算法的預測模型框圖Fig.4 Forecasting model based on Mallat algorithm

3 遙測數據預測實例分析

基于構建的模型對所研究某衛星2011年1月12日11:00至15:00這4小時太陽翼輸出功率為歷史數據輸入模型，對未來15:00至16:00這1小時內輸出功率進行預測.圖5為低頻數據a2和高頻數據d1、d2的預測結果.

圖5 低頻數據a2和高頻數據d1、d2的預測結果Fig.5 Prediction result of a2 and d1、d2

對各分量序列進行重構的預測值與原始輸出功率趨勢進行對比的結果如圖6所示.

圖6 基于Mallat算法的預測值Fig.6 Forecasting value based on Mallat algorithm

通過實際的太陽翼輸出功率的變化趨勢與預測值的對比分析發現預測結果的邊界和突變的趨勢不是很理想.

Mallat算法對序列進行分解時，每分解一次都要進行二元抽樣，使得序列不能在每個時間點上建立直觀的尺度關系，影響了對突變點的預測.另外，小波變換算法都是建立在多分辨分析的基礎上的，在快速Mallat算法中每次進行小波變換時都把序列看成是無限長的，但是在實際的應用中，輸出功率序列是有限的.所以，待預測序列在經Mallat小波變換算法分解時會對序列進行延拓，這就使得在對各個子序列進行重構時，小波變換后的低頻部分和高頻部分的數據總數將大于原始輸入序列的長度；并且這種情況在濾波器長度增大時，數據量也會隨之增大，顯然會引起邊界數據不可信，在重構預測結果時導致峰值和谷值的預測誤差也較大.通過上面的分析可知，預測誤差是由以下3種原因產生的：

(1)用Mallat進行序列分解時因抽樣產生的誤差；

(2)輸入的序列長度有限，而經小波變換算法后使各個子序列的長度增加，并將此數據作為了各個序列預測的初始值；

(3)各子序列的預測結果進行重構時，在進行小波逆變換時并沒進行數據的壓縮，沒有實現精確的重構從而產生預測誤差.

Mallat算法自身產生的誤差無法消除，針對后兩種情況的解決方案是在對序列進行分解前，先對序列的邊界進行延拓.在小波分析中常用的邊界延拓方法有零延拓、周期延拓、平滑延拓等.由于太陽翼輸出功率本身就有一定的周期性，所以筆者選用周期延拓對序列進行邊界的延拓，周期延拓的思想是將信號看成是一個周期信號.

具體的處理工作如下：

(1)對序列進行小波變換前先對序列進行邊界延拓，使其成為無限長的序列，讓序列通過濾波器并進行隔點抽樣，保證盡可能不丟失信息的情況下，對各個子序列適當的截取低頻部分和高頻部分，以保證序列的數據總量不變；

(2) 在重構前先對有限的子序列延拓，然后進行向上的抽樣并濾波，對濾波后的結果進行適當的截取，恢復原信號.

圖7 修正后的預測值Fig.7 Corrected forecasting value

由圖7可以看出，在對序列進行延拓后再做小波變換，所得的預測結果要比直接做小波變換所得預測結果的邊界吻合效果更加理想.

對筆者提出的預測模型和常用的指數平滑模型的性能進行分析評價.以平均絕對誤差、均方值誤差、計算時間、最大誤差為評價的指標，分別對未來1小時的輸出功率進行預測.經計算，基于Mallat算法的預測時間為25.76 s，平均絕對誤差為1.545，最大誤差為5.196，均方根誤差為1.891；指數平滑模型的預測時間為18.76 s，平均絕對誤差為1.418，最大誤差為5.996，均方根誤差為2.040.由此可見，筆者提出的預測模型在預測精度上具有明顯的優勢，預測時間相對增加的原因是原始序列需要經過頻率分解，增加了計算量，但在衛星遙測數據的短期預測應用中，預測的精度是預測模型性能的主要評價指標.

4 結 語

筆者依據衛星遙測數據短期預測的要求和意義，對遙測數據特性進行了分析，針對遙測數據具有非平穩性和一定周期性的特點，筆者提出了基于Mallat算法對遙測數據序列進行分解的方法，將序列中的分量分解到不同的頻率帶上，非平穩序列簡化為變化緩慢的平穩序列和一些特殊的序列的分量組合.針對每個分量的變化特點建立合適的時間序列預測模型對各個子序列進行預報，并將各個子序列的預測結果采用小波變換的逆算法進行重構，依據模型，以歷史輸出功率數據為源數據對未來1小時的輸出功率進行預測，并進行驗證分析，得到理想的預測結果，表明筆者提出的預測方法可以有效的解決遙測數據的短期預測問題，滿足了工程應用需要.

致 謝

本研究在開展、實驗驗證分析過程中和論文撰寫過程中，西安工業大學于帆教授提出了很多寶貴的建議，謹致謝意.感謝國家自然科學基金委員會對本研究提供的資金支持.

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