復合射孔爆燃氣體壓裂裂縫起裂擴展研究*

李海濤,羅 偉,姜雨省,張俊松

(1.西南石油大學油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都 610500； 2.中海油能源發展股份有限公司工程技術分公司，天津 300452； 3.中石化石油工程西南有限公司井下作業分公司，四川 德陽 618000)

復合射孔技術的基本原理是通過先引爆射孔彈成孔，推進劑隨后燃燒產生大量的高溫高壓氣體，這樣在射孔的同時對地層進行高能氣體壓裂，使其在地層中形成一種孔縫結合的徑向多裂縫體系，有效解除地層污染，從而達到增產增注的目的[1-2]。復合射孔優化設計和增產增注效果評價的前提條件是裂縫起裂擴展的準確預測，由于射孔彈炮轟產生的初始裂縫的存在，使復合射孔的裂縫起裂擴展研究不能采用傳統的水力壓裂裂縫起裂判據[3-4]。目前學者們對爆燃氣體壓裂裂縫起裂擴展進行了一些研究：R.H.Nilson等[5-8]、L.Petitjean等[9]、W.Y.David等[10]基于準靜態理論建立了爆燃氣體驅動裂縫擴展模型及其數值求解方法，但并沒有對裂縫起裂與止裂過程進行模擬分析；王家來等[11]、楊小林等[12]將損傷力學和斷裂力學相結合，建立了裂縫尖端斷裂的損傷局部化模型；陳莉靜等[13-14]推導了高地應力約束條件下裂縫尖端應力強度因子，得到了裂縫起裂擴展條件，并分析了裂尖動態效應對裂縫起裂擴展的影響；李寧等[15]基于動態接觸界面模型用有限元的方法模擬了爆燃氣體驅動裂縫起裂擴展過程。國內這些學者的研究都是在假設縫內氣體壓力分布解析表達式即縫內氣體壓力分布已知的基礎上對裂縫的起裂擴展過程進行分析，但實際上縫內氣體壓力分布涉及到爆燃氣體在縫內的紊流流動、巖石的動態響應及爆燃氣體壓力的動態變化等多層次耦合求解問題，因而簡單地假設縫內氣體壓力分布得出的模擬結果不能真實地反映實際情況。

本文中，作者在前人研究的基礎上，首先運用線彈性斷裂力學理論建立裂縫起裂擴展的裂縫尖端應力強度因子判據，然后運用流體力學和彈性力學理論分別建立爆燃氣體在裂縫內流動的基本運動微分方程和裂縫寬度控制方程，通過建立與多個變量相關的縫內氣體壓力分布函數，利用迭代法實現該耦合模型的數值求解，模擬爆燃氣體壓裂裂縫的起裂擴展與止裂過程，并分析不同特征參數對它的影響，以期為復合射孔優化設計提供參考與理論指導。

1 裂縫尖端應力強度因子判據

由斷裂力學理論可知，對于一對雙翼裂縫，裂縫尖端應力強度因子[16]為

(1)

式中：L為裂縫長度，θ為裂縫內任意給定處的相對位置，p(θ)為裂縫內θ處的氣體壓力，σ為地應力，rw為井筒半徑。

其中權函數f(θ,L/rw)與裂縫幾何形狀和井筒半徑相關：

(2)

從式(1)可以看出，裂縫尖端應力強度因子與縫內氣體壓力分布、地應力及裂縫長度有關。

與直井水力壓裂產生雙翼裂縫不同的是，復合射孔在近井地帶通常要產生3～6條裂縫，多裂縫對裂縫尖端應力強度因子的影響可以在權函數f(θ,L/rw)上再引入一個與裂縫條數相關的乘子fN，其中fN的表達式為

(3)

(4)

式中：N為裂縫條數。

根據線彈性斷裂力學理論，對于帶有裂隙的巖石，判斷其是否斷裂應該采用K判據，即裂縫起裂擴展條件為

KI≥KIC

(5)

式中：KIC為巖石斷裂韌性，它表征了巖石阻止裂縫起裂擴展的能力，是巖石抵抗脆性破壞能力的一個韌性指標。對于同一種巖石，在一定的條件下，KIC為一個常數。

2 裂縫內氣體流動方程與縫寬控制方程

模型建立時作如下假設：

(1)在裂縫擴展過程中地層應力場是穩定的，且地層各向均質同性；

(2)非彈性響應僅限于在裂縫尖端很小的區域內；

(3)裂縫內氣體的流動是等溫流動，不考慮氣體與地層的熱交換；

(4)形成的裂縫為高度恒定的楔形徑向裂縫。

2.1 裂縫內氣體流動方程

爆燃氣體在裂縫內流動的連續性方程為

(6)

爆燃氣體在裂縫內流動的動量守恒方程為

(7)

式中：ρ為裂縫內氣體密度，w為裂縫寬度，u為裂縫內氣體的流動速度，v為裂縫內氣體的側向滲濾速度，p為裂縫內氣體壓力，λ為裂縫壁對氣體的摩阻系數。

式(7)左邊部分代表了爆燃氣體在裂縫內流動的慣性作用，因爆燃氣體驅動裂縫擴展被視為一個準靜態過程，因此在實際分析過程中慣性作用可以忽略，這樣式(7)就變成了爆燃氣體沿裂縫的壓力梯度與摩擦力之間的一個平衡方程。

爆燃氣體在裂縫內的流動為紊流流動，其摩阻系數

(8)

式中：ε為裂縫表面粗糙度，a=0.1，b=0.5。

裂縫內爆燃氣體的側向滲濾速度

(9)

式中：pr為地層壓力,k為地層滲透率,φ為地層孔隙度,μ為裂縫內氣體黏度,β為氣體壓縮系數,t為裂縫擴展時間,τ為爆燃氣體到達裂縫任意位置處的時間。

可壓縮氣體的狀態方程為

(10)

式中：R為摩爾氣體常數,T為氣體溫度,Mg為氣體相對分子質量,Z為氣體偏差系數。

2.2 縫寬控制方程

根據彈性力學理論，裂縫內任意給定處的縫寬為

(11)

式中：ν為泊松比,G為巖石剪切模量,θ1和θ2為裂縫內不同處的相對位置。

同樣多裂縫對縫寬的影響也在權函數f(θ,L/rw)上再引入乘子fN，其中fN的表達式不變，f∞變為

f

(12)

3 裂縫起裂擴展數值求解

3.1 縫內氣體壓力分布函數

根據爆燃氣體在裂縫不同位置處的衰減特點[8]，將縫內氣體壓力分布函數p(θ,t)表示為：

(13)

圖1 縫內氣體壓力分布的2種情況Fig.1 Gas pressure distribution in fracture of two different types

式中：p(θ,t)為t時刻裂縫內θ處的氣體壓力,θ″(t)為t時刻爆燃氣體流動尖端的相對位置,p(θ″,t)為t時刻爆燃氣體流動尖端θ″處的氣體壓力,p(0,t)為t時刻裂縫入口處的氣體壓力,m為縫內氣體壓力分布指數。

在實際裂縫擴展過程中縫內氣體壓力分布會出現2種不同的情況(見圖1)：(1)爆燃氣體流動尖端和裂縫尖端重合(全部穿入)，即θ″(t)=1，0≤p″(1,t)<1；(2)爆燃氣體流動尖端和裂縫尖端不重合(部分穿入)，即0<θ″(t)<1，p″(θ″,t)=0。

3.2 求解方法

由式(13)可知，縫內氣體壓力分布函數與多個變量相關，該裂縫起裂擴展模型無法直接求解，本文中采用迭代法并結合實際的邊界條件和初始條件在離散的時間域內(從推進劑燃燒開始)對其進行求解。具體方法如下：

(1)根據建立的縫內氣體壓力分布函數，假設p″(1,t)或θ″(t)的初值；

(2)通過裂縫尖端應力強度因子判據計算得到縫內氣體壓力分布指數m；

(3)由式(11)、(10)、(7)、(9)和(6)在裂縫尖端的積分可以計算得到裂縫寬度、縫內氣體密度、縫內任意位置處的氣體流速、氣體側向濾失速度和裂縫延伸速度；

(4)運用式(6)判斷該時刻爆燃氣體在整個裂縫內的流動是否滿足質量守恒，如果滿足，則說明該時刻裂縫開始起裂擴展，如果不滿足，改變p″(1,t)或θ″(t)，重復方法(2)～(3)，當p″(1,t)≥1或θ″(t)≤0時還不滿足，說明該時刻裂縫還沒有起裂擴展，則進行下一時刻裂縫起裂擴展判斷。運用相同的方法可以對裂縫擴展后期的止裂進行判斷。

4 實例計算分析

基于所建裂縫起裂擴展模型的數值求解方法，編制相應程序，進行實例計算，并分析不同特征參數對裂縫起裂擴展與止裂過程的影響，有關計算參數為：巖石的楊氏模量為21.4 GPa，泊松比為0.23，巖石斷裂韌性為0.5 MPa·m0.5，裂縫表面粗糙度為0.1 mm，地應力為25 MPa，地層壓力為28 MPa，地層孔隙度為0.14，地層滲透率為50 md(0.05 μm2)，裂縫條數為4，井筒半徑為0.108 m，氣體黏度為22 μPa·s，裂縫初始長度L0=0.45 m。圖2是縫口氣體壓力和爆燃氣體溫度隨時間的變化曲線，其也是作為實例計算的輸入參數。

圖3顯示了縫內氣體壓力分布隨時間的變化情況，從圖中可以看出，隨著裂縫擴展的進行，爆燃氣體流動尖端與裂縫尖端經歷了由重合到不重合再到重合的過程。這主要是因為在裂縫擴展前期，由于氣體壓力不高，裂縫擴展速度不大，爆燃氣體流動尖端與裂縫尖端重合，即爆燃氣體進入裂尖區域；到裂縫擴展中期，隨著氣體壓力的升高，裂縫擴展速度逐漸變大，爆燃氣體的流動速度小于裂縫擴展速度，爆燃氣體流動尖端與裂縫尖端不重合，即爆燃氣體未進入裂尖區域；再到裂縫擴展后期，氣體壓力逐漸降低，裂縫擴展速度變緩，爆燃氣體流動尖端又與裂縫尖端重合，即爆燃氣體又進入裂尖區域。

圖2 縫口氣體壓力與爆燃氣體溫度隨時間的變化Fig.2 Gas pressure at the inlet and gas temperature varied with time

圖3 縫內氣體壓力分布隨時間的變化Fig.3 Gas pressure distribution in fracture versus time

4.1 地應力對裂縫起裂擴展和止裂的影響

表1和圖4分別是不同地應力下的裂縫擴展情況和裂縫長度隨時間的變化，從表1和圖4可以看出，裂縫起裂壓力pi與止裂壓力pa隨地應力增大而增大。這是因為地應力是裂縫擴展的主要阻力，地應力增大將使裂縫內凈壓力p(θ)-σ減小，裂縫起裂擴展更困難；在縫口氣體壓力隨時間變化曲線相同的條件下，地應力增大，裂縫起裂(起裂時間ti)滯后，裂縫止裂(止裂時間ta)提前，爆燃氣體有效致裂作用時間縮短，即爆燃氣體能量利用率降低，最終得到的裂縫擴展長度也減小。所以，有效克服地應力是復合射孔取得良好施工效果的關鍵。

圖4 不同地應力下裂縫長度隨時間的變化Fig.4 Fracture length versus time for various in-situ stresses

σ/MPati/mspi/MPata/mspa/MPaL/m2222.324.17157.223.614.932523.827.22131.826.783.852825.430.47112.030.222.93

4.2 初始裂縫長度對裂縫起裂擴展和止裂的影響

表2和圖5顯示了初始裂縫長度對裂縫擴展的影響，從表2和圖5可以看出，裂縫起裂壓力與止裂壓力隨初始裂縫增長而減小。由式(1)可知裂縫尖端應力強度因子與初始裂縫長度成正比，初始裂縫增長會使裂縫尖端應力強度因子增大，裂縫更容易起裂擴展；初始裂縫越長，裂縫起裂提前，裂縫止裂滯后，爆燃氣體有效致裂作用時間越長，即爆燃氣體能量利用率越高，裂縫擴展更長。因此，提高射孔彈性能使初始裂縫更長，對提高復合射孔施工效果具有重要的意義。

圖5 不同初始裂縫長度下裂縫長度隨時間的變化Fig.5 Fracture length varied with time for various initial crack lengths

L0/mti/mspi/MPata/mspa/MPaL/m0.1024.328.23130.326.983.530.4523.827.22131.826.783.851.0023.727.02133.526.554.31

4.3 巖石斷裂韌性對裂縫起裂擴展和止裂的影響

圖6 不同巖石斷裂韌性下裂縫長度隨時間的變化Fig.6 Fracture length with time for various fracture toughnesses

表3和圖6分別是不同巖石斷裂韌性下的裂縫擴展情況和裂縫長度隨時間的變化，從表3和圖6可以看出，巖石斷裂韌性的改變對裂縫起裂，止裂和裂縫擴展長度的影響很小。這主要是因為巖石斷裂韌性對裂縫擴展的阻力作用相比于較大的地應力是非常小的，一般可以忽略不計。因此，在進行爆燃氣體壓裂裂縫起裂擴展模擬時，為簡化計算，可以將巖石斷裂韌性設定為零。

表3 不同巖石斷裂韌性下的裂縫擴展情況Table 3 Fracture extension under different fracture toughnesses

4.4 升壓速率對裂縫起裂擴展和止裂的影響

為了得到升壓速率vp對裂縫擴展的影響，首先繪制了不同升壓速率下(1.70、1.22、0.92 MPa/ms)縫口氣體壓力隨時間的變化曲線(見圖7)，然后將不同升壓速率下的裂縫起裂、止裂和裂縫擴展情況進行了比較，具體結果見表4和圖8。

表4 不同升壓速率下的裂縫擴展情況Table 4 Fracture extension at different rates of pressure rise

圖7 不同升壓速率下縫口氣體壓力隨時間的變化Fig.7 Gas pressure at the inlet with varied time at various rates of pressure rise

圖8 不同升壓速率下裂縫長度隨時間的變化Fig.8 Fracture lengths varied with time at various rates of pressure rise

在實際爆燃氣體壓裂裂縫起裂擴展過程中，升壓速率越大，產生的裂縫越多，但為了分析升壓速率單因素對裂縫擴展的影響，本文中忽略升壓速率對裂縫條數的影響，將裂縫條數設為定值。從表4和圖8可以看出，升壓速率的改變對裂縫起裂壓力沒有影響，對裂縫止裂壓力的影響也很小，這是因為裂縫起裂擴展的難易程度是巖石的一種固有屬性，不會隨升壓速率的改變而改變；同時也可以看出，升壓速率越小，在裂縫擴展前期的裂縫長度也越小，但是到了裂縫擴展中后期，小升壓速率對應的裂縫擴展長度逐漸接近并超過大升壓速率對應的裂縫擴展長度，這主要是由于升壓速率的減小會使裂縫起裂滯后，同時使止裂也滯后，但是止裂滯后的時間遠大于起裂滯后的時間，所以升壓速率越小爆燃氣體有效致裂作用時間越長，最終得到的裂縫擴展長度也越大。因此，控制升壓速率，延長爆燃氣體有效致裂作用時間是提高復合射孔施工效果的有效途徑。

5 結 論

建立了復合射孔爆燃氣體壓裂裂縫起裂擴展模型，實現了模型的數值求解，并探討了影響裂縫起裂擴展與止裂過程的因素，得到了以下結論與認識：

(1)裂縫擴展前期爆燃氣體流動尖端與裂縫尖端重合，爆燃氣體進入裂尖區域，到裂縫擴展中期裂縫擴展速度變大，爆燃氣體未進入裂尖區域，再到裂縫擴展后期爆燃氣體流動尖端又與裂縫尖端重合，即爆燃氣體又進入裂尖區域。

(2)地應力越大，裂縫起裂壓力與止裂壓力越大，裂縫起裂擴展越困難，同時起裂滯后，止裂提前，即爆燃氣體有效致裂作用時間越短，最終得到的裂縫擴展長度也越小。

(3)初始裂縫越長，裂縫起裂壓力與止裂壓力越小，裂縫更容易起裂擴展，同時起裂提前，止裂滯后，即爆燃氣體能量利用率越高，裂縫擴展更長。

(4)巖石斷裂韌性的改變對裂縫起裂、止裂和裂縫擴展長度的影響很小，在實際模擬計算過程中，可以將其設定為零。

(5)升壓速率越小，爆燃氣體有效致裂作用時間越長，最終裂縫擴展也更長，但升壓速率的改變對裂縫起裂壓力與止裂壓力幾乎沒有影響。

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