花崗巖在SHPB沖擊破壞實驗中 最低加載應變率的桿徑效應*

洪 亮，金志仁，鄧宗偉

(1.湖南城市學院土木工程學院， 湖南 益陽 413000； 2.中南大學資源與安全工程學院, 湖南 長沙 410083)

從20世紀70年代SHPB實驗系統被廣泛應用于測試各種材料在高應變率下的動態力學特性開始[1-2]，分離式Hopkinson壓桿已發展成為實測材料動態力學特性的基本實驗裝置之一。常規的SHPB實驗系統主要測定巖石在應變率為102～104s-1的動態特性[3-5]，但在機械鑿巖、深部開采工程、大型地下硐室與結構的抗爆設計等領域必須要有巖石類材料在中應變率段的動力特性[6]。限于實驗裝備與技術方面的原因，目前對于巖石等脆性材料在中等應變速率加載條件下的力學特性研究很少[6-9]。

本文中將主要分析SHPB實驗系統桿徑與導致巖石試樣單次沖擊破壞對應的最低加載應變率間的定量關系。

1 SHPB桿徑與試樣應變率關系的理論分析

設作用于巖石試樣上的荷載為一幅值為σa的理想半周期正弦應力脈沖：

(1)

式中：T為加載應力脈沖的周期。根據Steverding-Lehnigk脆性斷裂準則[12-14]，要使試樣破壞，需滿足：

(2)

式中：E為彈性模量，γ為材料的比表面能，c為聲速。對式(2)左邊進行積分：

(3)

將式(3)代入式(2)，則有：

(4)

在SHPB實驗中，沖頭速度越高，則加載應力波幅值越大，所獲得的試樣應變率也越高。對于一定桿徑的SHPB實驗裝置系統，在對某巖石材料進行沖擊實驗時，其加載應變率可以根據實驗要求通過調整沖頭速度進行改變。但能導致巖石試樣單次沖擊破壞的應變率，受限于系統對沖頭的發射能力和試樣材料特性，其變化范圍卻是有限的。特別地，存在一個最低的應變率，當低于該應變率時，試樣在沖擊荷載的單次作用下不會破壞。

對于一個SHPB實驗的巖石試樣，從理論上而言，其內部總存在一個有限尺度的最大裂紋。根據Steverding-Lehnigk脆性斷裂準則，在加載應力波延時較大足以保證所有尺度裂紋擴展的情況下(實際情況亦如此，在SHPB實驗中，為保證試樣達到應力均衡狀態，一般加載應力波會在試樣中傳播十幾個來回以上)，決定試樣脆性斷裂的僅是加載應力波的幅值。由于最大尺度裂紋的擴展所需應力幅值最小，所以導致最大尺度裂紋擴展的應力幅值為試樣脆性斷裂的臨界應力門檻值。SHPB實驗也表明，當加載應力波幅值小于某值時，巖石試樣在單次沖擊作用下不會破裂。對于半周期正弦應力波加載情形，其應力峰值出現在T/4處。當應力峰值小于臨界應力門檻值時，試樣將處于彈性狀態，沖擊加載后試樣完整；當應力峰值大于臨界應力門檻值時，則會有某一區段裂紋長度的許多裂紋擴展，沖擊加載后試樣呈多個碎塊；當應力峰值等于臨界應力門檻值時，則試樣內產生最大尺度的裂紋擴展，沖擊加載后試樣裂為2塊或產生貫通裂紋。此時的應變率即是能導致試樣單次沖擊破壞的最低應變率。將t=T/4代入式(4)，即可得半正弦加載波的幅值條件：

(5)

即：

(6)

由于在SHPB實驗中，加載應力波的延時是由沖頭的長度和聲速決定的，則加載應力波周期

(7)

式中：l0為沖頭長度,c0為應力波在沖頭中的傳播速度。將式(7)代入式(6)可得：

(8)

因為在SHPB實驗中，試樣具有一定的長徑比k=ls/Ds(Ds為試樣的直徑,ls為試樣長度，k為試樣長徑比，對于巖石試樣一般取0.5)。為保證沖擊實驗過程中試樣應力的均勻化條件，應力波延時一般應在試樣兩端間透反射多個來回，可以假定為：

(9)

式中：n為應力波在試樣中透反射次數，一般可取20。據此，沖頭長度可以用試樣的直徑表示為：

(10)

將式(10)代入式(8)可得：

(11)

假定巖石為理想的彈脆性材料，結合巖石動態彈性模量較為恒定的特性[6,15]，定義巖石試樣在沖擊實驗中的應變率為：

(12)

將式(10)～(11)代入式(12)可得：

(13)

將E=ρc2代入式(13)可得：

(14)

由式(14)可以看出，對于外形相似(k為定值)的某材料試樣(γ、ρ為常量)，采用相對延時恒定(n一定)的應力脈沖加載時，其應變率隨試樣直徑Ds或長度ls的增加而降低，二者呈現乘方關系：

(15)

式中：m=4(πγ)0.5ρ-0.5(nk)-1.5。由于在SHPB實驗中，為保證試樣受力均勻，特別是徑向受力均勻，通常試樣直徑Ds略等于彈性壓桿直徑D0，所以式(15)亦可以表述為：

(16)

即：巖石等脆性材料的加載應變率隨SHPB桿徑的增大而減小，二者呈乘方關系。

2 實驗驗證

圖1 不同桿徑SHPB實驗裝置對應的沖頭系列Fig.1 Strikers with different diameters

2.1 實驗裝置與試樣

在自行研制的SHPB實驗測試系統上，分別利用直徑為22、36、50和75 mm等4種Hopkinson壓桿桿徑以及能消除P-C振蕩的半正弦波加載方式，對長徑比相近直徑不同的花崗巖試樣進行了加載速率由高到低的沖擊實驗。實驗中采用的沖頭系列如圖1所示。沖擊實驗中測得不同桿徑系列SHPB裝置產生的入射應變和與之對應的透射應變值的典型結果如圖2所示。

實驗試樣分別取自同一花崗巖塊。與壓桿桿徑對應，試樣直徑分別為22、36、50和75 mm等4種規格，長徑比控制在0.5左右。

圖2 實驗中測得不同桿徑系列SHPB裝置產生的典型入射應變與對應的透射應變值Fig.2 Typical test results of incident-stain and corresponding transmission-strain curves created by different diameters

2.2 實驗方案與結果

在4種不同桿徑系列的SHPB實驗系統上，對花崗巖試樣分別分組進行了加載速率由高到低的沖擊實驗。根據實驗過程中試樣破損的實際情況，每種桿徑系列的加載速率分為3～5個級別，以試樣僅能產生貫通裂紋為下限。每個級別的實驗樣本數由同一芯樣加工試樣的數量決定，且不少于3個。

圖3給出了花崗巖試樣在75 mm桿徑的SHPB系統上進行加載應變率由高到低(5個級別)的沖擊實驗典型結果。實驗結果顯示，在相同桿徑的SHPB沖擊實驗條件下，隨著加載速率由高到低變化，不同巖石試樣的破損狀態從以碎屑為主過渡為以塊狀為主，直至僅產生貫通裂紋，破損程度由強變弱。

圖3 75 mm桿徑SHPB實驗中不同應變率對應的花崗巖試樣典型破裂狀態Fig.3 Typical breakage of granite under different strain rate on 75 mm diameter bar system

需要指出的是，雖然在每個加載批次實驗中都嚴格控制相同沖擊氣壓和沖頭沖程，旨在實現相同的加載應變率條件，但由于系統誤差以及巖石材料本身的成分結構的非均一性，應變率大小和試樣的破損狀態不可避免地出現一定程度的差異。例如，在實施沖擊加載速率由高到低的過程中，在某個設定的沖擊加載速率級別出現了試樣貫通裂紋情況，而大部分試樣則碎裂成幾塊，或所有試樣均未破損，據此可判定已臨近單次沖擊加載破裂的應變率下限并設定下一級別加載條件。但很難實現在一定加載條件下所有試樣均呈現貫通裂紋的理想情況，特別是隨著試樣尺寸的增大其破損程度差別顯著。然而，實驗結果明確顯示：對于不同桿徑系列的SHPB實驗，均存在一個能導致所選取的巖石試樣破裂的加載速率下限，若加載速率低于此下限，將不能使巖石試樣在單次沖擊下破裂。表1給出了巖石試樣分別在22、36、50和75 mm桿徑條件下對應的能導致試樣單次沖擊破裂的加載應變率下限實驗結果。

表1 不同桿徑條件下能導致巖石試樣單次沖擊破裂的加載應變率下限Table 1 Strain rate lower limit in sample break under once impact corresponding to different-diameter bars

2.3 分析

由表1可知，增大Hopkinson桿徑能顯著降低導致巖石破裂的最低加載平均速率。將不同的桿徑與所對應的能導致巖石破裂的最低加載應變率按式(16)進行擬合。擬合結果如圖4所示。

圖4 SHPB桿徑與導致巖石破裂的最低加載平均應變率關系Fig.4 Relationship between bar diameter and strain rate lower limit in rock break

需要說明的是，在實際的SHPB沖擊加載實驗中，即使實驗條件完全符合一維應力波傳播理論，由于應力波在試樣中的透反射特性及試樣-壓桿彈性阻抗比的變化，因此理想的半正弦入射應力波作用在試樣上后，由于波的透反射作用，其應力波形、幅值和波長均會發生變化，從而影響到式(16)的適用前提。雖然作用在試樣上的應力波形和波長的變異是對上述推導結論產生影響的主要因素，但根據文獻[16]并參照實驗結果(見圖2)，試樣在加載應力峰值出現以前的加載應力波形仍為一似正弦應力波(但應力波作用在試樣上的波長隨試樣-壓桿彈性阻抗比的減小而增大，并隨入射應力波波長的增大呈減小趨勢)，因此可以對式(16)中的m引入波形周期修正系數α，即m=4(πγ)0.5ρ-0.5(αnk)-1.5。

對于本次實驗所用的花崗巖試樣，式(16)中參數m的取值為1.72×104，實驗結果與理論曲線的相關系數R2值為0.93。由圖4可以明顯看出，對實驗整體結果和理論曲線相關性影響顯著的為直徑為75 mm試樣的應變率下限值。這主要是由于巖石力學特性的離散性隨試樣尺寸的增大而加劇，更難實現在一定加載條件下所有試樣均呈現貫通裂紋的理想情況。根據表1中關于試樣破損狀態的描述：1個試樣裂為4塊，另1個試樣為貫通裂紋。由此判斷本級的應變率下限值總體應該還能降低，如此則實驗與理論結論的相關性實際會更高。

3 結 論

理論與實驗分析表明，增大Hopkinson桿徑能有效降低巖石試樣的加載應變率，二者呈良好的乘方關系。但當應變率低到100s-1量級時，Hopkinson桿徑已超過100 mm，且增大Hopkinson桿徑以降低加載應變率的效果不再明顯。

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