利用幾何、算術均值不等式證明有關數學問題的技巧

王潔瓊

（漢中職業技術學院，陜西 漢中 723000）

【學法指導】

利用幾何、算術均值不等式證明有關數學問題的技巧

王潔瓊

（漢中職業技術學院，陜西 漢中 723000）

巧用幾何、算術均值不等式證明某些有關正整數的數學問題時，往往可使問題變難為易，化繁為簡，達到事半功倍的效果，同時享受數學的簡潔美。本文通過對若干數學問題的證明，體現了幾何、算術均值不等式在證明有關正整數的數學問題的技巧。

幾何平均數；算術平均數；均值不等式

幾何、算術均值不等式是指n個正數a1，a2，…，an的幾何平均數與算術平均數滿足

其中當且僅當a1=a2=a3=…=an時等號成立。

在證明某些有關正整數n的數學問題時，若能巧用幾何、算術均值不等式，可以使問題變難為易，化繁為簡。本文將舉例說明。

例1 設k，n∈N+，且k＜n，求證

例2 設n∈N+，且N≥2，求證

例3 已知x＞-1，x≠0，n∈N+，且N≥2，求證

（1+x）n＞1+nx

這是著名的伯努利不等式，它的應用廣泛，書中大多采用數學歸納法證明，雖然思路清晰，推理自然，但步驟較長，格式較繁，若能巧用幾何、算術均值不等式則會簡單得多。

小結：由以上例子可以看出，公式的巧用，問題的妙解，變難為易，化繁為簡，使人賞心悅目，達到事半功倍的效果，同時享受到數學的簡潔美。

G642.4

A

1674-9324（2014）42-0224-02

王潔瓊（1985-），女，陜西洋縣人，碩士研究生，助教，研究方向：數學教育。