斐波那契數的標準分解式中因子19的指數

嚴婉琳

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

斐波那契數的標準分解式中因子19的指數

嚴婉琳

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

研究和探討斐波那契數Fn標準分解式中因子19的指數與其下標n之間的內在聯系，同時證明，斐波那契數Fn下標n的分解式中因數18的指數與19的指數，將一起決定Fn標準分解式中因子19的指數。

斐波那契數；標準分解式；因子；指數；同余

1 引言

斐波那契數列，又稱為黃金分割數列，在現代物理等領域，斐波那契數列有著廣泛的實際應用。多年來，學者們都對斐波那契數投以關注的目光。

定義1.1[2-3]斐波那契數列是指遞推關系Fn=Fn－1+Fn－2（n≥2）所確定的數列{Fn}n≥2，這里的初始條件是F0=0，F1=1，并且Fn稱為斐波那契數。

在查找關于斐波那契數的標準分解式中因子的指數相關文獻的過程中，文獻[4-10]已經研究了關于斐波那契數的標準分解式中因子2，3，5，7，11，13，17的指數，文獻[11，12]則證明了斐波那契數的整除特征和整除性。此外，文獻[13]不僅提出了一個關于一般奇素因子p在Fd（p）標準分解式中的指數的猜測，還研究了對一般奇素因子p與d（p）=min{w：p/Fw}的整除關系。本文則是在研究上述相關文獻之后，得出了斐波那契數Fn下標n的分解式中因數18的指數與19的指數將決定Fn標準分解式中因子19的指數的結論。

引理1.1 如果m|n，則有Fm|Fn，這里假設m，n為正整數，記號“a|b”表示a整除b

引理1.2 假設m，n為正整數，則有Fm+n=FmnFn-1+ Fm+1Fn.

引理1.3 19|Fn?18|n，這里假設n為正整數。

根據斐波那契數的定義及相關數論知識，逐一計算Fn（0≤n≤17）關于模19的最小非負剩余，可得到以下結果：F0≡0（mod19），F1≡1（mod19），F2≡F1+F0≡1（mod19），F3≡F1+F2≡2（mod19），…若 設 Fn≡m（mod19），則可得表1。

表1 關于模19的最小非負剩余

因此可以得知，在斐波那契數列之中，Fn關于模19的最小非負剩余的周期是18，并且Fn≡0（mod19）當且僅當n≡0（mod18），即19|Fn?18|n

引理1.4 設m為正整數，F18m+1≡F18m－1（mod19）

證明 由引理1.3及斐波那契數的定義知道，F18m≡F18m+1－F18m－1≡0（mod19），故引理1.4成立。

引理1.5 設m為非負整數，i是通過模18的最小非負剩余系，則F18m+i≡Fi（mod19）

證明 當i=0時，由18|18m及0|18可知F18m≡F0（mod19），所以結論成立；當i≠0時，由引理1.2及引理1.3可知，F18m+i=F18mFi－1+F18m+1Fi≡F18m+1Fi≡Fi（mod19）.

引理1.6 設m，p為正整數，則

假設a，b是整數，t是非負整數，那么記號at||b，即at|b的含義是b恰好可以被a的t次方整除，但b不可以被at+1整除。

2 相關證明

定理2.1 假設p和k都是正整數，則有F18kp與F18k+1p標準分解式中因子19具有相同的指數。

證明 由引理1.3可以得到19|F18kp，假設n=18kp，s（s≥1）且p是一個正整數。因為在F18kp標準分解式中，因子19的指數必定是大于0.要證得定理，可以利用數學歸納的方法。

（i）當k=1時，若s是F18kp的標準分解式中因子19的指數，即19s||F18p，下證19s||F182p.

由于18p|182p，由引理1.1知F18p|F182p，從而有F182p≡0（mod19s

）另一方面，令m=18p，則由引理1.6可知，F18×18p≡，進而由及2s≥s+1可得

再由引理1.4知，F18m+1≡F18m－1（mod19），從而，并且19不能整除，故19s+1不能整除F182p，所以，即當k=1時，F18kp與F18k+1p標準分解式中因子19具有相同的指數。

（ii）假設k≥1時，F18kp與F18k+1p標準分解式中因子19具有相同的指數s（s≥1）。

此后需要證明在k+1的情形下，結論也是成立的，即證明F18k+1p與F18k+2p的標準分解式因子19的指數也為s.

因為18k+1p|18k+2p，由引理1.1得到F18k+1p|F18k+2p從而有F18k+2p≡0（mod19s）另一方面，令m=18k+1p，則由引理1.6知

再由引理1.4知F18k+1p+1≡F18k+1p－1（mod19），從而

定理2.2 假設p為一個不含18和19的正整數，則1是F18p的標準分解式中因子19的指數。

證明 已知18|18p，由引理1.1有F18|F18p，從而有F18p≡0（mod19），下證F18p不能被192整除。不妨設p= 19m+r，1≤r≤18，則

借助計算機實現可得到192||F18×19，從而F18p≡F18×19m+1F18r（mod192）

又192不能整除F18r（1≤r≤18），且19不能整除F18×19m+1，從而192不能整除F18×19m+1F18r，即192不可以整除F18p，因此得到19||F18p，所以1是F18p的標準分解式中因子19的指數。

下面定理2.3的證明，可以使用上述方法。

定理2.3 假設p為一個不含18和19的正整數，則2為F18×19p的標準分解式中因子19的指數。

定理2.4 假設n=18×19sp，同時假設s是任意一個非負的整數并且p是不含18和19的一個正整數，則s+1是F18×19sp標準分解式中因子19的指數。

證明 為了證明對于因子19的指數在n的分解式中應用，可以利用數學歸納方法來證明。

（i）s=0時，n=18p，從定理2.2知，s+1=1是F18p標準分解式中因子19的指數，所以s=0時，結論顯然成立。

（ii）s=1時，n=18×19p，從定理2.2可以得知，s+1=2是F18×19p標準分解式中因子19的指數，因此s=1時，結論也顯然成立。

（iii）首先作出假設，即這個命題對于s≥1都顯然成立，即F18×19sp的標準分解式中因子19的指數為s+1，下證F18×19s+1p的標準分解式中因子19的指數為s+2，即

令m=18×19sp，由引理1.2有

由（1）～（5）式可得

當s≥1時，有2（s+1）≥s+3，則由引理1.4及18|m知，Fm+1≡Fm－1（mod19）且其最小非負剩余不是0，代入式（6）得

從而由19s+1得到即

下證19s+3不能整除

首先由式（7）有

要證19s+3不能整除，由，只需證192不能整除.由引理1.4及表1不妨設Fm+1=19q1+r，Fm－1=19q2+r，這里r=1，q1，q2為非負整數，從而

因為19s+1||Fm=Fm+1-Fm－1=19（q1-q2），所以19s||（q1-q2）.又r+143q1+199q2≡r+10（q1-q2）（mod19）知，19不能整除r+143q1+199q2.且（r，19）=1，則（r17，19）=1，由式（9）知192不能整除

再由式（8）知，19s+3不能整除，故，即在標準分解式中因子19的指數是s+2=（s+1）+1.

因此定理2.4顯然成立。

結合上面已經得到的定理及其證明，我們可以得到如下結論，即定理2.5.

定理2.5 假設n為一個正整數，n=18k×19s×p，k，s都是非負整數，而p是一個不含因數18和19的正整數，則有

1）當k=0的時候，Fn標準分解式中因子19的指數是0；

2）當k≥1的時候，Fn標準分解式中因子19的指數是s+1.

證明 1）k=0的時候，由于n不可以被18整除，根據引理1.3可得知，0是Fn標準分解式中因子19的指數，因為19不可以整除Fn.

2）k≥1時，由定理2.1知，F18kp標準分解式中因子19的指數與F18k+1p準分解式中因子19的指數是相同的，所以只需要考慮k=1的情形。

根據定理2.4可以得知，s+1是F18×19sp標準分解式中因子19的指數。最終，定理2.5得證。

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G642.0，O156

A

1674-9324（2014）42-0225-04