利用MATLAB求解復雜荷載作用下三鉸拱的內力

孫云

摘要：在《結構力學》課程教學中，三鉸拱的內力計算是個難點。本文應用MATLAB編制了通用程序，可以解決三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力的計算問題。

關鍵詞：結構力學；MATLAB；三鉸拱；內力

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）05-0096-02

三鉸拱是《結構力學》課程其中的一個章節，由于拱的截面法線與水平軸的夾角φ隨截面位置發生改變，截面內力又與φ有關，因而求解三鉸拱，尤其在復雜荷載作用下截面的內力是件煩瑣的事情。為了讓師生能從煩瑣、重復的手工計算的勞動中解放出來，把更多的時間用于基本概念、基本理論的理解及問題的解決方法上[1]，本文利用MATLAB軟件的符號運算、數值計算、編程等功能，編制了三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力計算的通用程序，不僅提高了教學效率，也激發了學生學習《結構力學》和MATLAB的極大興趣。

三鉸平拱在只有豎向荷載作用下任一截面的內力與同跨度、同荷載的對應簡支梁對應截面的內力有如下關系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介紹簡支梁任一截面的內力計算，再介紹三鉸拱任一截面的內力計算。

一、簡支梁的內力

若簡支梁[3]上作用有均布荷載qi（i=1，nq），集中荷載 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷載的左、右端點到支座A的距離分別為ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷載和集中力偶到支座A的距離分別為ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（見圖1）。設支座反力FAy、FBy已經由平衡方程求出。

求任一截面x的內力。根據截面法，取x截面以左部分為隔離體，考慮隔離體上的荷載是任意、復雜的，可能有均布荷載，可能有集中荷載，也有可能有集中力偶，且荷載數目可能是多個。小變形條件下，可用疊加法計算內力[4]。根據截面上的剪力和彎矩分別等于隔離體上所有外力沿截面切向的投影代數和以及對所求截面力矩代數和的計算法則，分別考慮隔離體上支座反力FAy、均布荷載qi、集中荷載Fpi和集中力偶Mi等對x截面內力的影響。

（一）反力FAy的影響

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷載qi的影響

均布荷載與所求截面的位置有如下3種情況：（1）均布荷載qi全部作用在隔離體上（圖2a），此時考慮全部均布荷載的作用；（2）均布荷載qi部分作用在隔離體上，部分在隔離體外（圖2b），此時只考慮隔離體上部分荷載的作用，則 bi=x；（3）均布荷載qi全部作用在隔離體外（圖2c），則不考慮均布荷載的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq個均布荷載產生的x截面內力為：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

對于不同的均布荷載情況，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷載Fpi的影響

集中荷載與所求截面的位置有如下2種情況：（1）集中荷載Fpi作用在隔離體上，應考慮Fpi的作用；（2）集中荷載 Fpi作用在隔離體外，不考慮Fpi的作用，則Fpi=0，ci=0。

nF個集中荷載產生的x截面內力為：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

對于不同的集中荷載情況，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影響

集中力偶與所求截面的位置有兩種情況：（1）集中力偶Mi作用在隔離體上，應考慮Mi的作用，則di

nM個集中力偶產生的x截面內力為：M4=-■Mi，FS4=0（5）

對于不同的集中力偶情況，Mi取不同值。

則反力FAy、均布荷載qi、集中荷載FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面內力為：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB編制通用的程序，只需分別將均布荷載、集中荷載和集中力偶的個數：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分別到左端支座A的距離ai、bi、ci、di，梁長L以及截面位置x等輸入，就可以利用程序快速求解出復雜荷載作用下簡支梁任一截面的內力。數據輸入時，規定荷載向下為正；集中力偶順時針轉為正。結果輸出時，規定彎矩使桿件下側受拉為正，剪力使桿件順時針轉為正（這里MATLAB程序未給出）。

例1：求如圖3所示簡支梁C截面的內力。

圖3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。運行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三鉸拱的內力

考慮拱高為f的三鉸平拱，設在豎向荷載作用下的水平反力FH已經求出，其對應簡支梁的任一截面的彎矩和剪力用上述方法已可求出，則根據三鉸平拱的內力計算公式（1），只要確定截面的豎向坐標y和夾角φ，即可求出三鉸拱任一截面的內力。截面的豎向坐標y和夾角φ的確定過程如下：先對拱軸線方程y=f（x）求導，得到tanφ=y'，這可以通過MATLAB中的diff（y）實現，然后求出φ=arctan（y'）。最后計算指定x1截面的y1和φ1值，可通過y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）實現。

例2：求如圖4所示三鉸拱D截面的內力。已知拱軸線方程為y=4fx（L-x）/L2。

輸入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。運行程序后得D截面的內力為：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同樣得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、結語

用MATLAB編制了通用程序，可快速簡捷地求解簡支梁和三鉸拱在復雜荷載作用下任一截面的內力。仿照上述編程思想，也可解決其他類型簡單梁的內力計算和其他問題。

參考文獻：

[1]何結兵，顧愛軍，楚海建.Matlab在工程力學課程教學中的實踐[J].力學與實踐，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蔣寅軍，等.結構力學題解[M].武漢：華中科技大學出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel繪制三鉸拱的內力圖[J].力學與實踐，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力學電算法[J].應用科技， 2002，29（005）：37-39.

摘要：在《結構力學》課程教學中，三鉸拱的內力計算是個難點。本文應用MATLAB編制了通用程序，可以解決三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力的計算問題。

關鍵詞：結構力學；MATLAB；三鉸拱；內力

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）05-0096-02

三鉸拱是《結構力學》課程其中的一個章節，由于拱的截面法線與水平軸的夾角φ隨截面位置發生改變，截面內力又與φ有關，因而求解三鉸拱，尤其在復雜荷載作用下截面的內力是件煩瑣的事情。為了讓師生能從煩瑣、重復的手工計算的勞動中解放出來，把更多的時間用于基本概念、基本理論的理解及問題的解決方法上[1]，本文利用MATLAB軟件的符號運算、數值計算、編程等功能，編制了三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力計算的通用程序，不僅提高了教學效率，也激發了學生學習《結構力學》和MATLAB的極大興趣。

三鉸平拱在只有豎向荷載作用下任一截面的內力與同跨度、同荷載的對應簡支梁對應截面的內力有如下關系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介紹簡支梁任一截面的內力計算，再介紹三鉸拱任一截面的內力計算。

一、簡支梁的內力

若簡支梁[3]上作用有均布荷載qi（i=1，nq），集中荷載 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷載的左、右端點到支座A的距離分別為ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷載和集中力偶到支座A的距離分別為ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（見圖1）。設支座反力FAy、FBy已經由平衡方程求出。

求任一截面x的內力。根據截面法，取x截面以左部分為隔離體，考慮隔離體上的荷載是任意、復雜的，可能有均布荷載，可能有集中荷載，也有可能有集中力偶，且荷載數目可能是多個。小變形條件下，可用疊加法計算內力[4]。根據截面上的剪力和彎矩分別等于隔離體上所有外力沿截面切向的投影代數和以及對所求截面力矩代數和的計算法則，分別考慮隔離體上支座反力FAy、均布荷載qi、集中荷載Fpi和集中力偶Mi等對x截面內力的影響。

（一）反力FAy的影響

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷載qi的影響

均布荷載與所求截面的位置有如下3種情況：（1）均布荷載qi全部作用在隔離體上（圖2a），此時考慮全部均布荷載的作用；（2）均布荷載qi部分作用在隔離體上，部分在隔離體外（圖2b），此時只考慮隔離體上部分荷載的作用，則 bi=x；（3）均布荷載qi全部作用在隔離體外（圖2c），則不考慮均布荷載的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq個均布荷載產生的x截面內力為：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

對于不同的均布荷載情況，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷載Fpi的影響

集中荷載與所求截面的位置有如下2種情況：（1）集中荷載Fpi作用在隔離體上，應考慮Fpi的作用；（2）集中荷載 Fpi作用在隔離體外，不考慮Fpi的作用，則Fpi=0，ci=0。

nF個集中荷載產生的x截面內力為：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

對于不同的集中荷載情況，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影響

集中力偶與所求截面的位置有兩種情況：（1）集中力偶Mi作用在隔離體上，應考慮Mi的作用，則di

nM個集中力偶產生的x截面內力為：M4=-■Mi，FS4=0（5）

對于不同的集中力偶情況，Mi取不同值。

則反力FAy、均布荷載qi、集中荷載FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面內力為：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB編制通用的程序，只需分別將均布荷載、集中荷載和集中力偶的個數：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分別到左端支座A的距離ai、bi、ci、di，梁長L以及截面位置x等輸入，就可以利用程序快速求解出復雜荷載作用下簡支梁任一截面的內力。數據輸入時，規定荷載向下為正；集中力偶順時針轉為正。結果輸出時，規定彎矩使桿件下側受拉為正，剪力使桿件順時針轉為正（這里MATLAB程序未給出）。

例1：求如圖3所示簡支梁C截面的內力。

圖3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。運行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三鉸拱的內力

考慮拱高為f的三鉸平拱，設在豎向荷載作用下的水平反力FH已經求出，其對應簡支梁的任一截面的彎矩和剪力用上述方法已可求出，則根據三鉸平拱的內力計算公式（1），只要確定截面的豎向坐標y和夾角φ，即可求出三鉸拱任一截面的內力。截面的豎向坐標y和夾角φ的確定過程如下：先對拱軸線方程y=f（x）求導，得到tanφ=y'，這可以通過MATLAB中的diff（y）實現，然后求出φ=arctan（y'）。最后計算指定x1截面的y1和φ1值，可通過y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）實現。

例2：求如圖4所示三鉸拱D截面的內力。已知拱軸線方程為y=4fx（L-x）/L2。

輸入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。運行程序后得D截面的內力為：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同樣得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、結語

用MATLAB編制了通用程序，可快速簡捷地求解簡支梁和三鉸拱在復雜荷載作用下任一截面的內力。仿照上述編程思想，也可解決其他類型簡單梁的內力計算和其他問題。

參考文獻：

[1]何結兵，顧愛軍，楚海建.Matlab在工程力學課程教學中的實踐[J].力學與實踐，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蔣寅軍，等.結構力學題解[M].武漢：華中科技大學出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel繪制三鉸拱的內力圖[J].力學與實踐，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力學電算法[J].應用科技， 2002，29（005）：37-39.

摘要：在《結構力學》課程教學中，三鉸拱的內力計算是個難點。本文應用MATLAB編制了通用程序，可以解決三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力的計算問題。

關鍵詞：結構力學；MATLAB；三鉸拱；內力

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）05-0096-02

三鉸拱是《結構力學》課程其中的一個章節，由于拱的截面法線與水平軸的夾角φ隨截面位置發生改變，截面內力又與φ有關，因而求解三鉸拱，尤其在復雜荷載作用下截面的內力是件煩瑣的事情。為了讓師生能從煩瑣、重復的手工計算的勞動中解放出來，把更多的時間用于基本概念、基本理論的理解及問題的解決方法上[1]，本文利用MATLAB軟件的符號運算、數值計算、編程等功能，編制了三鉸拱在復雜荷載作用下截面內力計算的通用程序，不僅提高了教學效率，也激發了學生學習《結構力學》和MATLAB的極大興趣。

三鉸平拱在只有豎向荷載作用下任一截面的內力與同跨度、同荷載的對應簡支梁對應截面的內力有如下關系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介紹簡支梁任一截面的內力計算，再介紹三鉸拱任一截面的內力計算。

一、簡支梁的內力

若簡支梁[3]上作用有均布荷載qi（i=1，nq），集中荷載 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷載的左、右端點到支座A的距離分別為ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷載和集中力偶到支座A的距離分別為ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（見圖1）。設支座反力FAy、FBy已經由平衡方程求出。

求任一截面x的內力。根據截面法，取x截面以左部分為隔離體，考慮隔離體上的荷載是任意、復雜的，可能有均布荷載，可能有集中荷載，也有可能有集中力偶，且荷載數目可能是多個。小變形條件下，可用疊加法計算內力[4]。根據截面上的剪力和彎矩分別等于隔離體上所有外力沿截面切向的投影代數和以及對所求截面力矩代數和的計算法則，分別考慮隔離體上支座反力FAy、均布荷載qi、集中荷載Fpi和集中力偶Mi等對x截面內力的影響。

（一）反力FAy的影響

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷載qi的影響

均布荷載與所求截面的位置有如下3種情況：（1）均布荷載qi全部作用在隔離體上（圖2a），此時考慮全部均布荷載的作用；（2）均布荷載qi部分作用在隔離體上，部分在隔離體外（圖2b），此時只考慮隔離體上部分荷載的作用，則 bi=x；（3）均布荷載qi全部作用在隔離體外（圖2c），則不考慮均布荷載的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq個均布荷載產生的x截面內力為：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

對于不同的均布荷載情況，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷載Fpi的影響

集中荷載與所求截面的位置有如下2種情況：（1）集中荷載Fpi作用在隔離體上，應考慮Fpi的作用；（2）集中荷載 Fpi作用在隔離體外，不考慮Fpi的作用，則Fpi=0，ci=0。

nF個集中荷載產生的x截面內力為：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

對于不同的集中荷載情況，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影響

集中力偶與所求截面的位置有兩種情況：（1）集中力偶Mi作用在隔離體上，應考慮Mi的作用，則di

nM個集中力偶產生的x截面內力為：M4=-■Mi，FS4=0（5）

對于不同的集中力偶情況，Mi取不同值。

則反力FAy、均布荷載qi、集中荷載FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面內力為：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB編制通用的程序，只需分別將均布荷載、集中荷載和集中力偶的個數：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分別到左端支座A的距離ai、bi、ci、di，梁長L以及截面位置x等輸入，就可以利用程序快速求解出復雜荷載作用下簡支梁任一截面的內力。數據輸入時，規定荷載向下為正；集中力偶順時針轉為正。結果輸出時，規定彎矩使桿件下側受拉為正，剪力使桿件順時針轉為正（這里MATLAB程序未給出）。

例1：求如圖3所示簡支梁C截面的內力。

圖3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。運行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三鉸拱的內力

考慮拱高為f的三鉸平拱，設在豎向荷載作用下的水平反力FH已經求出，其對應簡支梁的任一截面的彎矩和剪力用上述方法已可求出，則根據三鉸平拱的內力計算公式（1），只要確定截面的豎向坐標y和夾角φ，即可求出三鉸拱任一截面的內力。截面的豎向坐標y和夾角φ的確定過程如下：先對拱軸線方程y=f（x）求導，得到tanφ=y'，這可以通過MATLAB中的diff（y）實現，然后求出φ=arctan（y'）。最后計算指定x1截面的y1和φ1值，可通過y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）實現。

例2：求如圖4所示三鉸拱D截面的內力。已知拱軸線方程為y=4fx（L-x）/L2。

輸入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。運行程序后得D截面的內力為：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同樣得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、結語

用MATLAB編制了通用程序，可快速簡捷地求解簡支梁和三鉸拱在復雜荷載作用下任一截面的內力。仿照上述編程思想，也可解決其他類型簡單梁的內力計算和其他問題。

參考文獻：

[1]何結兵，顧愛軍，楚海建.Matlab在工程力學課程教學中的實踐[J].力學與實踐，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蔣寅軍，等.結構力學題解[M].武漢：華中科技大學出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel繪制三鉸拱的內力圖[J].力學與實踐，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力學電算法[J].應用科技， 2002，29（005）：37-39.