徑向基函數隨機響應面法

胡常福，任偉新，劉旭政

（1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075；2.華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013；3.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009）

徑向基函數隨機響應面法

胡常福1，2，任偉新1，3，劉旭政2

（1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075；2.華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013；3.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009）

針對隨機響應面法對非正態分布響應與標準正態分布輸入之間的復雜非線性隱函數擬合不夠理想的問題，基于徑向基函數在雜散數據擬合方面的優異性能，提出使用徑向基函數替換Hermite多項式來解決復雜非線性隱函數擬合問題。以若干個非線性解析函數和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題作為算例，驗證該方法對非正態分布響應擬合的精確性和對工程問題的適用性。算例結果表明，基于徑向基函數隨機響應面法對高度非線性的響應與輸入隱函數擬合較好；在多參數鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，精度較高，且比Hermite多項式樣本點數量少。

隨機響應面法；徑向基函數；非正態分布響應；極限承載力；鋼管混凝土拱

極限承載力表征著結構能承擔的最大荷載，是描述結構抗力的重要指標。結構的幾何參數、材料參數和初始缺陷等是影響極限承載力的主要參數，當這些參數具有不確定性時結構的極限承載力也具有不確定性。在結構極限承載力不確定性的分析方法中，蒙特卡洛有限元法MCFEM（Monte Carlo Finite Element Method）［1］將一定分布的隨機數作為確定性有限元模型的輸入，經大量雙重非線性數值計算和對輸出結果的統計分析，得到極限承載力不確定性的統計特征。該方法精度高，被廣泛認可為精確解，用于校核其他不確定性分析方法；由于MCFEM方法需進行大量非線性有限元運算，因而計算成本高。隨機響應面法SRSM（Stochastic Response Surface Method）［2］使用埃爾米特（Hermite）多項式擬合響應與參數之間的復雜隱函數關系，因而能夠快速得到系統的響應，解決了計算成本問題，并在可靠度領域得到廣泛的應用。文獻［3］對響應面法和隨機響應面法在結構可靠度分析中的應用進行了比較，發現后者具有較好的精度；文獻［4］使用隨機響應面法對可靠度靈敏度進行了分析；文獻［5］在對結構疲勞開裂分析預測中使用了隨機響應面法。為進一步拓展隨機響應面法的應用范圍，文獻［6］提出基于高階Hermite多項式的隨機響應面法，用以解決非正態分布輸出擬合及輸入隨機變量相關性問題；文獻［7］基于Nataf變換解決了隨機響應面法在相關的非正態分布隨機變量輸入情況下的應用；文獻［8］提出最優概率配點法則，用以降低高維參數下隨機響應面的試驗次數；這些工作均是隨機響應面法的進一步發展。

學者們通過對Hermite多項式研究后發現，當輸出不是正態分布時Hermite多項式的收斂較慢［9］。這個缺陷使得對響應與參數為高度的非線性函數關系時，基于低階Hermite多項式的隨機響應面法擬合不夠理想，而高階Hermite多項式表達形式過于復雜不便于使用；基于Hermit多項式的隨機響應面法使用p＋1階Hermit多項式根的組合作為試驗的樣本點，相當于p＋1個因素p＋1水平的全因子試驗，在高維參數下試驗次數急劇增多，計算效率大大降低，這一點在費時的鋼管混凝土拱極限承載力不確定分析中尤為重要。本文基于徑向基函數RBF（Radial Basis Functions）在雜散數據擬合方面的優異性能，將其引入隨機響應面法中替代Hermite多項式作為擬合函數，用以拓展隨機響應面法在響應輸入高度非線性隱函數關系中的應用。以幾個非線性解析函數和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題為例，驗證本文方法對擬合非正態分布輸出的精確性和對工程多維參數問題的適用性。

1 徑向基函數隨機響應面法

1.1 隨機響應面法

隨機響應面法是經典響應面法RSM（Response Surface Method）的拓展，它將標準正態分布隨機變量ξ作為系統的輸入，采用如式（1）所示的Hermite多項式擬合系統響應與輸入之間的隱函數關系［2］。

根據概率配點法則，選用p＋1階Hermite多項式根的組合作為試驗的樣本點，將樣本點響應值代入式（1），組成關于未知系數的方程組，使用最小二乘法解出待定系數，即得到系統響應與輸入隨機變量復雜隱函數的顯示表示。

以上分析均在標準正態空間中，因而需將其轉換到參數原始空間。標準正態分布隨機變量與常見分布隨機變量的轉換關系見文獻［2］，其中與正態分布隨機變量轉換關系如式（3）所示。

1.2 徑向基函數隨機響應面法

徑向基函數是一類以向量歐式范數為自變量的對稱函數［10］，由徑向基函數及其線性組合張成的函數空間可以逼近空間內任何函數［11］，當然也可以逼近幾乎任何強非線性函數。文獻［12］提出了正定的緊支徑向基函數CSRBF（Compactly Supported Radial Basis Functions），研究實踐表明增廣緊支徑向基函數ACSRBF（Augment Compactly Supported Radial Basis Functions）對大多數函數逼近較好［13］。

針對解決響應與輸入之間復雜非線性隱函數的擬合問題，引入增廣緊支徑向基函數ACSRBF替代隨機響應面中的Hermite多項式作為新型擬合函數，此時隨機響應面方程如式（4）所示

將方程組（5）、（6）合并為如式（7）所示n＋p階矩陣方程

2 典型非線性解析函數檢驗

為檢驗增廣緊支徑向基隨機響應面的適用性，以式（8）所示的幾個典型非線性解析函數為例，驗證在強非線性情況下本文方法的精確性。

式中：f1（x）為完全二階多項式函數；f2（x）為Brainin rcos函數；f3（x）為一維Griewank函數；f4（x）為二維Griewank函數；f5（x）為Schaffer函數。這些函數取自文獻［13-14］，并做了部分修改。使用二階Hermit多項式隨機響應面法（以下簡稱Hermit隨機響應面法）、增廣緊支徑向基函數隨機響應面法（以下簡稱RBF隨機響應面法）擬合以上函數，并與解析函數一起進行1萬次蒙特卡洛計算以模擬其函數值的不確定性，其中自變量的不確定性如表1所示。3種方法的結果在響應統計值、概率密度曲線方面的比較，如表2和圖1所示。

表1 測試函數自變量的統計特征

表2 測試函數的響應統計值比較

圖1 測試函數的概率密度比較

由表2可以看出，當函數非線性程度較小時如f1（x）、f2（x），Hermit多項式結果的均值相對誤差最大值為1.41%，標準差相對誤差最大值為1.70%，RBF結果的均值相對誤差最大值為5.06%，標準差相對誤差最大值為4.75%，兩者均滿足工程精度要求；當函數非線性程度較高時如f3（x）、f4（x）、f5（x），Hermit多項式結果的均值相對誤差最大值為92.91%，標準差相對誤差最大值為85.81%，RBF結果的均值相對誤差最大值為3.64%，標準差相對誤差最大值為2.34%，表明RBF比Hermit多項式更適應于強非線性函數。由圖1可以看出，在4個函數中，RBF結果的概率密度曲線均與解析解曲線吻合較好，Hermit多項式結果的概率密度曲線除f2（x）外，均與解析解曲線相差較大。綜合表2和圖1可知，在響應與參數非線性程度較小時，Hermit多項式與RBF均可作為擬合函數，且誤差不大；當非線性程度較高時，Hermit多項式結果與解析解相差較大，而RBF結果均與解析解吻合較好。

3 極限承載力不確定性問題檢驗

文獻［15］對鋼管混凝土單圓管肋拱進行了面內極限承載力試驗，文獻［16］基于鋼管混凝土統一理論對此試驗進行了數值模擬。本文以該數值模型作為研究鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的有限元模型，使用Hermit多項式隨機響應面法、RBF函數隨機響應面法與Monte Carlo有限元法分別對該問題進行計算，并將三者結果進行比較用以檢驗本文方法在工程問題中的適用性。

影響鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性的因素，主要有材料參數不確定性、截面參數不確定性和初始軸線偏差不確定性等，且參數基本為正態分布隨機變量。本文選取鋼材屈服強度fy、混凝土抗壓強度標準值fck、截面直徑D、鋼管壁厚t與拱軸線面內偏差最大值（面內一階反對稱失穩模態）y0，L／4共5個物理量作為極限承載力不確定性分析的輸入，如表3所示。

表3 輸入隨機變量統計特征

使用Hermit多項式隨機響應面法、RBF函數隨機響應面法及Monte Carlo有限元法，分別對確定性有限元模型的2參數（fy、fck）隨機工況、3參數（fy、fck、D）隨機工況、4參數（fy、fck、D 、t）隨機工況、5參數（fy、fck、D 、t、y0，L／4）隨機工況的拱頂集中力作用下極限承載力的不確定性進行分析。其中Hermit多項式隨機響應面法樣本點為三階Hermite隨機多項式根 （－，0，）的組合，其樣本點數量分別為32、33、34、35個；RBF函數隨機響應面法的樣本點采用中心復合設計法，其樣本點數量分別為22＋5、23＋7、24＋9、25＋11 個。Hermit多項式及RBF函數隨機響應面法結果與1萬次Monte Carlo有限元法結果的比較，如表4和圖2所示。

表4 鋼管混凝土肋拱極限承載力結果比較

圖2 概率密度曲線比較

由表4可以看出，在2參數至5參數的各隨機工況，使用Hermit多項式及RBF函數隨機響應面法計算的鋼管混凝土拱極限承載力不確定性與Monte Carlo有限元法結果相比，Hermit多項式結果均值相對誤差的最大值為0.34%，標準差相對誤差的最大值為1.60%，RBF函數結果均值相對誤差的最大值為0.47%標準差相對誤差的最大值為1.61%，表明兩者均具有較高的精度；由圖2可以看出，在兩參數至五參數的各隨機工況，使用Hermit多項式及RBF函數隨機響應面法計算的概率密度曲線與Monte Carlo有限元法結果均吻合較好；對4個工況計算結果的進一步分析結果表明，鋼管混凝土拱極限承載力不確定性結果的統計分布不拒絕正態分布假設，所以RBF隨機響應面結果不能比Hermit隨機響應面結果精度更高，因大量研究實踐表明后者在正態分布結果擬合方面具有很高的精度。在樣本點數量方面，Hermit多項式隨機響應面法在五個隨機工況下分別為32、33、34、35個，而RBF函數隨機響應面法樣本點數量分別為22＋5、23＋7、24＋9、25＋11個，分別為前者的1.00、0.56、0.31、0.18倍，呈現出隨著參數維數的增加而樣本點數量大量減少的規律。綜合表4、圖2和樣本點分析可知，在輸出為正態分布的多維參數不確定性工程問題中，RBF函數隨機響應面法與Hermit隨機響應面法精度均較高，后者在具有較好精確性的同時，樣本點數量大大減少，且隨著參數維數的增加而減少越明顯。

4 結論

基于徑向基函數在雜散數據擬合方面的優異性能，將其引入隨機響應面法中替代Hermite多項式作為擬合函數，用以解決響應與輸入高度非線性復雜隱函數的擬合問題；通過對幾個典型非線性解析函數和鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的檢驗，得到以下主要結論。

1）基于徑向基函數的隨機響應面法，可用于非正態分布響應與標準正態分布輸入之間復雜非線性隱函數的擬合問題。

2）通過對幾個典型強非線性解析函數不確定性的驗算結果表明，徑向基函數隨機響應面法的響應統計特征值和概率密度曲線均與精確解吻合較好。

3）在鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，徑向基函數隨機響應面法結果與 Monte Carlo有限元法結果在響應統計特征值和概率密度曲線方面均吻合較好，計算成本較傳統Monte Carlo有限元法顯著減少。

4）對鋼管混凝土拱極限承載力5個隨機參數工況不確定性的分析結果表明，在輸出為正態分布的工程問題中，徑向基函數隨機響應面法樣本點數量比Hermit多項式隨機響應面法大為減少，且隨參數維數的增加而減少越明顯。

5）數學算例與鋼管混凝土拱極限承載力不確定性算例表明，徑向基函數隨機響應面法在非正態分布與多參數正態分布響應擬合方面具有較好的優勢，傳統Hermit隨機響應面在少參數的正態分布響應中應用結果較好。

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（編輯 王秀玲）

Stochastic Response Surface Method Based on Radial Basis Functions

Hu Changfu1，2，Ren Weixin1，3，Liu Xuzheng2

（1.School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，P.R.China 2.School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，P.R.China 3.School of Civil Engineering and Water Conservancy，Hefei University of Technology，Hefei 230009，P.R.China）

For non-ideal interpolation results of complex implicit nonlinear functions between non-normal distribution response and standard normal distribution inputs using stochastic response surface method，radial basis functions was used to replace Hermite polynomials so as to solve complex implicit nonlinear function interpolation problem for its excellent performance on scattered data interpolation.A few nonlinear analytical functions and uncertainty problems of the load carrying capacity of single circular concrete filled steel tubule（CFST）arch were used as examples to test and verify the precision of proposed method in non-normal distribution response interpolation and its engineering applicability.The results show that stochastic response surface method based on radial basis functions performs well in fitting highly nonlinear input implicit functions，and can achieve high precision on multi-parameters CFST arch load carrying capacity uncertainty problems.Meanwhile，the method has less sample points compared to the Hermite polynomials method.

stochastic response surface method；radial basis functions；non-normal distribution response；load carrying capacity；concrete filled steel tubule arch

U441

A

1674-4764（2014）02-0042-06

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.007

2013-05-12

國家自然科學基金（50678173、51278163）；江西省教育廳項目（GJJ12325）；鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心資助項目

胡常福（1980-），男，博士生，主要從事拱橋極限承載力研究，（E-mail）hcf＠ecjtu.jx.cn。

任偉新（通信作者），男，教授，博士生導師，（E-mail）renwx＠hfut.edu.cn。