超大跨徑CFRP主纜懸索橋靜力性能理論分析

王立彬，吳 勇

（南京林業大學 土木工程學院，南京 210037）

超大跨徑CFRP主纜懸索橋靜力性能理論分析

王立彬，吳 勇

（南京林業大學 土木工程學院，南京 210037）

首先推導了大跨懸索橋的無量綱形式平衡方程和協調方程得到索力和位移控制方程，然后推導了索力方程中的特征參數λ2的表達式，分析了參數λ2和載荷比P對索力和位移增量的影響。在此基礎上，以3 000 m跨度懸索橋為算例，分析了在正反對稱載荷工況下考慮和不考慮拉索彈性伸長情況下的懸索索力和位移增量的特征，最后對比鋼索，分析了懸索橋跨度對CFRP纜索內力、位移控制方程參數的影響，以及參數變化對纜索體系懸索橋靜力行為的影響，闡述了大跨CFRP懸索橋靜力行為的本質特征，從理論上證明了CFRP懸索體系的優勢和特點。

懸索橋；CFRP索；鋼索；靜力性能

現代懸索橋主纜一般都采用鋼索，而纜索體系的纜索材料用量隨跨度的平方增長。如果采用傳統的鋼索，主纜的自重將特別可觀，其自重應力將消耗掉容許應力的相當大部分，承載效率會非常低［1］。另外，銹蝕也是鋼索耐久性面臨的嚴峻問題之一。正是由于鋼索的這些缺陷限制了現代懸索橋向超大跨徑的發展。碳纖維復合材料（簡稱CFRP）具有輕質高強、耐腐蝕、耐疲勞等特點。這些性能特點說明CFRP很有可能代替鋼材成為主纜用材，很多學者對用CFRP的橋用性能進行了研究。

Meier［2］提出了CFRP用于橋梁纜索體系的思想并在Stork橋上首次應用CFRP索，對該橋長期的跟蹤監測表明，CFRP索的測試結果超過了預期效果。呂志濤等［3］在江蘇大學建設了首座CFRP索斜拉橋。在理論研究方面，Wang等［4－5］研究了CFRP、BFRP、B／SFRP等6種不同組成成分的FRP力學性能和疲勞性能，從拉索強度和等效剛度的基礎上，評估了各種CFRP拉索的安全因子，分析了這6種千米級CFRP拉索的適用范圍。李翠娟等［6］利用有限元分析軟件對超大跨徑CFRP主纜懸索橋與超大跨徑鋼主纜懸索橋的靜動力特性進行對比分析；齊玉軍等［7］研究了FRP索和鋼索的極限跨徑計算；馬文剛等［8］利用有限元軟件對CFRP索和鋼索懸索橋靜力性能進行了對比研究。

以上文獻，多基于有限元方法建立懸索橋模型，分析CFRP懸索橋的力學特性，基于理論方法的研究CFRP懸索橋的文獻尚未見到。

中小懸索橋以索梁分析為主，大跨徑懸索橋分析回歸到纜索分析。Irvine［9］、Gimsing［10］、Algirdas等［11］基于公式方法研究了纜索力學特征，本文綜合了以上學者的方法，對比鋼索，研究了CFRP索不同跨度、不同矢跨比下的特征參數的變化規律，以及特征參數及荷載參數變化對懸索索力和位移控制方程的影響，從理論上綜合分析了懸索強度、比重等材料參數，拉索跨度、矢高、截面積等幾何參數，以及恒活載集度比例、作用位置等參數對大跨度纜索靜力性能影響的規律，在理論上證明了CFRP懸索體系的優勢和特點。

1 懸索的控制方程

1.1 懸索的平衡方程

圖1 受均布荷載懸索示意圖

如圖1所示懸索，其單位長度重量為mg、跨徑為l、矢高為f。在沿跨徑方向x1處施加一個荷載集度為p，長度為x2－x1的均布荷載，支座A處的支座反力VA

對于沿跨徑方向任意x處，滿足方程：

1.2 懸索的協調方程及索力方程

1.3 索力方程的幾種特殊情形

1.3.1 滿跨荷載下懸索的控制方程 式 （4）、（5）針對均布荷載任意長度的情形，即x1和x2不固定，對于荷載滿布全跨，即x1＝0，x2＝1時，可以得到2個簡化的方程

1.3.2 不考慮懸索彈性變形的懸索的控制方程索為柔性彈性體，在荷載作用下，其位移可分為懸索彈性伸長引起的位移和懸索幾何形狀改變引起的位移，對于CFRP索，有必要進一步分析彈性位移和形變位移兩者的大小及其對懸索結構內力的影響。

此時，懸索的平衡方程并未發生改變，式（5）、（6）、（7）依然成立。但是此時懸索的協調方程發生變化。懸索沒有彈性伸長即公式（8）中a和c的值為0，則公式（8）中的b亦為0，得式（12）。

2 懸索控制方程解的特征

由上文可知，在索力增量方程中，參數λ2和P是影響解的2個重要參數。以下將介紹λ2的意義和這2個參數對于懸索水平力相對增量h和無量綱位移w／d的影響。

圖2 水平懸索示意圖

2.1 參數λ2的公式及意義

如圖2所示假設懸索初始狀態呈拋物線狀，則懸索自重沿跨徑均勻分布，懸索的水平拉力分量H為：

如果懸索兩端向外移動Δl／2，假設懸索不伸長，按靜力平衡和變形協調條件可得到懸索內力、跨徑和矢高三者變化量之間的關系：

1）按靜力平衡，將式（14）對f和l分別求導可得

從以上推導可以看出，λ2是懸索的重要特征參數，反映了懸索的重力剛度和彈性剛度兩者之間的比例關系，影響著懸索的剛度，是對懸索性質的重要描述參數。當λ2很小時，式（25）的分母趨近于1，ka幾乎等于彈性剛度。

P和x1、x2是表示懸索的受力的無量綱參數，反映了荷載的大小和位置，是懸索水平力增量h變化的外因；λ2反映了懸索材料、截面積、線密度等自身參數以及跨度矢高等幾何參數，以及懸索的初始狀態，是懸索水平力增量h變化的內因，因此P、x1、x2、λ2是影響懸索特征方程解的重要參數。

2.2 懸索方程的解的特征

為了研究λ2和P對懸索靜力學行為特征的影響，不失一般性，取均布荷載滿布情況下的力和位移方程，即式（10）、（11），以跨中截面作為觀察截面，即x＝0.5。利用計算軟件Matlab計算分析參數λ2和P對懸索水平力相對增量h和無量綱位移w／d的影響。

2.2.1 參數λ2、P與懸索水平力相對增量h的關系如圖3所示，分析圖3可以得到：

圖3 λ2、P與水平力相對增量h的關系圖

1）當P一定時，在λ2較小時，隨著λ2的增大懸索水平力相對增量h會有顯著的增加；而當λ2增大到一定程度之后懸索水平力相對增量h趨向一個定值。這說明λ2的改變只有在其值較小時才會對懸索的內力產生影響。對于工程懸索，P一般小于10，此時當λ2≥500，其值的改變幾乎不對懸索內力產生影響。

2）當λ2一定時，隨著P的不斷增大，懸索水平力相對增量h也增大，且P值的變化對懸索水平力相對增量h影響顯著。因此，在內力控制時應注意P的取值，控制活載與恒載之間的比例盡可能小。

2.2.2 參數λ2、P對跨中無量綱位移w／d的影響 如圖4所示，分析圖4可以得到：

1）當P一定時，在λ2很小時，隨著λ2的增大跨中無量綱位移w／d會有顯著的減小；而當λ2增大到一定程度之后跨中無量綱位移w／d趨向一個定值。這說明λ2的改變只有在其值較小時才會對懸索的跨中位移產生影響，而當λ2≥400時其值的改變幾乎不對懸索跨中位移產生影響。

圖4 λ2、P對跨中無量綱位移w／d的影響

2）當λ2一定時，隨著P的不斷增大，跨中無量綱位移w／d也增大。

綜上所述，當特征參數λ2較大時，即索的彈性剛度與重力剛度之比比較大時，彈性剛度在整體剛度中起主導作用時，對于特定的荷載水平，懸索的水平力相對增量h與跨中無量綱位移w／d都趨于恒定。

3 CFRP索與鋼索的靜力性能

根據上文的理論公式，研究大跨CFRP懸索橋的靜力學特征，并與鋼懸索橋進行對比分析。

3.1 兩類懸索的性能參數及荷載

懸索材料的主要性能參數見表1。

表1 懸索材料的主要參數

本文算例為雙向六車道公路懸索橋，懸索的荷載主要分為懸索的自重，主梁恒載和活載3部分。主梁恒載集度取定值220 k N／m。活載為公路I級荷載，不考慮集中荷載的影響，不考慮人行荷載，約取定值37 k N／m。

3.2 懸索最小截面積的確定

CFRP索和鋼索在重度、彈性模量、容許應力方面存在較大的差異，為了便于CFRP索和鋼索橋梁的力學行為的比較分析，需要確定CFRP索和鋼索的截面面積。

考慮CFRP索和鋼索的特點，根據極限設計原則，確定鋼索安全系數為2.2和CFRP索的安全系數為3.0［13］，得到鋼索和CFRP索的容許應力分別為818和667 MPa，矢跨比取常用值1／10，荷載布置為滿跨布載。

根據公式計算得到懸索的最小截面面積。

式中：F為跨中截面內力F＝H＋H×h；σ為容許應力。

計算得到懸索的最小截面積。

表2列出了矢跨比為1／10的CFRP索和鋼索在跨徑從1 000～10 000 m的最小截面面積。

表2 懸索的最小截面積

從表2可以得知，雖然CFRP索的容許應力比鋼索要小，但是在相同跨徑相同矢跨比下CFRP索的最小截面面積要比鋼索小，且隨著跨徑的增加兩者之間的差距不斷加大。這說明在等跨徑同矢跨比條件下CFRP索更省材料。此外，從表2可以得知，CFRP的極限跨徑明顯比鋼索要大，這與文獻的研究結論是一致的［7］。

3.3 以特征跨度（3 000 m）為例靜力性能計算

3.3.1 撓度計算位移的工況選擇 如圖1所示懸索，受到一個荷載長度為2a、集度為q1＋q2的恒載作用，其中q1為自重集度，q2為主梁恒載集度；同時也受到一個荷載長度為2b、集度為q3的活載作用。考慮兩種工況：

工況1：活載q3正對稱分布，自重q1和主梁恒載q2滿布，即2a＝l。活載q3以懸索中線為對稱軸正對稱布置，分布長度為2b，即x1＝（a－b）／l、x2＝（a＋b）／l。

工況2：活載q3反對稱分布，自重q1和主梁恒載q2滿布，即2a＝l，活載q3全部布置在懸索中線的一側（本文算例為左側）且2b＝l／2。此種工況下即x1＝0，x2＝0.5。

在工況1情況下，Niels J.Gimsing對活載分布長度與恒載分布長度的比值即b／a，從0.1變化到1.0的過程中，考慮懸索伸長和不考慮懸索伸長兩種情況下跨中豎向撓度進行了研究。結果表明b／a＝0.4時，跨中豎向撓度取得最大值［10］。由此結論，本文計算正對稱荷載作用下撓度時，均全部計算b／a＝0.4時的跨中豎向撓度。即式（6）、（9）、（13）中x1＝0.3，x2＝0.7。

在工況2情況下，Algirdas等對反對稱作用下的懸索的豎向撓度進行了研究，結果表明在懸索左側四分點產生最大正撓度，右側四分點產生最大負撓度［11］。由此結論，本文計算反對稱荷載作用下豎向撓度，均全部計算在考慮懸索伸長和不考慮懸索伸長下的四分點撓度。

3.3.2 3 000 m跨徑正對稱均布荷載作用下的靜力性能 根據表2計算結果，取CFRP索的截面面積為1.6 m2，鋼索的截面面積為1.84 m2。材料性能參數同表1，矢跨比為1／10。由式（25）計算各關鍵截面位移及懸索內力。得到3 000 m跨徑跨中截面（x＝0.5）正對稱均布荷載作用下的靜力性能結果如表3。

從表3可以看出是否考慮懸索的彈性伸長對內力的影響不大，但是對跨中豎向撓度影響很大，本文將就這一點在下文做詳細的闡述。

3.3.3 3 000 m跨徑懸索反對稱均布荷載作用下的靜力性能 3 000 m跨徑懸索，四分點截面反對稱均布荷載作用下的靜力性能結果如表4。

按規范［14］要求，若出現正負撓度那么總撓度應該是正負撓度絕對值之和。由表4可知，反對稱荷載產生的撓度比正對稱荷載產生的撓度大。因此，反對稱荷載也是一種最不利布載形式，在懸索橋設計計算中應被重點考慮。

表3 3 000 m跨徑懸索受正對稱均布荷載作用結果

表4 3 000 m跨徑懸索受反對稱均布荷載作用結果

4 跨徑和矢跨比對懸索靜力性能的影響

跨徑是懸索橋設計計算過程中一個非常重要的參數。研究不同跨徑下兩類懸索的靜力性能有十分重要的意義，為今后超大跨徑懸索橋設計提供理論依據。本文根據兩種材料不同的材料性能，分別取CFRP索跨徑在1 000～10 000 m范圍，鋼索跨徑在1 000 m至6 000 m范圍。計算方法與上文所示相同，研究內容分為3部分：1）跨徑變化下的參數λ2和P的變化規律；2）特殊截面的內力和撓度；3）彈性撓度和形變撓度之間比重的變化規律。計算結果如圖5所示。

圖5 靜力性能對比

分析圖5得：

1）從圖5（a）得出，懸索截面面積隨著跨徑的增大而增大。在1 000～3 000 m范圍內，特別是在2 000 m跨度以內，由于安全系數設置的差異，CFRP索截面面積和鋼索截面面積差異不大；在4 000～6 000 m范圍內，鋼索橫截面面積曲線極度陡峭，表明懸索橫截面面積激增，其跨徑接近了其極限跨度。由此可知CFRP索在超大跨徑中更有優勢。

2）圖5（b）表示在一定的安全系數和矢跨比下，跨徑變化對特征參數λ2的影響，進而影響了懸索控制方程解的特征。鋼索和CFRP索的特征參數都會隨著跨徑的增加而減小。鋼索的λ2的范圍大致在154～172之間，CFRP索的λ2的范圍大致在158～166之間。由圖3和圖4可知，鋼索和CFRP索λ2的范圍處于參數敏感區間，懸索位移增量和水平力增量對于λ2變化較為敏感，進一步分析詳見第5節。

3）由圖5（c）可知，對于大跨懸索，活恒載之比P遠小于1。對于CFRP索，即便跨徑從2 000 m增加到10 000 m，其承載比例仍然大于0.12，說明CFRP具有較高的承載能力。而鋼索在4 000 m跨徑以上活恒載比已經降至0.08以下，表明跨徑的增加后鋼懸索主要承擔其自重，承擔活載的能力嚴重不足。

4）由圖5（d）和圖5（e）可知，隨著跨徑的不斷增大，懸索截面水平力的絕對增量也不斷增大，且不考慮懸索的彈性伸長時的水平力的絕對增量要比考慮懸索彈性伸長時大。但只要活載相同，無論是CFRP索還是鋼索水平力的絕對增量是幾乎相同的。這表明截面水平力的絕對增量與活載有關，而與懸索材料無關。此外，隨著跨徑的增加懸索水平力相對增量在減小，然而跨徑的增加會導致初始水平力H增加。綜合這兩種因素由圖5（d）和圖5（e）可知水平力的絕對增量依然是隨著跨徑的增加而增加的，即跨徑變化時懸索水平力的相對增量與絕對增量變化不一致，也從一個側面說明懸索初始的水平力大小十分重要。

5）圖5（f）和圖5（g）反映的是懸索在受到活載作用后一些特殊截面的撓度。由圖可知，反對稱荷載作用下跨徑四分點處的撓度值要大于對稱荷載下跨中撓度。在1 000 m跨徑時，CFRP索和鋼索在反對稱荷載作用下的撓度幾乎相同，但4 000 m跨徑時，CFRP索的撓度增大為鋼索撓度的2倍。鋼索在4 000 m跨徑時出現撓度曲線峰值拐點，但是CFRP索即使在10 000 m，仍未出現撓度曲線峰值拐點，但撓度增長趨勢放緩。計算表明，CFRP索的最大撓度仍然滿足規范要求［14］，即不大于跨徑的1／250～1／300。同時由圖可知，懸索的撓度實際是有兩部分組成，一部分是由懸索彈性伸長造成，一部分是由懸索的形變造成，在正對稱荷載情形下，彈性變形引發的跨中撓度增量絕對值較大。

6）圖5（h）反應了正反對稱荷載作用下，由形變引起的跨中撓度占同時由形變和彈性變形引起的跨中總撓度的比重，即剛度比重。CFRP索在正對稱荷載作用下形變引發的剛度比重大致為64%，在反對稱荷載作用下剛度比重大致為83%。鋼索在正對稱荷載作用下剛度比重大致為64%，在反對稱荷載作用下剛度比重大致為83%。顯然形變造成的撓度占主要部分，且在反對稱荷載下剛度比重更大。但是剛度比重并不隨跨徑的變化發生很大改變，上下浮動不超過2%，并且鋼材和CFRP在相同條件下的剛度比重值基本相同，可見，材料的差異在撓度的比例分配上不起主導作用，這一規律也揭示了大跨懸索橋的本質特征的一面。

5 懸索方程解的綜合分析

上文指出λ2、P是影響懸索控制方程解的主要參數，本節將綜合這兩種參數分析在跨徑變化過程中對控制方程（9）、（13）解的影響。

5.1 跨度對懸索索力的影響分析

圖5（b）、（c）反映了跨度變化時特征參數λ2及荷載參數P的變化規律，圖3反應了拉索索力增量與特征參數λ2及荷載參數P的關系。因此，將圖5（b）、（c）疊放于圖3并局部放大，得到圖6，該圖直觀反映了正對稱荷載作用下，跨徑變化對懸索索力方程解的影響。

圖6 正對稱荷載對索力方程解的影響

隨著跨徑的變化，影響懸索索力方程的2個參數λ2和P均發生了變化。鋼索的特征參數從1 000 m跨徑時的171減小至5 000 m跨徑時的 157；CFRP索的特征參數λ2從1 000 m跨徑時的166減小至10 000 m跨徑時的157。鋼索的荷載參數P從1 000 m跨徑時的0.14減小至5 000 m跨徑時的0. 06；CFRP索的荷載參數P從1 000 m跨徑時的0.16減小至10 000 m跨徑時的0.11。由這些數據可以得知，兩類索的這2個參數都隨跨徑的增加而減小，表現為向左下方的一條斜直線，說明索力增量近乎線性減少。

其中，鋼索特征參數λ2和CFRP索特征參數λ2變化范圍較小，兩者較為接近。但荷載參數P的變化不同，CFRP變化斜線位于鋼索斜線上方，且曲線長度較短，表明鋼索的荷載參數P變化幅度明顯大于CFRP索，這就說明在超大跨徑時CFRP索承受活載的能力更強。

由于懸索索力方程參數的變化，導致兩類索的水平力相對增量h也發生變化。正對稱荷載情況下，鋼索的水平力相對增量h從0.077減小至0. 032；CFRP索的水平力相對增量h從0.086減小至0.057。兩種情況下水平力相對增量h的變化都是線性的。同矢跨比，跨徑增大會使水平力相對增量h減小，但是由于兩類索材料密度不同，每種情況的初始水平力H都不一樣。結合圖5（d）、（e）可知，水平力的絕對增量依然還是一樣的，這就說明水平力的增量與懸索材料無關，與施加的活載有關

5.2 跨度對懸索變形影響分析

與圖6的方法類似，將圖5（b）、（c）疊放于圖4中，得到圖7，該圖直觀反映了正對稱荷載作用下，跨徑和矢跨比對懸索變形協調方程解即無量綱位移w／d的影響。

圖7 正對稱荷載對變形協調方程解的影響

跨徑變化導致懸索變形協調方程參數發生變化，對方程的解，即無量綱位移w／d產生影響。正對稱荷載作用下，鋼索的無量綱位移w／d從1 000 m跨徑時的0.015減小至5 000 m跨徑時的0. 007；CFRP索的無量綱位移w／d從1 000 m跨徑時的0.017減小至10 000 m跨徑時的0.012。結合圖10可知，兩類索的無量綱位移w／d隨跨徑變化的變化曲線是線性的，且CFRP索的無量綱位移w／d明顯大于鋼索。同時，CFRP索的曲線較密，鋼索的曲線較疏，說明鋼索的無量綱位移w／d隨跨徑變化而變化的速度更快。

6 結論

1）兩種主纜材料在超大跨徑懸索橋的靜力性能有較大差別，采用CFRP材料做超大跨徑懸索橋主纜將大幅降低主纜應力中的主纜自重應力所占百分比，從而提高材料的利用率，CFRP索在超大跨徑時優勢更明顯。

2）對于等跨徑同矢跨比懸索，CFRP索的撓度明顯大于鋼索，但撓度依然能滿足規范要求。

3）跨徑變化對懸索特征參數λ2值的改變不明顯，但變化范圍在懸索特征參數λ2的敏感區間，對懸索水平力和位移的影響較大。

4）反對稱荷載也是一種最不利布載形式，在懸索橋的設計計算過程中應被重視。

5）兩類索彈性剛度占總剛度的比重基本一樣，跨徑對兩類索彈性剛度占總剛度的比重影響很小，基本為定值。

6）兩類索水平力的增量與懸索材料無關，與施加的活載有關。

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（編輯 王秀玲）

Theoretical Analysis of Static Performance of Super Span Suspension Bridge with CFRP Cable

Wang Libin，Wu Yong
（School of Civil Engineering，Nanjing Forestry University，Nanjing 210037，P.R.China）

Equilibrium equation and compatibility equation are deduced to get the cable force equation and cable displacement control equation.Then the expression of characteristic parameterλ2in cable force equation is deduced.Meanwhile，the influence on the increment of cable force and displacement caused by λ2and load ratio P is analyzed.On this basis，taking 3 000 m span suspension bridge as a calculating example，the characteristics of the increment of cable force and cable displacement under symmetrical and asymmetrical load are studied.In this case，two different conditions are considered.One takes the elastic elongation into consideration，but the other does not.At last，compared with the steel cable，the influence on the parameter in cable force equation and displacement control equation caused by span is analyzed.The influence of the static performance of suspension bridge by parameter changing is analyzed as well.The substantive characteristics of the static performance of super span CFRP suspension bridge are cleared and the superiority and characteristics of CFRP cable structure are demonstrated in theory.

suspension bridge；CFRP cable；steel cable；static performance

U448.25

A

1674-4764（2014）02-0048-09

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.008

2013-05-20

王立彬（1970-），男，博士，副教授，主要從事橋梁工程計算理論研究，（E-mail）469629649＠qq.com。