RC偏壓構件精細抗力概率模型

蔣友寶，廖 強，馮 鵬

（長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙 410004）

中國現行標準［1］在校核RC偏壓構件截面的可靠度時，是按固定偏心距的思路來分析的，即按某一固定偏心距值來選擇對應的抗力統計參數。這是一種不考慮偏壓破壞模式隨機不確定性的思路，因而當偏壓破壞模式會隨機變化時，按這種思路得到的可靠度校核結果將會有一定的誤差。

貢金鑫等［2］的研究表明，即使不考慮偏心距的隨機變異性，設計為大偏壓的構件仍會有發生小偏壓破壞的可能；而設計為小偏壓的構件也會有發生大偏壓破壞的可能，即偏壓破壞模式的隨機可變性是較為常見的。實際結構中由于荷載的非完全相關性［3－4］，構件截面上的彎矩和軸壓力亦是非完全相關的，即偏心距具有較強的隨機變異特性，顯然此時這種偏壓破壞模式的隨機可變性將會增強。而現行標準［1］中的可靠度分析方法因對此考慮不夠充分將會高估大偏壓構件的設計可靠指標［5－7］，使得設計偏于不安全。研究表明RC大偏壓柱設計偏于不安全的問題亦存在于多個國家的結構設計規范中。例如Milner等［8］的分析表明軸壓力與彎矩的隨機相關性（即偏心距的隨機特性）對RC柱可靠度的影響較大，當軸壓力低于界限軸壓力時（即大偏壓情形），按美國ACI-318規范設計的RC柱會偏于不安全。另外，Hong等［9］分析了按加拿大規范設計的RC柱可靠度，結果表明不考慮偏心距的隨機特性會使RC大偏壓柱的設計可靠度偏低目標可靠度較多。由于極限狀態時，RC偏壓構件截面能承受的軸壓力和彎矩是一條復雜的相關曲線，因此相關研究多采用數值積分 方 法［8－9］或 Monte Carlo方 法［10－11］等 來 計 算可靠度。事實上若能獲得一個隨偏心距值連續變化的抗力概率模型，則在偏心距和荷載效應的隨機概率分布已知的情形下，可采用成熟的JC算法來求得不同偏心距值下的條件失效概率，然后由全概率原理便能較為精確地求得失效概率值。因此在這種思路下，如何獲得隨偏心距值連續變化的抗力概率模型便較為關鍵。Mirza等［12］采用Monte Carlo方法分析了美國ACI規范中RC偏壓構件在不同偏心距和配筋率下的抗力概率模型，然后應用這些概率模型，基于可靠度校準得到了美國規范用抗力分項系數值。對比之下，中國現行標準［1］中偏壓構件抗力統計參數卻較為粗糙，僅以兩種偏壓（大小偏壓）狀態之分來給出相應的抗力統計參數，因而當偏心距值變化、配筋率變化時，標準［1］中的抗力統計參數將較難精確地反映這種變化。這給RC偏壓構件的可靠度分析與設計帶來了一定程度的不精確性。

本文研究了不同偏心距和配筋率下RC偏壓構件的抗力統計參數。在此基礎上，對比分析了隨機偏心距下不同RC偏壓構件抗力概率模型的適用性，供相關人員參考。

1 RC偏壓構件抗力模型的分析方法

1.1 不同偏心距下抗力的計算

考慮柱截面為對稱配筋的情形，依據現行混凝土結構設計規范［13］，當柱截面在偏心距e下達到極限狀態時，相應的承載力計算式為

式中：f′y為鋼筋抗壓強度；A′s為受壓鋼筋面積；fc為混凝土抗壓強度；α1為等效矩形受壓區的應力換算系數（C50以下取為1.0）；x為等效矩形受壓區的高度；h和h0分別為截面的幾何高度和有效高度；b為截面寬度；a′s和as分別為兩側鋼筋重心至相應邊緣的距離；σs和As分別為遠離軸向壓力一側的鋼筋應力和面積。

對于大偏壓破壞的情形，遠離軸向壓力一側的鋼筋受拉能夠屈服，即σs＝fy，這樣可求得此時柱截面所能承受的軸向壓力值N u，其計算式為

而對于小偏壓破壞的情形，遠離軸向壓力一側的鋼筋受拉不能屈服，σs可按式（4）計算。

式中：ξ為相對受壓區高度；ξb為相對界限受壓區高度，取為0.55；β1為等效矩形應力圖形中引入的高度系數，取為0.8。設此時柱截面所能承受的軸向壓力值為Nu，其計算式為

1.2 現行規范抗力概率模型的說明

現行標準［1］中偏壓構件抗力模型中的統計參數如表1所示，其中κ表示平均值與標準值之比值，δ為變異系數。由于軸心受壓構件與受彎構件可視為偏壓構件中偏心距e＝0和e＝∞的特例，因此表1同時列出了這兩類構件的統計參數。

表1 各種構件的抗力統計參數

從表1可知，小偏壓構件抗力模型中κ與δ值均較大；而大偏壓構件抗力模型中κ與δ值均較小；且表1中不同偏心受力情形下κ與δ值的變化程度較大，例如當e＝0變化至e＝∞時，κ值下降了15%，δ值下降了41%。這說明現行標準中偏壓構件抗力統計參數較為粗糙，沒有給出不同偏心距值下的抗力統計參數，因此需加以完善。

1.3 不同偏心距下抗力概率模型的分析方法

由于抗力不確定的因素主要有材料強度的不確定性、截面幾何參數的不確定性和計算模式的不確定性。對于RC偏壓構件，參考文獻［14］，各種不確定變量的統計參數如表2所示。

表2 各種抗力因素的統計參數

由式（3）、式（5）可知偏壓構件的抗力是混凝土強度、鋼筋強度和截面幾何參數的復雜函數，再考慮計算模式不確定性后此函數式將更為復雜，因此應用解析方法來推導其統計參數較為困難，為此采用Monte Carlo方法來進行分析。定義歸一化的抗力變量R′，其計算式為

式中Ω為計算模式不定性變量，下標K表示標準值。相應的計算流程如圖1所示。Mirza等［12］亦采用相同的思路對美國ACI規范中RC偏壓構件的抗力概率模型進行了分析。可見，這種獲得抗力概率模型的分析方法具有較好的適用性和精度。

圖1 抗力抽樣計算流程圖

2 抗力概率模型的參數分析

2.1 偏心距和配筋率的影響分析

由式（1）、（2）可求得RC偏壓構件界限破壞狀態時，對應的偏心距值eb為

當截面對稱配筋時有ρs＝A′s／bh0。近似假定h0＝0.9h和a′s＝0.1h，則當ρs在0.5%～2.0%內取值時，可求得eb的取值范圍為0.37h至0.74h（鋼筋和混凝土強度暫按標準值考慮）。

在各種抗力因素的統計參數給定時，由式（3）、（5）可知偏壓構件抗力模型中的κ與δ值還與偏心距e、配筋率ρs有關。考慮偏心距在0.05～5h范圍內變化，配筋率在0.5%～2.0%范圍內變化，此時不同偏心距與配筋率下偏壓構件抗力模型中的κ與δ值分別如圖2、圖3所示。

圖2 κ值隨偏心距與配筋率的變化曲線

圖3 δ值隨偏心距與配筋率的變化曲線

計算表明，當偏心距較小（e≤0.25h）時，隨配筋率的增大，κ與δ值均減小。當e＝0.05h時，不同配筋率下κ值的變化范圍為1.31～1.38，δ值的變化范圍為0.15～0.185，這些數值與表1中軸心受壓構件的抗力統計參數較為接近。而當偏心距較大（e≥0.5h）時，配筋率的變化對κ與δ值的影響開始減小，尤其是當e≥2.0h時，κ值已較為穩定，約為1.14；δ值亦較為穩定，約為0.10，這些數值與表1中受彎構件的抗力統計參數非常接近。

這說明采用Monte Carlo方法計算得到的抗力統計參數在偏壓構件接近軸心受壓或受彎狀態時與現行標準給出的抗力統計參數是一致的，同時也說明計算方法具有較好的精度。

2.2 抗力的概率分布模型

結構可靠度分析時，抗力一般假定服從正態或對數正態分布。當ρs為1.0%時，典型情形下的抗力概率分布見圖4。

圖4 不同抗力概率分布模型的對比

從圖4中可看出，對于大偏壓構件，正態或對數正態分布均具有較好的擬合精度；但對于小偏壓構件，正態分布的擬合精度要優于對數正態分布的擬合精度。當配筋率和偏心距值取其他參數時，仍有此結論。因此綜合考慮，可認為RC偏壓構件的抗力服從正態分布。

對多種情形下的抗力統計參數進行數值分析可知，不同偏心距和配筋率下κ與δ值均可用式（11）所示的函數模型來擬合。

式中p1、p2、p3、p4和p5均為與配筋率有關的擬合參數。其中p1表示e／h為∞（受彎）時的κ或δ值，p3／p5表示e／h為0（軸心受壓）時的κ或δ值，其余擬合參數為反映κ或δ隨e／h變化曲線特征的參數。當偏心距在0.05～2.0h內取值時，不同配筋率下的擬合參數值見表3、表4。

表3 不同配筋率下與κ值有關的擬合參數值

表4 不同配筋率下與δ值有關的擬合參數值

依據表3、表4中擬合參數計算得到統計參數值與直接采用Monte Carlo方法得到的數值非常接近，最大誤差不超過4%。當配筋率取其他中間值時，抗力模型的κ和δ值可近似由表3、表4插值得到。而當偏心距e≥2.0h時，由2.1節知，κ值可直接取為1.14，δ值可取為0.10。

3 隨機偏心距下的適用性分析

3.1 隨機偏心距下抗力的換算

根據式（9）計算的抗力統計參數是在給定偏心距值下抗力變量按其概率模型隨機抽樣來得到的，這與隨機偏心距下的實際設計情形有一定出入。實際設計時一般僅用偏心距設計值ed下的抗力統計參數來衡量，并不用其他隨機偏心距值所對應的抗力統計參數。為此引入一換算系數λ，其計算式為

式（12）中e的取值范圍可考慮為0.75ed～1.75ed，因為在此范圍內偏心距隨機取值對可靠度有較大影響。當各抗力變量隨機變化時，λ值也會隨機波動。由于抗力函數較為復雜，此處仍采用Monte Carlo方法來獲得λ的統計特性。

計算表明，當配筋率在0.5%～2.0%內變化時，ed在0.05～4.0h內變化時，λ的變異系數值較小，多數情形下不超過0.04，因此為簡化分析，可將λ按一確定的變量考慮，用其均值來代表。而在同樣的參數變化范圍內，λ均值變化較大，例如當配筋率為1.0%時，λ均值如表5所示，其他配筋率下λ均值與此相似。

表5 配筋率為1.0%時λ的均值

當偏心距存在隨機變異性時，可將偏心距的概率分布曲線離散成n個區段，設τ為離散步長，取每個區段的中點值ei作為該區段偏心距的代表值，因此由全概率計算公式可求得失效概率為

式中右邊第一項表示給定偏心距值ei時的條件失效概率；第二項表示偏心距在 ［ei－0.5τ，ei＋0.5τ］內的分布概率。將λ代入式（13）中右邊第一項，可得到對應的極限狀態方程

3.2 不同抗力概率模型的適用性分析

從表5中可知，若偏心距設計值較大（e≥0.5h）時，則偏心距取某一大于偏心距設計值的隨機值時，λ值會小于1.0較多，這顯然會增大式（14）失效的可能。這表明當偏心距設計值較大時，對失效概率貢獻較大的是偏心距取值大于偏心距設計值的情形。而現行設計方法在校核偏壓構件可靠度時是按固定偏心距思路來確定抗力代表值，進而選定其抗力概率模型。顯然這種思路對抗力隨偏心距值增大而減小的效應考慮不夠充分，因此偏于不安全。

另外當偏心距設計值取為界限偏心距附近的數值時，將會導致設計為小偏壓狀態，卻出現大偏壓失效占較大可能的情形。此時由于現行標準中大小偏壓狀態對應的抗力統計參數有較大的差異，因而按現行標準中相應的抗力統計參數來計算可靠度將會有較大的誤差。

而本文建議的抗力概率模型由于考慮了隨偏心距的變化，因而能更好地適用于隨機偏心距的情形，文后的算例分析會證明這點。此外該抗力概率模型還考慮了隨配筋率的變化，因而其適用性較現行標準中的抗力概率模型會更好一些。

4 算例驗證

4.1 算例1（大偏壓構件的可靠度分析）

設一RC偏壓構件，其軸壓力設計值Nd為532 k N，偏心距設計值ed＝0.308 m。假定偏心距的概率分布值、不同偏心距下的軸壓力統計參數如表6所示，其中偏心距概率分布曲線的離散長度為0.1ed，每個區段的代表值為中點值ei，F（ei）表示偏心距在［ei－0.05ed，ei＋0.05ed］內的分布概率值。

若該構件采用300 mm×400 mm矩形對稱配筋截面，混凝土強度等級為C30，單側配有截面積為942 mm2的HRB335級別鋼筋。按現行規范驗算，該構件為大偏壓構件，且恰能滿足設計要求。

表6 算例1中偏心距與軸壓力的統計參數

若不考慮偏心距隨機特性，按式（3）可求得抗力標準值為630 k N。假定抗力和軸壓力均服從正態分布，參見表1中大偏壓構件的抗力統計參數及表6中ei＝ed時的荷載統計參數可求得可靠指標為2.77。

若考慮偏心距的隨機特性，則在關注的ei區域內，按式（11）可計算出不同偏心距值下抗力模型中的κ與δ值，再由Monte Carlo方法統計得到λ值，最終根據全概率公式（13）來計算總的失效概率。具體計算過程見表7，可求得失效概率為0.009 4，對應可靠指標為2.35。由表7可知，對失效概率貢獻較大的是偏心距隨機取 ［1.25ed，1.55ed］區間內值時的條件失效概率，此區間中點值對應的λ值平均約為0.594，抗力下降程度較多。

表7 按建議抗力概率模型計算得到的失效概率

若在表7中，不同ei值下均采用表1中大偏壓構件的κ和δ值，計算得到的可靠指標值為2.26。而若采用Monte Carlo方法直接進行抽樣，得到的失效概率值分別為0.009，對應可靠指標2.37。對于此算例，各種情形下可靠指標的對比見表8。

表8 不同計算模式下大偏壓構件可靠指標

可見，不考慮偏心距的隨機特性，按現行標準中大偏壓構件抗力模型進行計算將會高估其可靠度較多，偏于不安全。而考慮偏心距隨機特性后，按現行標準中大偏壓構件抗力模型得到的可靠度又會偏低

（對應失效概率偏高34%）。相比之下，建議的抗力概率模型的計算精度要更好一些。

4.2 算例2（臨近界限時偏壓構件的可靠度分析）

在算例1中，若設計軸壓力Nd為873 k N（界限軸壓力為849 k N），偏心距設計值為ed＝0.2 m，偏心距的概率分布值、不同偏心距下的軸壓力統計參數如表9所示，且假定仍采用相同的配筋截面，可知按小偏壓構件驗算也恰能滿足要求。

表9 算例2中偏心距與軸壓力的統計參數

若不考慮偏心距的隨機特性，按式（5）可求得抗力標準值為1 104 k N，這樣參見表1中小偏壓構件的抗力統計參數及表9中ei＝ed時的荷載統計參數可求得可靠指標為3.13。

算例采用Monte Carlo方法直接進行抽樣得到的可靠指標為2.78，且抽樣結果表明大部分失效樣本點發生的并不是設計時的小偏壓破壞情形，而是大偏壓破壞情形。考慮偏心距的隨機特性后，采用本文建議的抗力概率模型，可求得可靠指標為2.77；而不同ei值下若均采用表1中大偏壓構件的抗力統計參數可求得可靠指標為2.53。各種情形下可靠指標的對比見表10。

表10 不同計算模式下臨近界限偏壓構件可靠指標

可見，不考慮偏心距隨機特性時，按現行標準中小偏壓構件抗力概率模型計算得到可靠指標偏高0.35（對應失效概率偏低68%）；而考慮偏心距的隨機特性后，按現行標準中大偏壓構件抗力概率模型來計算得到的可靠度則又偏低（對應失效概率偏高110%）。因此，無論采用現行標準中的何種抗力概率模型，可靠度計算結果均有較大的誤差。而本文建議的抗力概率模型仍然具有較好的精度。

5 結 論

采用Monte Carlo方法研究了不同偏心距和配筋率下RC偏壓構件的抗力概率模型，改進了現有抗力概率模型較為粗糙、且在隨機偏心距情形下適用性較差的不足。主要研究結論如下：

1）當偏心距具有隨機變異性時，現行大偏壓構件設計方法偏于不安全的原因主要是對抗力隨偏心距值增大而減小的效應考慮不夠充分。

2）對于RC大偏壓或小偏壓構件，采用正態分布變量來擬合其抗力的概率分布具有較好的精度，優于對數正態分布變量的擬合精度。

3）當偏心距設計值接近或者大于界限偏心距值時，無論采用現行標準中的何種抗力概率模型來計算可靠度均會有較大的誤差，而采用文中建議的抗力概率模型則具有較高的精度。

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（編輯王秀玲）